高中数学公式总结学业水平考试

学业水平考试数学公式结论总结

1.AcB={x|xeA,且re8}AUB={x|xeA,或re8}q,4={x|xw(7,且x把A}

2.奇偶性：(注：是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称).

(1)若有/(一幻=一/(%)或/(一幻+/。)=0,则f(x)就是奇函数。奇函数的图象关于

原点对称；(2)若有/(一幻=/(幻，则f(x)就是偶函数。偶函数的图象关于y轴对称.

3.函数的最值：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在/e/,使得f(x0)=M：

函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xe/,都有

f(x)<M(/(%)>m).

4函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x„xz,当x,<x2

时，都有f(xj<(>)f(x1,那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数，函数的单调性是

在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5.有理指数募的含义及其运算性质：

①优•优="+'；②(优)』心③("丫=a&(a>O,b>O",se。)。

函数y=a\a>0且a丰1)叫做指数函数。

指数函数的图象和性质

y=ax0<<1a>1

，y,y

一

图象V一-_一_二

~00

XX

定义域R

值域(0,+8)

性过定点(0,1),即x=0时，y-1

定点(1)a>1,当冗>0时，y>1；当x<0时，0<)<1。

质

(2)0<«<1,当工>0时，0<y<1；当x<0时，y>1c

单调性在R上是减函数在R上是增函数

对称性y=优和y=。一”关于y轴对称

6.对数函数

(1)对数的运算性质：如果a>0,a¥1,材>0,N>0,那么:

M

①bg“MN=log„M+logaN；®loga-=log„M-log.M

③log。Mn=nlogaM(〃GR)o

(2)换底公式：108“6=理上(。＞0一旦。k1,，＞0且，工1,。＞0)

log,a

(3)对数函数的图象和性质

y=log“x0<4<1a>\

s

二4.|'loga<(«J>h

图I飞•川一

象j/l,,0)x

定义域(0,+8)

值域R

(1)过定点(1,0),即x=l时，y=0

性(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数

质(3)同正异负，即0v〃<1,0<x<1或a>1,%>1时，log“x>0；

0<^7<1,x>1或。>1,0<无<1时，logdX<0o

7.骞函数：函数y=x0叫做累函数(只考虑a=1,2,3,的图象)。

8.方程的根与函数的零点：如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一

条曲线，并且有/(a)"S)＜0,那么，函数y=/(x)在区间(a,6)内有零点，即存在

ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(幻=0的根。

9.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个

面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

⑵棱锥：①一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等,

每条母线延长后都与轴交于同一点。

11.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

22

(1)S圆推表=nr(r+"-S圆台表二”(r_h+rr+r±7+rr1)-S圆柱表=2兀r(r+7)

r上=0r_E=r下

(2)Vm=-nh-V圆台二±五(r上、r下之+r上r下)h一＞V圆柱=Jir'h

33

42c

(3)球其体积V=-TTR\表面积S=4%R-

3

12空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。

13.空间直线和平面的位置关系：直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

14空间平面与平面的位置关系：平面与平面平行、平面与平面相交

15直线与平面平行的判定定理：

文字表述：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

aa

符号表示：bca-=>alla»图形表示:

a//b

16.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这

两个平面平行。

au。

bu/3

符号表示：a[\b-P•pIIao

alia

b//a

17.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已

知平面相交，那么交线与这条直线平行。

alia

符号表示：au/3•=>a/lb；图形表示:

a[\p=b

18两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

平行。符号表不：a///3,aC]y=a,/3C\y=b=>a//b

19.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。符号表不：a(^a,b(^a,a(^\b-P,l±a,lI±a

20.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示：ILaJuBnal。

21.直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：aA-a]^a//bo

b.La]

22.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。符号表示：/匚%。口尸=私/_1〃?=/，氐

23..直线的斜率：k=tan0=———

x2-xx

24.直线的五种方程：

(1)点斜式y--玉)(直线/过点《(X|，x),且斜率为％).

(2)斜截式y="+8(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式上——=——工(>产内)(6(X|，X)、己(了2，%)(玉力9)).

%一y9一司

(4)截距式±+2=1(外人分别为直线的横、纵截距，。、/?^0)

ab

(5)一般式++C=0(其中A、B不同时为0).

25.两条直线的平行和垂直

⑴若4:y=攵M+A,/2:y=k2x+h2

①4||4=左1=&2力1。“2②，120不？=—1.

(2)若4:A［X+gy+G=0,4：4工+52》+。2=0,且A］、A2>B］、B2都不为零,

①/j|/,=4="②/=44+片区=0

AB2C2

26.两点PI(xi,yD、P2(X2,y2)的距离公式IPR|二/6一七>+(为一切了

27两点Pi(xi,yD、P2(x2,y2)的中点坐标公式M(土上，)

22

28.点P(x。，y»)到直线Ax+ByM>0的距离公式d尸加箕型二5

VA2+B2

29.平行直线Ax+By+G=O、Ax+By+C2=0的距离公式2=史61

VA2+B2

30.圆的方程：(1)圆的标准方程(x-a)2+(y->)2=/

(2)圆的一般方程x2+y2+Px+£y+F=0(D2+E2-4F>0).

31.点与圆的位置关系

点P(x0,%)与圆(x-«)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种：

若4=J(a-Xo)2+(b-%)2,则

d>r。点P在圆外；d=ro点P在圆上；d<r=点尸在圆内.

32.直线与圆的位置关系

直线Ax+3)，+C=0与圆(X—。尸+(y-㈤？=尸的位置关系有三种：

d>ro相离=△<();〃=尸=相切=△=();

d<r=相交=△>().其中d=\Aa+Bb+C\

VA2+B2

33.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0“02,半径分别为n,n,|QQ|=d

">八+弓o外离o4条公切线；4=6+4<=>外切<=>3条公切线；

-r2\<d<八+々=相交o2条公切线；d=,-々|=内切=1条公切线;

0<t/<|r(-^|o内含o无公切线.

34.空间直角坐标系，两点之间的距离公式

⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0)：竖坐标2=0

xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z)：纵坐标y=0

yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z)：横坐标x=0

x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0)：纵、竖坐标y=z=0

y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0)：横、竖坐标x=z=0

z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z)：横、纵坐标x=y=0

(2)|P1P2I=J(X2-X1)-+(丫2-丫|)-+(Z2-Z1)-

35.标准差：

J----[(X]-+(—X~)~+.-.+—JV)2]

s=

1—o—>—c

36.方差：s~=———x)-+---+(X”-X)一]

n"

37.(1)若ADB为不可能事件，即AnB=4),那么称事件A与事件B互斥；

(2)若ACB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

(3)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事

件，则AUB为必然事件,所以P(#AB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B).

38.古典概型：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2)每个基本事件出现的可

A包含的基本事件个数

能性相等；古典概型的概率计算公式：P(A)

总的基本事件个数

构成事件A的区域长度(面积或体积)

39.几何概型的概率公式:P(A)=

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

几何概型的特点：1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；2)每个基本事

件出现的可能性相等.

40.任意角的三角函数

设P(x,y)是角a终边上任一点(与原点不重合)，记r=|OPhJx?+y)，则

yxy

sma=—>cosa=—.tana=—<>

rrx

41.同角三角函数的基本关系式

sin(y

(1)平方关系：sin2«+cos2a=l(2)商数关系：-----=tana

cosa

42.三角函数的诱导公式

k

利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即二+―万与a之间函数值的关系(kGZ),

2

其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

43.三角函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象产

/7J\/、

一^^方..:心YP....?|

-I个广,/¥

定义RR

域71

{x\x^ATFH——,kGZ}

值域R

[-1,1][-U]

奇偶奇函数偶函数奇函数

性

周期2万2万7V

性

在［2%万一、，2女万+、］(%eZ)在［2%万一肛24)|(女£Z)在

上是增函数

+(AeZ)

上是增函数在［2左肛2%/十4］(&wZ)22

单调

在上是减函数上是增函数

性

\2k7v+-,2k7v+—］(keZ)

22

上是减函数

当x=2k冗,kGZ时，

当x=~2^2k兀、keZ时，

Xnax=1

无

Xnax=1

当x=(2k+1)肛keZ时，

最值

当x=-—+2k7V,keZ时，Znin=I

2

Vmin=-1

TT

对称中心(左肛0),keZ对称中心(ATT4—,0)，对称中心(左肛0),keZ

2

对称

JTkeZ对称轴：无

性对称轴：x=k7c-\——(kGZ)

2

对称轴：X=左乃(攵GZ)

44.函数y=Asin(@r+e)的图象

(1)用“图象变换法”作图

由函数y=sinx的图象通过变换得到y=ASin(5+。)的图象，有两种主要途径：“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩

向左”>0)或向右(0<0)

y=sin%平移附个单位~■»y=sin(x+甲)

横坐标变为原来的上倍如正杆加为IS#的，位

纵坐标不变">y=sin(s+G从坐黑鬻霆/y=Asing+°)

法二：先伸缩后平移

横坐标变为原来的‘倍

向左(0>0)或向右(°<0)

'二加一纵坐标不变。>'=sins>y=sin(ear+(p)

平移的个单位

・羽纳空网幽鳍L»y=Asin(如十0)

横坐标不变'’

当函数丁=Asin(羽+。)(A>0,。>0,%€[0,+8))表示一个振动量时，人就

表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次

所需要的时间丁=把27r，它叫做振动的周期；单位时间内往1复振2动4的次数/=上=把，它

CDTG)

叫做振动的频率；奴+0叫做相位，。叫做初相(即当x=0时的相位)。

45.实数与向量的积的运算律：设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(ua)=(Au)a;⑵第一分配律：(入+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：x(a+b)=xa+xb.

46.向量的数量积的运算律：(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(Aa),b=A(a•b)=/la,b=a•(A,b);(3)(我b)•c=a,c+b•c.

47.平面向量基本定理：

如果创、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数3、3,使得a=、e+3e“

不共线的向量以、蜕叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

48.向量平行的坐标表示

设a=(X],y),b=(X2，y2)，且bHO,则a||b(bx0)o一々乂=0・

49.a与b的数量积(或内积)：a•b=abcos0.

50.a・b的几何意义：

数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影bcos。的乘积.

51.平面向量的坐标运算

⑴设a=(X|,y),b=(X2，y2)，则a+b=(X]+x2,y]+y2).

(2)设a=(X|,y),b=(X2，y2)，则a-b=(X1-%2，以一必)・

⑶设A(X],yJ,8(々,必)，则AB=OB-OA=(x2-x},y2-yl).

(4)设a=(x,y),4eR,则4a=(Xx,4y).

(5)设2=(M，>|)々=(无2，%)，则a,b=(X]X2+%%).

52.两向量的夹角公式

cose=%|A;+(年(％,M),b=(々，乂))・

网+•网+

53.平面两点间的距离公式dAH=\AB\=\/ABAB=-内产+(%一乂了

54.•向量的平行与垂直：设a=(x，y),b=(z，%)，且bwO,则

abob=人a<=>x]y2—x2y]=0.a±b(a^0)Oa•b=0<x>x]x2+y]y2=0.

55.两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:

sin(cr±/?)=sinacos/?±cosasin(3;cos(6Z±yff)=cosacosyff+sinorsin(3;

/，小tana±tanB

tan(cr±/3)=------------