诱导公式二、三、四课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.3.1诱导公式二、三、四第五章三角函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元3

诱导公式本单元依据圆的对称性,从单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究三角函数的诱导公式.研究路径为:关于原点的对称性(公式二)——关于x轴的对称性(公式三)——关于y轴的对称性(公式四)——关于直线y=x的对称性(公式五)——两次连续对称(先作公式五对称、再作公式四对称)或旋转

(公式六).这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:本学习单元的最终目标是掌握并熟练应用三角函数的诱导公式,通过理解诱导公式的推导到熟练应用,培养直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.学习目标1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式二、三、四,并熟练掌握.(直观想象、数学抽象)2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.(数学运算、逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点:诱导公式二、三、四1.诱导公式二(1)角π+α与角α的终边关于

对称(如图所示).

(2)诱导公式二:sin(π+α)=

,cos(π+α)=

,tan(π+α)=

.原点

-sinα-cosαtanα2.诱导公式三(1)角-α与角α的终边关于

对称(如图所示).

(2)诱导公式三:sin(-α)=

,cos(-α)=

,tan(-α)=

.

x轴

-sinαcosα-tanα3.诱导公式四

(1)角π-α与角α的终边关于

对称(如图所示).

(2)诱导公式四:sin(π-α)=

,cos(π-α)=

,tan(π-α)=

.

y轴

sinα-cosα-tanα名师点睛1.公式一至四的概念:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+(k∈Z).3.公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.微思考(1)三角函数的给角求值问题,对于角一般怎样转化?

(2)诱导公式中的二至四如何利用对称性进行记忆?提示

负角化正角:大角化小角;化成锐角为终了.当遇到负角时,利用公式三,先化为正角;角度比较大时,利用公式一、公式二、公式四化为小角,以化为锐角为目标.提示

角π+α与角α的终边关于原点对称,所以对应的正、余弦互为相反数,对应的正切相等;角-α与角α的终边关于x轴对称,所以对应的正弦、正切互为相反数,对应的余弦相等;角π-α与角α的终边关于y轴对称,所以对应的余弦、正切互为相反数,对应的正弦相等.重难探究·能力素养速提升问题1任意角的三角函数定义借助单位圆得出,三角函数的性质是圆的几何性质的代数化.对称性是圆的重要性质,可否从圆的对称性出发,将对称性表示为三角函数之间的关系?问题2如何把圆的对称性转化为三角函数之间的关系?可否探索一些基本步骤?问题3对于圆的对称性,容易观察到关于原点以及坐标轴的对称.根据这些对称性,可否推导出三角函数的某些关系式?探究点一给角求值问题问题4公式的应用之一在于化简求值.对于三角函数式子的求值,如何根据诱导公式进行化简?为何要这样化简?化简有哪些基本策略?【例1】

(1)求sin585°cos1290°+cos(-30°)sin210°+tan135°的值;解sin

585°cos

1

290°+cos(-30°)sin

210°+tan

135°=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos

30°sin

210°+tan(180°-45°)=sin

225°cos

210°+cos

30°sin

210°-tan

45°=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos

30°sin(180°+30°)-tan

45°=sin

45°cos

30°-cos

30°sin

30°-tan

45°(2)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.规律方法

1.利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:2.利用诱导公式解决给值求值问题的策略:(1)弄清楚已知条件与所求式中角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.探究点二给值(式)求值问题问题5对于三角函数的运算,给角求值的深入就是给值求值问题.这种问题如何解决?关键是要抓住什么关系?-a(2)已知tan(π+α)=2.②当α为第三象限角时,求sin(-α)-cos(π+α)的值.延伸探究

规律方法

解决给值求值问题的策略(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.探究点三三角函数的化简求值问题问题6三角函数的化简求值问题,关键在于角的位置的转化.如何可以把“不好看”的角转化为“好看”的角,并且快速得到其三角函数值?1规律方法

利用诱导公式一至四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.(2)化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.计算cos(-330°)的值是(

)D解析

cos(-330°)=cos

330°=cos(360°-30°)=cos(-30°)=cos

30°=.故选D.12345678910112.若cos(π-α)=-,则cos(-2π-α)的值为(

)A12345678910113.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(

)B1234567891011B12345678910115.已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)=

.

解析

sin(135°-α)=sin

[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=.12345678910116.已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,则sin(105°+α)=

.

123456789101112345678910111234567891011B级关键能力提升练A.sin2-cos2 B.sin2+cos2C.±(sin2-cos2) D.cos2-sin2A123456789101110.(多选题)已知

(k∈Z),则A的值是(

)A.-1 B.-2 C