2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册第七章复数课时练习题含答案解析

第七章复数练习题

1、数系的扩充和复数的概念...............................................1

2、复数的几何意义.......................................................6

3、复数的加、减运算及其几何意义.......................................14

4、复数的乘、除运算....................................................22

1、数系的扩充和复数的概念

基础练习

一、选择题(每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分，有选错的得0分)

L(1+J3)i的实部与虚部分别是()

A.i,V3B.i+V5,o

C.0,1+V3D.0,(1+V3)i

【解析】选C.(1+，W)i可看作0+(1+J3)i=a+bi,

所以实部a=0,虚部b=1+V3.

2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=()

A.-2B.2C.±2D.4

zy2—°

【解析】选B.由纯虚数的定义可知J

(a+2=0,

解得a=2.

3.已知x-2i=3+2yi(x,ydR),贝I]x+y=()

A.4B.2C.3D.1

【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,

y=-1,所以x+y=3-1=2.

4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为（）

A.1B.1或-4C.-4D.0或-4

4-3。=a2,

【解析】选C.由复数相等的充要条件得J解得:a=-4.

5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为（）

A.3-4iB.-3+4i

C.-4+3iD.4-3i

【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+（-4）i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.

6.（多选题）若i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.士是分数

2

B.V3i是无理数

C.-i2不是虚数

D.若aWR,则（1+1）i是虚数

【解析】选CD.由于i是虚数单位，则上,都是虚数,A,B都不正确;-i?=1是实

2

数，不是虚数，C正确；若aWR,则所以（a，1）i是虚数，D正确.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为.

【解析】由条件知a-3+2a=0,所以a=1或a=~3.

答案:1或-3

8.已知复数z=k-3k+（k2-5k+6）i（k£R）,若z<0,则k的值为.

【解析】因为复数z=k2-3k+（k2-5k+6）i（kGR）,若z<0,则k-5k+6=0,k2-3k<0,解

得"2,k?=3（舍去）.

答案：2

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.已知复数z=M+1m2一皿，血小)是虚数，求实数m的取值范围•

m-3Ipn+2Ho

【解析】因为复数2=---F小2-mi,(mGR)是虚数，所以12、〜解得

m+27[m£-m>0

m<0或m>1且m=A-2.

所以实数m的取值范围是(-8,-2)U(-2,0)U(1,+8).

10.当实数m为何值时,复数z=m+?n~6+(m2-2m)i分别为:

m

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数?

m丰0,

【解析】⑴当{2rC即m=2时，复数Z为实数.

2m=0,

m丰0,

⑵当即m于0且mW2时，复数z为虚数.

jn2-2mH0,

m2+m-6_

-----=0,

根即m=-3时，复数z为纯虚数.

{m2-2mH0,

提升练习

一、选择题(每小题5分，共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分)

1.复数z=2-i的实部与虚部的差为()

A.-lB.1C.2D.3

【解析】选D.复数z=2-i=2+(T)i的实部为2,虚部为7,所以复数的实部与虚部

的差为3.

2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则()

A.C=RUIB.RUI={0}

C.R=CAID.RA1=0

【解析】选D.复数包括实数和虚数，所以实数集与纯虚数集无交集.所以RA1=0.

故选D.

3.(多选题)下列命题中为真命题的是()

A.复数一定是虚数

B.实数一定是复数

C.复数的平方数一定是非负实数

D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0

【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数，所以复数不一定是虚数,A是假命题；

实数一定是复数,B是真命题；由于/=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命

题；实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.

4.若xi-i?=y+2i,x,yWR,则复数x+yi=()

A.-2+iB.2+iC.l-2iD.l+2i

【解析】选B.因为i2=-1得xi-iW+xi.

由题意得1+xi=y+2i,

所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.方程(2*2-3*-2)+&2-5*+6”=0的实数解x=.

【解析】方程可化为］'解得x=2.

+6=0.

答案:2

6.复数2i,3-i,3-i2,i-1中，不同于另外三个的一个复数是.

【解析】复数2i,3-i,3-J,i-1中，3-i?=4是实数，不同于其他三个虚数.

答案：3-J

7.若a-2i=bi+l(a,b@R),则b+ai=.

-1

【解析】根据复数相等的充要条件，得L:

3=-2,

所以b+ai=-2+i.

答案:-2+i

8.若复数z=(a+l)+(l-a)i(aGR)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是

【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.

答案：（T,1）

三、解答题（每小题10分,共30分）

9.已知x是实数,y是纯虚数，且满足（3xT0）+i=y-3i,求x与y.

【解析】设丫=析（b£R且b/0）,代入（3x-10）+i=y-3i,整理得（3xT0）+i=bi-3i,

由复数相等的充要条件得］3%-10=0

<1=b-3,

（10

X=一,10

解得I3所以x=—,y=4i.

力二4,3

10.设复数z=（m2+2m-3）+（m-l）i,试求实数m取何值时,满足

（l）z是实数；

（2）z是纯虚数.

【解题指南】（1）复数为实数需满足虚部为零.（2）纯虚数需满足实部为零且虚部

不为零.

【解析】⑴由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.

m-l工0,

⑵由《

jn2,+2m-3=0,

解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.

b3%+2y

11.定义运算,=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数X,y

d-yl

的值.

【解析】由定义运算a?=ad-bc,

ca

3x+2yi

得=3x+2y+yi,

-yi

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

‘％+y=3%+2y,

因为x,y为实数，所以有

x+3=y,

2x+y=0,

得

3+3=%

得X=-1,y=2.

2、复数的几何意义

基础练习

一、选择题（每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.已知复数z在复平面上对应的点为（1,T），则（）

A.z=-l+iB.z=l+i

C.z+i是实数D.z+i是纯虚数

【解析】选C.因为复数z在复平面上对应的点为（1,7）,所以z=1-i.所以

z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.

2.已知Zi=5+3i,Z2=5+4i,下列选项中正确的是（）

A.Zi>z2B.Zi<z2

C.|zi|>|z21D.|z,|<|z2|

【解析】选D.因为复数不能比较大小，所以A.B不正确，又|zJ=\/52+32=

22

V34,1z21=V5+4=V41,

所以IzJVzzI,故C不正确，D正确.

3.向量面对应的复数为z,=-3+2i,诬对应的复数为z2=l-i,则|5A+而］为（）

A.V5B.V3C.2D.V10

【解析】选A.因为乙=-3+2i,Z2=1-i,

所以苏=(-3,2),0B=(1,-1),

则OA+OB=(-2,1),

所以|5X+5S|=J(^2)^+12=〃.

4.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,

则，等于()

A.2+1

C.-2+iD.-2-i

［解析］选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,5与z互为共机复数，对应的两点关于实

轴对称，所以Z=2-i.

5.在复平面内，前对应的复数是2+i,诬对应的复数是则①对应的复数为

()

A.l-2iB.-l+2i

C.3+4iD.-3-4i

【解析】选D.由题意知A近(2,1),CB=(-1,-3).CA=CB+BA=(-1,-3)+(-2,-1)-

(-3,-4),所以c不对应的复数为-3-4i.

6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b£R的说法正确的是()

A.Z=a-bi

B.若2=2,则b=0

C.若|z|=0,则z=0

D.若|z|WO,则abWO

［解析］选ABC.由复数z=a+bi,a,bGR,得岸a-bi,选项A正确；若，=z,则a+bi

=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确；若|z|=0,贝Ua2+b2=0,所以a=b=O,z=0,选项C

正确；若|z|WO,则a2+b2=AO,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知复平面内，点(2cos300°,2sin300°)对应的复数为z,则

z=,|z|=.

【解析】由点的坐标(2cos300°,2sin300°),

得(1,-/3),对应的复数为z=1-禽i,|z|=2.

答案：1-«i2

8.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量■对应的复数的

实部为,虚部为.

【解析】复平面上，实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则/(-3,-4),对

应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.

答案：-3-4

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知z=x+yi,x,yGR,若2xT+(y+l)i=x-y+(-x-y)i.

⑴求实数x,y的值；

(2)求，

【解析】(1)因为x,y为实数，所以2*7,丫+1/-丫,+-丫都为实数,

2%-1=x-y,

由复数相等的充要条件得，

、y+1=-x-y,

x=3,

解得

y=-2.

(2)岸x-yi=3+2i.

10.已知复数z满足|z+l-i|=1,求|z|的最大值和最小值.

【解析】设复数z对应向量应，复数zF-1+i对应向量。Z；,由|z+1-i|=|z-(7+i)|

=1,得|OZ-OZ,|=|Z,2|=1,所以动点Z的轨迹是以C(T,1)为圆心，半径为1的圆,

所以复数z对应的点的轨迹是以T+i对应的点C为圆心，以1为半径的圆，画出

方程|z+1-i|=1表示的轨迹，如图，

而|z|则表示该圆上的点到原点0的距离，由平面几何知识可知，使圆上的点到原

点距离取最大(最小)值的点在直线0C与圆的交点处.

所以Iz|最大值为10C|+r=V2+1,

最小值为|0C卜r=d2-1.

提升练习

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分，有选错的得0分)

1.(多选题)设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,tGR,则以下结论中正确的是

()

A.复数z对应的点在第一象限

B.复数z可能是纯虚数

C.复数z对应的点在实轴上方

D.复数z一定是实数

【解析】选BC.因为z的虚部t?+2t+2=(t+1)2+1恒为正，所以z对应的点在实轴

上方，且z一定是虚数，排除D.

又z的实部2t?+51：-3=代+3)(2t-1)可为正、为零、为负，所以选项A不正确.当

t=-3或一时B正确.

2

2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复

变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可

知,e-2i表示的复数在复平面中位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选C.e2-cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2)),由于-r

Tt

<-2<—,因此cos(-2)<0,sin(-2)<0,所以点(cos(-2),sin(-2))在第三象限.

2

3.(多选题)复平面内，下列关于复数的叙述正确的是()

A.原点对应的复数是0

B.纯虚数对应的点在虚轴上

C.实轴上的点对应的复数是实数

D.虚轴上的点对应的复数是虚数

【解析】选ABC.复平面内，原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在

虚轴上，选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数，选项C正确.虚轴上除原点以

外的点对应的复数是虚数，选项D错误.

4.设复数z=m(3+i)-(2+i)(mGR(i为虚数单位).在复平面内对应的点不可能位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点P(3m-2,m7).

当m>1时P在第一象限；

2

当m<一时P在第三象限；

3

2

当一<m<1时P在第四象限；

3

2

当田二一时P在y轴上；

3

当m=1时P在x轴上.

【补偿训练】

设A,B为锐角三角形的两个内角，则复数z=(cosB-tanA)+itanB对应的点位于

复平面的()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角，

nn

所以A+B>—,即A>—B,sinA>cosB.cosB-tanA

22

sinA

-cosB-----<cosB-sinA<0,

cosA

又tanB>0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.复平面内，点(2,3)对应的复数的共貌复数为____.

【解析】复平面内，点(2,3)对应的复数z=2+3i,共瓢复数为Z=2-3i.

答案：2-3i

6.复数z产3与z2=2-V3i对应的两点间的距离为.

【解析】复数z,=3与z2=2-V3i对应的两点ZI(3,0),Z2(2,-B)间的距离为

22

J(3-2)+(V3)=2.

答案：2

7.已知z-|z|=-l+i,则复数z=

【解析】设z=x+yi(x,yWR),

由题意得x+yi-J%2+y2=T+j,

即(x_J:2+y2)+yj=T+j,

所以z=i.

答案：i

8.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，且zWO,则a的值为

【解析】由题意，得a?-2a=0,

得a=0或a=2.

当a=2时z=0,与题意不符.

答案：0

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.如果复数zEm'+m-D+anT'-gm+B)i(mGR)对应的点在第一象限,求实数m的取

值范围.

【解析】因为复数z对应的点在第一象限.

m2+m-1>0,

所以，

2

t4m-8m+3>0,

—1—Vs、3

解得m<-----或m>-

22

所以实数m的取值范围为

卜8，¥)U(|，+8)

1

10.已知两向量a,b对应的复数分别是Zi=-3,z2=--+mi(mCR),且a,b的夹角为

2

60°,求m的值.

【解析】因为a,b对应的复数分别为ZE-3,Z2=

一1+mi(mGR),所以a=(-3,0),b=(-加)

又a,b的夹角为60°,

(-3,0)•m\

所以cos60°二—'2/,

J(-3)2+02,J(-1)+优2

即—=—12：”,解得m=i--.

22

3y

11.设复数z=(2'+a)+(2x+a)i,x,adR,当x在(-8,+8)内变化时，求反|的

最小值g(a).

【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-'+a)2

=22x+2~2x+2a(2x+2'x)+2a2.

令t=2*+2',则t22,且22x+2'2,=t-2.

从而|z|之二t?+2at+2a乙2二(t+a)2+a2-2,

当-a22,即aW-2时,g(a)=a2-2;

当-a<2,即a>-2时,g(a)=(Q+2)2+a2-2=V2|a+1|.

Ja2-2(a<-2),

综上可知g(a)=

V2a+1(a>-2).

3、复数的加、减运算及其几何意义

基础练习

一、选择题(每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分，有选错的得0分)

1.已知Zi=2+i,z2=l+2i,则复数z=Z2-Zi对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.z=Z2-z产(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零，虚部大于零，故位于第二

象限.

2.若复数z满足z+(3-4i)=l,则z的虚部是()

A.-2B.4C.3D.-4

【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.

3.已知复数z,=l+2i,z2=3-4i,若z+zi=z2-z,贝I复数z=()

A.l+3iB.l-3i

C.2-6iD.3+4i

【解析】选B.设2=2+明通，bGR,

由复数z,=1+2i,Z2=3-4i,且Z+ZFZ2-Z,

得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),

得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,

所以a+1=3-a,b+2=-4-b,

得"1,b二一3,所以z二1-3i.

［一题多解】选B.因为复数ZF1+2i,Z2=3-4i,且Z+ZFZ2-Z,所以

2Z=Z2-Z#4i-（1+2i）=2-6i,所以z=1-3i.

4.在复平面内，复数1+i和l+3i分别对应向量而和诬，其中0为坐标原点，则

IAB|=（）

A.V2B.2C.V10D.4

【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,

品对应的复数为（1+3i）-（1+i）=2i,

所以|福|=2.

5.如图,设向量0。PQ,3所对应的复数为zbz2）z3）那么（）

A.z「Z2-Z3=0B.Zi+z2+z3=0

C.z2-Z|-z3=0D.Zi+z2-z3=0

【解析】选D.由题图可知，PQ+QP=0,

所以PQ+OP-OQ=0,所以Zi+Z2-Z3=0.

6.（多选题）下列关于复数的叙述正确的是（）

A.两个共扰复数的和是实数

B.两个共貌复数的差是虚数

C.两个共辗虚数的和是实数

D.两个共辗虚数的差是虚数

【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b£R,则共机复数，=a-bi,所以有z+Z=2a£

R,z-Z=2bi,当b=0时，z-5是实数，当b/0时，z-彳是虚数,A正确，B不正确.设虚

数2=2+增，a,bGR,且bHO,则共朝虚数Z=a-bi,所以有z+Z=2aGR,z-Z=2bi是虚

数，C正确，D正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.计算(l-3i)-(2-4i)+(3+5i)=.

【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)

=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.

答案：2+6i

8.已知|z|=V5,且z-2+4i为纯虚数,则z=.

【解析】设复数z=x+yi(x,y£R),

则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.

(x-2=0,

x=2,(X=2,

由题意知《y+4。0,所以

(x2+y2=5,y=1

所以z-2±i.

答案:2士i

【补偿训练】

已知向量方和向量反对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量正对应的复数

为.

【解析】因为最所以Ad对应复数为（2-i）-（3+4i）=7-5i.

答案:7-5i

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.已知复数Zi=-l+2i,z2=l-i,zs=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若o6=x6A+y。瓦

求x+y的值.

【解析】由于复数z产-1+2i,Z2=1-i,

Z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,

所以加=-1+2i,0B=1-i,OC=3-2i,

因为OC=xOA+yOB,

所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),

-x+y=3,(X=1,

所以J解得j_4故x+y=5.

,2x~y=-2,U-4,

10.已知z产-3+i,Z2=2+6i对应的向量分别为OZ；和。Z；以OZi,OZ?为邻边作平行四

边形0ZCZ2.求向量反，Z%,Z?Z对应的复数.

【解析】由复数加减法的几何意义知，向量56对应的复数为

z,+z2-(-3+i)+(2+6i)--1+7i,

-

向量ZiZ对应的复数z2Zi=(2+6i)-(-3+i)

=5+5i；

向量ZzZi对应的复数ZI-Z2=-5-5i.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分，有选错的得0分)

1.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【解析】选A.|AB|=|2iT|=V5,|AC|=|4+2i|=A/2«|BC|=5,所以|BC|J|AB「+

|AC|2.故选A.

2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形

ABCD的对角线BD所对应的复数是()

A.5-9iB.-5-3i

C.7-lliD.-7+1li

【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则

00=(-3,-2),0心(-4,5),比=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足

BWBA+BC-(0A-0B)+(0C-0B)=(7,-11),所对应的复数是7~11i.

3.(多选题)设％,z2ec,则下列关系正确的是()

A.|z1+z2|>|zl|

B.|zi-z2|<|zil

C.|zi+z2W|z』+|z21

D.|z-z2|^|zi|+|z2|

【解析】选CD.若Z2=0时，|zi+zz|=|z』，|z「Z2|=|zJ,故A,B不正确.

设复数z“Z2对应平面向量0Z；,0Z2,

当0Z：与。Z；不共线时，Ioz：+oz；|<|oz：|+|oz：|,当。z；与oz；方向相同时，

|oz,+oz2\-\0Zt\+\OZtI,

故|oz；+oz；|0Z：|+|oz21,

即|ZI+Zz|W|z』+|zz|,C正确.

当oz；与olz不共线时，Ioz；-oz；|<|oz,|+|oz2I,当oz,与oz；方向相反

时，Ioz：-oz；|=|oz.\+\oz2\,

故Ioz；-oWIW|OZ,I+Ioz21,

即IZLZZIW|z』+|zz|,D正确.

4.复数Zi=l+icos6,z2=sin9-i,则IZ1-Z2I的最大值为()

A.3-2V2B.V2-1

C.3+2V2D.V2+1

【解析】选D.|Zi-z21-1(1+icos0)-(sin9-i)|

=J(l-sin0)2+(1+cos0)2

=13-2(sine-cos。)

=13-2岳济(8-％43+2匹加+1.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量或对应的复数为l+2i,向量

加对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为.

【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量温对应的复数为1+2i,向量的对应复数

为3—2i,得4。A+A&oA+B6-BA=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的

复数为5-8i.

答案:5-8i

6.复数z=x+yi(x,yWR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2'+4,的最小值为.

【解析】由|z-4i|=|z+2|,得

Ix+(y-4)i|=|x+2+yi|,

所以x2+(y-4)②=(x+2)2+y2,

即x+2y=3,

所以7+4y=2*+2,2,2*+2ymm^

当且仅当x=2y=。时，2x+4y取得最小值4A/2.

2

答案：4立

7.已知复平面上aAOB的顶点A所对应的复数为l+2i,其重心G所对应的复数为

1+i,贝I」|OA+OB=.

【解析】复平面上aAOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数

一2一

为1+i,设AB的中点为D,则OG二-OD,由向量加法的平行四边形法则，得

3

OA+OB=2ob

=3OG=3+3i,故IoA+o巨|=3&.

答案：3位

8.复平面内有A,B,C三点，点A对应的复数是3+i,向量正对应的复数是-2-4i,

向量无对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为.

【解析】因为cl表示的复数是2+4i,

而表示的复数是4+i,

所以AB=CB-CA=(4+i)-(2+4i)=2-3i,

故0B=0A+AB=(3+i)+(2-3i)-5-2i,

所以B点对应的复数为ZB=5-2i.

答案：5-2i

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知复数z,=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,yeR)

设z=Z1-z2=14-lli,求z,+z2.

【解析】由Zi=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yGR),z=zi-z2=14-11i,

得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,

'5%-3y=14,(x=1,

所以《解得o

+4y=-11,⑶=-3.

所以ZF(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z,+z2=-14-3i.

10.已知Zi,z2GC,|zi|=|z2|=l,|ZI+Z2|=V3,

求|z「Z21.

【解析】方法一设Zi=a+bi,Z2=c+di,

其中a,b,c,dER,则Zi+z2=(a+c)+(b+d)i,Zi-z2=(a-c)+(b-d)i,

由IZ/2=|Z2『=1,IZ1+Z2I2=3,

得a'b2=1,①

c:dl,②

(a+c)2+(b+d)之二3,③

_1

将①②代入③，得ac+bd=一.

2

222：z2222

所以|Zi-z21-(a-c)+(b-d)a+b+c+d-2(ac+bd)=1,

所以IZLZZR.

方法二：由zbz2GC,Iz,I=Iz21=1,|z,+z21=V3,根据复数与向量的对应关系以及

平行四边形法则可知,z“Z2,Zi+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图，在4ABC中，由

余弦定理，

1+1-(V3)21

得cosZABC=-----------------=一,

2X1X12

所以NABC=120°,NBAD=60°,

所以4ABD是等边三角形，

所以|B$|=1,即忆i-Z2卜.

11.已知平行四边形ABCD中，族与后对应的复数分别是3+2i与l+4i,两对角线

AC与BD相交于P点.

(1)求Ab对应的复数;

(2)求苏对应的复数；

(3)求4APB的面积.

【解析】⑴由于四边形ABCD是平行四边形，所以A6=AE+AI5,于是AI5=A6-八反而

(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即AD对应的复数是-2+2i.

⑵由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即D百对应的复数是5.

/、一—1一1一(1C

(3)由于PA二一CA二一一AC=I--,一2

22V2

—・1―a/5I―>―,5

PB=-DB=-,0),于是PA.PB=—,

2\2J4

.—>.V17.—..5

而|PA|二——,|PB|二一,

22

心V175A5

所以t----•--cosZAPB=一,

224

V174-/17

因止匕cosNAPB=--------,故sinZAPB=-------,

1717

,0一।1V1754g5…,,,,5

故S'nc二一PAPBsinZAPB=-X——X-X-------二一.即4APB的面积为一.

^APB22221722

4、复数的乘、除运算

基础练习

一、选择题（每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.（2020•全国I卷）若z=l+i,则|Z2-2Z|=（）

A.0B.1

C.V2D.2

【解析】选D.由z=1+i得，z?=2i,2z=2+2i,

所以|zZ-2z|=|2i-（2+2i）|=2.

2.（2019•全国卷H）设z=i（2+i）,则岸（)

A.l+2iB.-l+2i

C.l-2iD.-l-2i

【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,贝丹-1-2i.

3.在复平面内，复数白勺共辗复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

1_1+i

【解析】选D.复数

(1+i)

—1+i—1+i—1I1:

一't-I

1-i2222

—11

所以z的共斩，复数Z=--i,

22

5对应的点为（g,位于第四象限.

4.已知i为虚数单位，z=i20,9+i2020的共轨复数为（）

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-l-i

【解析】选A.因为z=产，苫°=产0所以z的共朝复数为1+i.

5.设复数z的共加复数是三若复数z产3+4i,Z2=t+i,且zi•是实数，则实数t

等于（)

34

A.-B.—

43

43

C.—一D.—

34

【解析】选A.因为Z2=t+i,所以=Li.zi・，2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,

-3

又因为zi•Z2^R,所以4t-3=0,所以t=".

6.（多选题）对于非零复数a,b,以下四个命题一定为真的有（）

1

A.a+—WO

B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.若|a|=|b|,则a=±b

D.若a2=ab,则a=b

1

【解析】选BD,对于A,取a二-i,则a+-=0,A不正确；对于B,对于任意复数a,b,一

定有(a+b)2=a%2ab+b2,B正确；对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a/士b,C错误;

对于D,由a2=ab及a于0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.(1+i)2--=

2+i

,2-i(2-i)2314

【解析】(1+i)2——=2i----

2+i555

…314

答案:-T一

55

8.若复数z满足i•z=l+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为

【解析】设2=2+田，则i,（a+bi）

=ai+bi?=ai-b=1+2i,

故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.

答案:2

三、解答题（每小题10分，共20分）

a+2i

9.已知复数Zi=(-l+i)(1+bi),Z2：--------,，其中a,bGR.若心与zz互为共拆复数，求

1-i

a,b的值.

-..-a+2i=(a+2i)(1+i)

［解析］Zi-(1+i)(1+bi)二一1-bi+i-b-(-b7)+(1b)i,z2----------------

1-i(1-i)(1+0

a~2丁4

a+ai+2i-2a-2a+2,,———=-b-1,

----------二---+----i.由于Zi和Z2互为共朝复数，所以有2c解得

222jl,

a=-2,

=1.

10.若f(z)=2z+Z_3i,f(Z+i)=6-3i,求f(~z).

【解析】因为f(z)=2z+Z-3i,

所以f(5+i)=2(5+i)+(5+I)-3i

=2Z+2i+z-i-3i=2Z+z-2i.

又因为f(5+i)=6-3i,所以2，+z-2i=6-3i.

设z-a+bi(a,bWR),则Z-a-bi,

所以2(a-bi)+(a+bi)—6—i,即3a-bi=6-i.

3a—6,

由复数相等的定义，得｛,y

V-b=-1,

解得｛，~:所以z=2+i,

故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.

提升练习

一、选择题(每小题5分，共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分，有选错的得0分)

L在复平面内’复数《+a+Ei)2对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.—+(1+V3i)2=—+—i+(-2+2V3i)=-一+(2，3+-)i,对应点

1+1222\2J

(—T,2V3+在第二象限.

2.设z„Z2是复数,则下列命题中的假命题是()

A.若|Z|-Z21=0,则Z]=Z2

B.若Z1=Z2>则Z]=Z2

C.若|z/=|Z21,则4•Z]=Z2•Z2

D.若IZiI=IZ21,则z£=z/

【解析】选D.A项，IZi—Z21—0今z「Z2二0oZ1=Z2今Z]=Z2,真命题；B项，zmZ?今

Z1=z2,真命题；

C项，|Zi|=|Z21=>|Zi|J|z212nZ1•Z1二Z2•Z?,真命题；

D项，当|z』=|ZzI时，可取ZF1,Z2=i,显然z/=1,Z§=7，即Z—Z1,假命题.

3.(多选题)下列叙述正确的是()

A.方程3X2-2X+1=0的两个根互为共辗虚数

2

B.设i是虚数单位，则复数/一=i

i

C.a=l是复数(a+i)(l-ai)为实数的充要条件

D.a=6是复数”义为纯虚数的充要条件

l-2i

【解析】选ABD.方程3x?-2x+1=0的△<(),两个根为共辄虚数，选项A正确.

.32.2.2i..」“

i—--i---i--i+2i-i,选项B正确.

iii2

因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,

所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件，选项C不正确.

a+3ia-6+(2a+3)i

因为

l-2i~5

a+3i

所以当a=6时，复数----