高中数学 3.4 函数的应用(Ⅱ)活页练习 新人教B版必修1

【创新设计】-学年高中数学3.4函数的应用(Ⅱ)活页练习新人教B版必修1eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 ()．A．12小时 B．4小时C．3小时 D．2小时解析设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180(分钟)，即3个小时．答案C2．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是 ()．A．①④ B．②④C．②③ D．①③解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5min每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，故选B.答案B3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到 ()．A．300只 B．400只C．500只 D．600只解析当x＝1时，y＝100，得a＝100，∴当x＝7时，y＝100·log28＝300.答案A4．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．解析由公式y＝N(1－p%)n可得，其中N＝a，n＝x.答案y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．5．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b,1.5＝0.25a＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2))，∴y＝－2×0.5x＋2，把x＝3代入得y＝1.75.答案1.756．某型号的手机，经两次降价，单价由原来2000元降到1280元，试求这种手机平均降价的百分率．解设降价的百分率为x%，则2000(1－x%)2＝1280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%.∴这种手机平均降价的百分率为20%.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．用清水洗衣服，若每次都洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是 ()．A．3 B．4C．5 D．6解析设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，因此至少要洗4次．答案B8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要再经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2，所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是 ()．A．①② B．②⑤C．①②⑤ D．①②③④解析①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2m2，故④不正确；当浮萍面积为2m2时，t1＝1，当浮萍面积为3m2时，t2＝log23，当面积为6m2时，t3＝log26，而1＋log23＝log26，故⑤正确．故选C.答案C9．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．解析第四年造林10000×(1＋20%)3＝17280.答案1728010．如图，开始时桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a·e－nt(n为常数，t为注水时间)，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有eq\f(a,8).解析由于t＝5时两桶中的水相等，所以a·e－n×5＝a－a·e－n×5，所以(e－n)5＝eq\f(1,2)，即由条件可得a·e－nt＝eq\f(a,8)，即，所以t＝15.答案1511．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今年最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，，eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．12．(创新拓展)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k·at(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象．(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？(精确到0.1μg)解(1)当0≤t<1时，y＝8t；当t≥1时，把A(1,8)，B(7,1)代入y＝k·at，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝8,ka7＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),2),k＝8\r(2)))，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8t，0≤t<1,8\r(2)\f(\r(2),2)t，t≥1)).(2)设第一次服药最迟过t小时服第二次药，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥1,8\r(2)\f(\r(2),2)t＝2))，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；(3)第二次服药3h后，每毫升血