2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第07讲 构造函数解决导数不等式（比较大小）问题（解析版）

第07讲构造函数解决导数不等式（比较大小）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：根据构造原函数解不等式 1题型二：根据构造原函数解不等式 5题型三：根据不等式（求解目标）构造具体函数解不等式 12题型四：构造不等式比较大小 18第一部分：题型篇题型一：根据构造原函数解不等式典型例题例题1．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是定义在上的可导函数,且满足,其中为的导函数.则对于任意,必有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解:由题知,,当时,，构造,则,故在上单调递减,因为,所以,所以，即，而，无法判断大小；，即.故选:C例题2．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，∴，令，∴在上单调递减，又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，∵，∴，当，即时，，∴；当，即时，，∴，则.故不等式的解集为.故选：A.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，则，令，，则，即在上单调递增，对于A，，即，A正确；对于B，，即，B不正确；对于C，，即，C不正确；对于D，，即，有，D不正确.故选：A例题4．（2023春·北京海淀·高二校考阶段练习）定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（

）A． B． C．D．【答案】D【详解】∵为奇函数，∴，∴当时，，又∵，∴，当时，，∴在区间上单调递减，又∵当时，，∴为上的奇函数，∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.又∵，∴，即，∴，∵在区间上单调递增，∴，解得.故选：D.精练核心考点1．（2023春·广东佛山·高二顺德一中校考期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，，由题意得时，，单调递增，因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：C．2．（2023春·山东枣庄·高二统考期中）定义在R上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵，且，可得，故原不等式等价于，构建，则，∵，则恒成立，∴在定义域内单调递减，且，则对于，解得，故不等式的解集为.故选：B.3．（2023·全国·校联考二模）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在上单调递增，又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，故在上单调递增，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故；当时，可变形为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故无解.综上不等式的解集为.故选：C.4．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C．D．【答案】D【详解】解：根据题意，设，则导函数，函数在区间上，满足，则有，所以，即函数在区间上为增函数，，所以，则有，解得，即此不等式的解集为，故选：D.题型二：根据构造原函数解不等式典型例题例题1．（2023·江西·统考模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，化简得，构造函数，即当时，单调递增，所以由，则，即.因为为偶函数且在上单调递增，所以，解得.故选：C.例题2．（2023春·高二课时练习）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得：，即，令，则，在上单调递减，又，可化为，，即不等式的解集为.故选：A.例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，设，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得，所以不等式的解集为，故选：B例题4．（2023春·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，令，求导得：，当时，当时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，，则，即，A正确；对于B，，则，即，B错误；对于C，，则，即，C错误；对于D，，则，即，D错误．故选：A例题5．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：令，则，因为，所以，所以函数在上为增函数，不等式即不等式，又，，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：依题意令，则，所以在上单调递减，对于不等式，显然，则，即，又，所以，所以，即，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：B．2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二兵团二中校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】记.因为是定义在R上的偶函数，所以因为，所以为奇函数，所以.因为，所以.当时，，所以在上单减.因为为奇函数，图像关于原点对称，所以在上单减.不等式即为.当时，在上单减，且，所以的解集为；当时，在上单减，且，所以的解集为.综上所述：的解集为.故选：D3．（2023·高二课时练习）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为对于任意的有．又，，所以，设，，则，因为当时，，所以，所以在上为增函数，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以，故B不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D不正确；故选：A4．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，所以，故A错误；因为，所以，又，所以，故B错误；因为，所以，，即，，因为，所以，，故C错误，D正确．故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则，∵，∴，函数在R上单调递增，又，∴,由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：C．题型三：根据不等式（求解目标）构造具体函数解不等式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，因为，所以，即，所以在R上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在R上单调递减，所以，解得.故选:B例题2．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】由，，设所以，即为上的偶函数当时，，因为，所以则在区间上单调递增所以即即等价于，即解得．故选：A.例题3．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，即，即，即对恒成立，令，则在上单调递增，∵，∴，由即，即，因为在上单调递增，∴故选：B.例题4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，，由，得．设函数，则，∴在上单调递增，从而．即，即．故选：A.例题5．（2023·全国·高三专题练习）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.【答案】【详解】由，得，设，则，为奇函数，又，在上是减函数，从而在上是减函数，则，等价于，即，，解得，所以的取值范围为.故答案为：.精练核心考点1．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，，若对于任意都有，则当时，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意构造函数，则，函数在上为增函数，，，又，，，由，∴故选：B．2．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则．因为，所以，即，所以在上单调递减．不等式等价于不等式，即．因为，所以，所以．因为在上单调递减，所以，解得．故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，因为，故（不恒为零），故为上的增函数，故即为，而，故的解为，即的解为.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的函数，是其导函数，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设函数，则，即函数在上单调递增，而，即，又，因此，则有，解得，所以原不等式的解集为．故选：B5．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知可推得，.令，则，所以，所以，为偶函数.又，因为当时，，所以，，所以在上单调递增.又为偶函数，所以在上单调递减.由可得，.因为，所以，.因为在上单调递减，为偶函数，所以有，平方整理可得，，解得.故选：C.题型四：构造不等式比较大小典型例题例题1．（2023·陕西安康·统考三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得：，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即.同理比较b和c，构造函数，当，，∴在上单调递增，∴，即.综上，.故选：A例题2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，.令，，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以.因为在上单调递增，所以；令，则恒成立，所以，在R上单调递减，所以，当时，有，即，所以.因为，所以，所以.所以.故选：B．例题3．（2023·广西·校联考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】方法一：构造法设，因为当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以．方法二：比较法解：，，①，令，，则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令，，则令，所以所以在上单调递增，可得，即所以在上单调递增，可得，即，所以．故．故选：A．例题4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考期中）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则．当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，故，即，即．设，则．令，则．当时，，函数在上单调递减．又，所以当时，，所以当时，，函数在上单调递增，所以，即，即，所以．综上可知，．故选：D．例题5．（2023春·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）若则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，，当时，设，则，所以在上单调递减且，所以，即，所以；又因为，所以，，即，所以.故选：A.精练核心考点1．（2023·河南新乡·统考三模）已知，，，则下列关系正确的为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，，，，当时，单调递减；当时，单调递增，即（当时，等号成立），所以，即.，故在上单调递增，因为，，所以，则，即；，令，则，故在定义域上单调递增，当时，，故在上单调递增，则，即，.综上，，即.故选：B.2．（2023·四川内江·统考三模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增，于是，即，令，则，所以在上单调递减，所以，即，取，则，所以，即，所以.故选：A3．（2023·山东日照·统考二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，若，则，若，则，则函数在上单调递减，在上单调递增.则，即，.取，则，即.取，则，即，.又，令，则函数都在上单调递增，则.所以时，..又函数在上单调递增，所以.即，.故选：A4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）若，，，则（

）A． B． C．