专题4-1等差数列性质技巧归类（原卷版）

专题4.1等差数列性质技巧归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】等差数列定义判定【题型二】等差中项【题型三】等差数列的“高斯计巧”【题型四】高斯计巧：函数型求和【题型五】双等差数列an与sn比值型【题型六】正负型【题型七】sn最值型【题型八】奇数项与偶数项和型【题型九】等差数列单调性【题型十】等差数列与三角函数【题型十一】等差数列应用题三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．2.等差中项的概念若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．注意：在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；二、等差数列有关公式：通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．1.通项公式的推广：．在等差数列中，对任意，，，；2.在等差数列中，当时，．,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.3.在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；，…仍是等差数列，公差为．4.，…也成等差数列，公差为．等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列5.若，是等差数列，则也是等差数列．即：两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．若数列是等差数列,则仍为等差数列．设数列是等差数列，且公差为，若项数为偶数，设共有项，则①；②；若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.7.等差数列中，,则,.8.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．9.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.10.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．四、等差数列的前n项和公式与函数的关系．数列是等差数列⇔（为常数）．五、等差数列的前n项和的最值1.公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．2.在等差数列中（1）若，则满足的项数使得取得最大值；（2）若，则满足的项数使得取得最小值．即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．热点考题归纳【题型一】等差数列定义判定【典例分析】1.（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）数列中，，（为正整数），则（

）A． B． C． D．2.（2022秋·广西·高三校联考阶段练习）已知数列满足：，当时，，则数列的通项公式是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】方法解读适合题型定义法为同一常数⇔是等差数列解答题中的证明问题等差中项法成立⇔是等差数列通项公式法为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列选择、填空题中的判定问题前项和公式法验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列等差数列的判定与证明的方法【变式演练】1.（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）在数列中，，且，若数列单调递增，则实数a的取值范围为（

）A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）2.（2022·广东广州·校联考三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．3.（2022春·河南郑州·高二校联考阶段练习）数列满足，，，若，则k=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【题型二】等差中项【典例分析】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（

）A． B． C． D．2.（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．5提分秘籍】.等差中项的概念若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．【变式演练】1.（2021·广西柳州·统考三模）已知数列的前n项和为．且，是公差为的等差数列，则．2.（2019秋·河南漯河·高二校考阶段练习）已知数列的通项公式，若是数列中的项，则所有m的取值集合为.3.（2023·全国·高三专题练习）已知是公差为3的等差数列，其前项的和为，设甲：的首项为零；乙：是和的等比中项，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【题型三】等差数列的“高斯技巧”【典例分析】1.．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）若数列是等差数列，且，则（

）A．1 B．1 C． D．2.（2017·全国·校联考一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是．【提分秘籍】等差数列“高斯计巧”若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则，…仍是等差数列，公差为．4.，…也成等差数列，公差为．【变式演练】1.（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）已知数列满足，数列满足，且，则．2.（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则．3.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，则该数列前2023项的和.【题型四】高斯技巧：函数型求和【典例分析】1.（2018春·湖北随州·高一随州二高阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，函数，则的值为A． B． C． D．与有关2.（2022·高二课时练习）已知数列{an}为等差数列，,=1，若，则＝A．22019 B．22020 C．22017 D．22018【变式演练】1.（2017·云南红河·高三阶段练习）已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．12.（2019秋·江苏南通·高三江苏省南通中学校考期中）设函数数列是公差为的等差数列，且满足则.3.（2020·上海·高三专题练习）已知函数，等差数列的公差为，若，则.【题型五】双等差数列an与sn比值型【典例分析】1.（2023春·黑龙江大庆·高三校考）等差数列和的前项和分别为和，如果，的值是（

）A． B． C． D．2.（2023春·河北唐山·高三模拟）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【提分秘籍】若与为等差数列，且前项和分别为与，则.【变式演练】1.（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（

）A． B． C． D．2.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（

）A． B． C． D．3.（2023·全国·高三专题练习）设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（

）A． B． C． D．【题型六】正负型【典例分析】1.（2021·江西赣州·高三统考阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2.（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【提分秘籍】在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：①若，当时，则当且仅当最大；②若，当时，则当且仅当最小；③若最大，则.【变式演练】1.（2023·河南·统考模拟预测）设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．2.．（2023·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④3.（2022·高二单元测试）已知等差数列的前项和为，则（

）A．若，，则， B．若，，则，C．若，，则， D．若，，则，【题型七】sn最值型【典例分析】1.（2019秋·河北石家庄·高三辛集中学校考阶段练习）在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（

）A． B． C． D．2.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【提分秘籍】在等差数列中（1）若，则满足的项数使得取得最大值；（2）若，则满足的项数使得取得最小值．即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．【变式演练】1.（2023春·上海·高二期中）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（

）A．10 B．11 C．20 D．212.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则中，最大的项为（

）．A． B． C． D．3.（2023秋·山西吕梁·高三联考）公差为d的等差数列的前n项和为，若，则下列选项正确的是（

）A． B．时，n的最大值为2022C．有最大值 D．时，n的最大值为4044【题型八】奇数项和与偶数项和型【典例分析】1.（2023春·高三课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．272.（2022秋·高三单元测试）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】设数列是等差数列，且公差为，1.若项数为偶数，设共有项，则①；②；2.若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．2.（2021·高三课时练习）已知等差数列中，前项（为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且，则数列公差为（

）A． B．4 C．6 D．3.（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（

）A． B． C． D．【题型九】等差数列的单调性【典例分析】1.（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，记，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项2.（2023春·高三课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．【变式演练】1.（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是2.（2023春·高三课时练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为.（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为.【题型十】等差数列与三角函数【典例分析】1.已知数列满足，且，则数列前36项和为（

）A．174 B．672 C．1494 D．59042.已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是A． B．C． D．【变式演练】1.已知数列满足，，，且，记为数列的前项和，则__________．2.等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是____________．3.列满足，则数列的前100项和为__________．【题型十一】等差数列应用题【典例分析】1.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得钱数为（

）A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱2.如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点，接着它按图所示在轴､轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2022秒时，这个粒子所处的位置在点___________.【变式演练】1.《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（

）A． B． C． D．2.随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（

）A．吨 B．吨 C．吨 D．吨3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行()A．11700m B．14600mC．14500m D．14000m高考真题对点练1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为的等差数列，且直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．127．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．8．（湖北·高考真题）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是A．2 B．3 C．5 D．49．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．最新模考真题1.（2022秋·福建漳州·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则=（

）A．80 B．100 C．120 D．1432.（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（

）A．1460 B．1472C．1666 D．16783.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考）