新教材2025版高中数学课时作业二十一函数极值与最值的综合应用新人教A版选择性必修第二册

课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用练基础1.[2024·山东滨州高二期末]已知函数f(x)＝2x3－6x2＋7.(1)求函数f(x)在区间[－2，3]上的最大值和最小值；(2)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．2．[2024·福建漳州三中高二期末]已知函数f(x)＝xlnx－ax＋a.(1)若a＝1，求函数f(x)的极值；(2)若x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围．提实力3.[2024·山东德州高二期末]高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满意2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t<10时，载客量会在满载基础上削减，削减的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的表达式；(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝eq\f(t,5)P(t)－40t2＋660t－2048元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益eq\f(Q（t）,t)最大？最大为多少？培优生4.[2024·河北唐山高二期中]已知函数f(x)＝ax－2lnx(a∈R).(1)探讨函数f(x)的单调性；(2)探讨函数f(x)的零点个数．课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用1．解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，x－2(－2，0)0(0，2)2(2，3)3f′(x)＋－＋f(x)f(－2)＝－33f(0)＝7f(2)＝－1f(3)＝7∴f(x)的最大值为7，最小值为－33.(2)x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)f(0)＝7f(2)＝－1当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；当a＝－1或7时，方程有两个根；当－1＜a＜7时，方程有三个根．2．解析：(1)由题可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx，由f′(x)<0得f(x)在区间(0，1)上单调递减，由f′(x)>0得f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得微小值f(1)＝0，无极大值．(2)由题可知，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，即lnx－a＋eq\f(a,x)≥0恒成立，设g(x)＝lnx－a＋eq\f(a,x)(x≥1)，g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)，当a≤1时，g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0，满意条件；当a>1时，令g′(x)＝0得x＝a，当1≤x<a时，g′(x)<0；当x>a时，g′(x)>0，∴g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴g(a)<g(1)＝0，与已知冲突．综上，a的取值范围是(－∞，1].3．解析：(1)设当2≤t<10时，削减的人数与(10－t)2成正比，比例系数为k，所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t<10，当t＝5时，P(5)＝950，即1200－k(10－5)2＝950，解得k＝10，所以P(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1200－10（10－t）2，2≤t<10,1200，10≤t≤20)).(2)由题意可得：Q(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(700t－2048－2t3，2≤t<10,900t－40t2－2048，10≤t≤20))，所以eq\f(Q（t）,t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(700－2t2－\f(2048,t)，2≤t<10,900－40t－\f(2048,t)，10≤t≤20))，令H(t)＝eq\f(Q（t）,t)，当2≤t<10时，H′(t)＝－4t＋eq\f(2048,t2)＝eq\f(2048－4t3,t2)；令H′(t)＝0得t＝8；当2≤t<8时，H′(t)>0，当8<t<10时，H′(t)<0，所以H(t)的最大值为H(8)＝316；当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋eq\f(2048,t2)<0，所以H(t)最大值为H(10)＝295.2；因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．4．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－eq\f(2,x)＝eq\f(ax－2,x).当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(2,a)，令f′(x)>0，得x>eq\f(2,a)，所以f(x)在(0，eq\f(2,a))上单调递减，在(eq\f(2,a)，＋∞)上单调递增．(2)令ax－2lnx＝0，得a＝eq\f(2lnx,x)(x>0).令g(x)＝eq\f(2lnx,x)，则g′(x)＝eq\f(2（1－lnx）,x2)，令g′(x)>0，得0<x<e；令g′(x)<0，得x>e，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝eq\f(2,e)；当0<x<e时，g(x)∈(－∞，eq\f(2,e))，当x>e时，g(x)>0，所以g(x)∈(0，eq\f(2,e))，所以函数g(x)的图象如图所示，由图可得，当a>eq\f(2,e)时，直线y＝a与函数g