【冲刺985、211之2023届新高考题型模拟训练】16 圆锥曲线综合问题 多选题（新高考）解析版-高考数学备考复习重点资料归纳

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】

专题16圆锥曲线综合问题多选题（新高考通用）

1.（2023•广东•校联考模拟预测）已知双曲线C：二-与=1（«>0,h>0）,C的左、右

矿b

焦点分别为6，6，尸为c上一点，则以下结论中，正确的是（）

A.若尸（衣1）,且桃_Lx轴,则C的方程为J_y2=i

B.若C的一条渐近线方程是&x-y=0,则C的离心率为亚

2

C.若点P在C的右支上，C的离心率为石，则等腰尸[。的面积为於

D.若sinNPEE=e-sinNP^[,则C的离心率e的取值范围是（L&+1]

【答案】AD

【分析】由双曲线上一点尸（&』），及尸鸟_Lx轴，可得“也。的值，即可求得双曲线方程,

从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦

点三角形的几何性质即可求得等腰-P耳。的面积，从而判断C；山已知结合正弦定理与双曲

线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D.

【详解】对于A,若网&,1）,且巴"x轴，则网一此0储（60）,c=6,

所以|P图一|P用="2夜了+F_Jo2+F=3-1=2=2”，则。=1,所以〃=。2-/=1，则C

的方程为x?-y2=i,故A正确;

=J1+乂=A/3>故

对于B,若C的一条渐近线方程是缶-y=0,则一=离心率e=£

aa

B不正确;

对于c,若c的离心率为6，则。=岛，所以匕=7?二7=缶，若点尸在c的右支上,

J耳。为等腰三角形，则归。=。同，连接PF2,如图,

s_1„_1b2_b2

则△月耳人是直角三角形，所以,助。一5»"再一5.—一万，故c不正确；

tan—

4

对于D,若sinN尸耳5=e-sinNP^4，由正弦定理得|%|=e|P©,可知点P在双曲线的左

支上，故|明|-|尸£|=2%

则|尸用=言，又|「£|泊一匹所以刍整理得冷会-1,解得e«0+l，

所以C的离心率e的取值范围是(L&+1],故D正确.

故选：AD.

2.(2023•浙江•模拟预测)已知抛物线<7:丫2=2〃匹(0>0)的焦点为尸，准线与x轴的交点为

M,过点尸的直线/与抛物线C相交于4,8两点(点A在第一象限)，过4,8点作准线的

JT

垂线，垂足分别为A，g.设直线/的倾斜角为。，当。=工时，|AB|=16.则下列说法正确

O

的是()

A.NA7WB有可能为直角

B.|M”IA4I=I%IIF即

C.。为抛物线C上一个动点，£(3,1)为定点，IIQEI-IQFII的最小值为石

D.过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于尸点(点P在第一象限)，则存在0,使

11,

--------------1--------------=1

\AF\\PF\

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.

[详解】依题意，点F(4,o),准线方程为X=-与，设A®,y),B(x2,y2)，直线/：X=等y+£

22sin62

COS0p

X=----VH---22Pcose-y„2Pcose2

由sin62消去x得:kf=°'…=71Kl…，

y2=2px

71

cos—

当。=2时，----=y/i,+X2=5/3(y,+y2')+p=lp,

6sin-

6

\AB\=\AF\+\BF|=xl+^+x2+^=8p=16,

解得P=2,抛物线C：V=4x,M(TO),

对于A,当ABIx时，&1,2),8(1,-2),有|MFRAF|=|BF|=2,ZAMB为直角，A正确;

2

对于B,尸(1,0),A(-l,y)，4(T%),$=(-2,乂),对=(一2,%)，y,y2=-p=-4,

y

因此RV/^=4+M%=0,即而尸贝|J|MF|IA8"=|FAI|EBJ,B正

确；

对于C,显然点E在抛物线C内，IIQEI-IQF灼E尸|=有，当且仅当点Q是直线EF与抛

物线C的交点时取等号，C错误;

1c±24cos04八、八劣曰2(1+cos0)

对于D，由广飞前打4=°，乂>°,得

।人厂।1cos01I2cos6（1+cos。）+2_2cos6+22

同理

“m+F"+i=sin201-cos20l-cos。

11-cos—

1o

\PF\=-2-'

1-cos—2—2cos—1—cos—3—cos—2cos一

111-cos。______22,2_22

-----------1-----------------十

\AF\\PF\22—__一—

令二f+』T[=l，而cosge(0,l),解得cosg=。，则6»=§,D正确.

\AF\\PF\2223

故选：ABD

3.(2023秋•浙江•高三期末)如图，已知抛物线「：y2=2px(p>0),M为x轴正半轴上一点,

ON=WM(A>0,A^1),过M的直线交「于B,C两点，直线CN交抛物线另一点于。，直

线8N交抛物线另一点于A,且点4(玉,乂),。(々,名)在第一象限，则()

也=把

c回厂SgcN

【答案】AD

【分析】设N（〃,0）,得“（力?,0）,由直线48,BC的方程以及根与系数关系求得工，工，由

%X2

直线8的方程以及根与系数关系求得％=%%,根据弦长公式求得|AD|,|BC|,进而求得

\AD\根据三角形的面积公式求得沁1

\BC\3△BCN

【详解】设N（a,0）,则例设宜线48：x=my+〃，

Ix—^22）；+IT

由，:消去X并化简得丁-2。机），-2??=0,

[y~=2px

同理可得力•%=学,所以丛二%,

A选项：所以％%=-2p〃,故A正确;

A%

B选项：土=毛=储，故B错误;

W>2

C选项：同理可得力•如=-2p”，所以巫=1,所以生：=1,所以％=2为，

%%%

2P型-二a,

令％=^AD=~~一，%C

y+%%+%X+%

则1|=JBC|=一%|，

\KV4K

IA。

所以

\BC\

LO2

D选项:_ANDN2_2=2故D正确.

S^BCNCN-BNy2yB

故选：AD

22

4.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知椭圆C:三+匕=1,A，&分别为椭圆C的左右顶

43

点，8为椭圆的上顶点.设例是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A8与直线4M交

于点P,直线AM与直线交于点。，则（）

3

A.若直线4M与4M的斜率分别为匕，k2,则始&=-j

B.直线P。与x轴垂直

C.忸”=忸0

D.\MP\^\MQ\

【答案】ABC

【分析】设M（x,y）,由斜率公式及点在椭圆上可得用“判断A,联立直线的方程求事。、

尸坐标，由条件可得与=%即可判断B,求出PQ中点在y=V3±,即可判断CD.

【详解】如图，

%

「X、

3。引

设M（x,y）,则，yy丁14）3,故A正确；

用/=•==）=

~x+2x-2x-7-4x2-44

y=《（x+2）

直线AM的方程为y=M（x+2）,直线4B的方程为丫=一日.

0+6,联立6厂得

y=---x+V3

__%+2有

a2k心,即吟］,

4凤（2占+G2k^y/3）

y=~E

+

4玲+26-%+2逝

同理可得尸（黄等，芝朱I因为仁a=一13所以

42&-君一」一百-2k、++'

2kl

所以/二%,则直线PQ与汇轴垂直，故B正确;

3G

4岛6

同理所以

2k,~一出_2k、+#＞，

2K

死人=愚++=嘤/=25故PQ的中点在直线广石上’故C正

确；D错误,

故选：ABC.

5.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）已知双曲线C:2=1（a＞。力＞0）

a-b-

的左、右焦点分别为片,K，直线y=丘交双曲线C于AB两点，点尸为C上一动点记直线

尸A,尸8的斜率分别为心,若kp/kpB=2,且K到C的渐近线的距离为0,则下列说

法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为6

B.过右焦点的直线与双曲线C相交”,N两点，线段MN长度的最小值为4

C.若/耳尸鸟的角平分线与x轴交点为（3,0）,则以-凡=26

3■

D.若双曲线C在尸处的切线与两渐近线交于Q,R两点，则

【答案】ACD

【分析】首先由已知条件求得双曲线方程为丁-£=1,求出离心率判断A,由双曲线的性

2

质求得|刚最小值判断B,利用角平分线定理求得|「耳|,|尸闾，计算三角形面积判断C,设

尸（与，儿），由导数求得切线方程后，求出QR点坐标，计算三角形面积判断D.

【详解】由题意知6=亚，

设P（x。,%）,A（x”y）,则B（T1f）,

4+4=114+4=,'相减整理得率再=£，

/b2x2_y2〃2

b2

2

/一再xQ+x1片一X；a

kpA，kpB=t=2,故a=l,双曲线的方程为f-1■=1,

对于A：c=6故e=J=6,选项A正确；

a

对于B：因实轴长2a=2＜4,故选项B错误；

对于C：记J*,。），/­（-73,0）,乙（6,0）,田7|=半，优7卜苧，由角平分线定理

得：耨瑞=2,又||「耳|-归闾|=2«=2,所以阀|=4,阀|=2,于是

仍用2=|尸入「+忻用2=16,所以/以记=90°,5"钻=；x|片用冈P周=26,故选项C正

确：

22

对于D：设P（/,y（））,XQ-=1»X：-1=9~,%=±J2（*-1）,

y>0时，y=j2(x2-l)，

切线方程为>-%=组匚丸，整理得不X-耳=1,

%2

同理y<°时，，y=-j2，-l）,/=--^=.k=--=?，

yjx-1-1%

切线方程为y_%=2X"CLX。）,整理得-*=1,

%=0时，％=1或x°=-l,切线方程为x=l或尸-1,切线方程也可表示为工环-亨=1,

2

所以过P（x。,%）的切线方程为x°x-亨=1,与渐近线y=联立解得x=2x_啦,，故

J22五、

与渐近线y=-0x联立，解得。~——f=一，~——一，

(2x0->/2ya'2xQ-y/2y0>、2%+V2yo2%+5/2%,

于是S\-4为|=1了提'一道第2=~~~=近，故选项D正确,

故选：ACD

6.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔•蒙日（如图甲）是18~19世纪

法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都

在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）.已知长方形R的四

边均与椭圆C:片+片=1相切，则下列说法正确的是（）

54

B.椭圆C的蒙日圆方程为V+y2=6

C.椭圆C的蒙日圆方程为Y+y2=9D.长方形R的面积最大值为18

【答案】CD

【分析】由。=石为=2,c=l结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称

轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体/?的长为机，宽为〃，由基本不

等式判断D.

【详解】由题意可知。=石力=2,。=1,则椭圆C的离心率为e=@,故A错误；

5

当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为2a=2退,宽为乃=4,

所以椭圆C的蒙日圆的半径为姐上乌t=3,即椭圆C的蒙日圆方程为M+y2=9,故

2

C正确，B错误；

2少

设长方体R的长为加，宽为"，则M+/=36,长方形R的面积为加14?二空=18,

2

当且仅当”=加=3&时，取等号，即长方形尺的面积最大值为18,故D正确；

故选：CD

7.(2023•辽宁•校联考模拟预测)已知尸是抛物线卬：9=20匹(°>0)的焦点，点4(1,2)在抛

物线W上，过点尸的两条互相垂直的直线4，4分别与抛物线W交于bC和Q,E,过点

A分别作4，4的垂线，垂足分别为M，N,则()

A.四边形面积的最大值为2

B.四边形4WW周长的最大值为2及

c―-—+—!一为定值L

'\BC\\DE\4

D.四边形面积的最小值为32

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出抛物线卬的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及

均值不等式计算判断A,B；设出直线《的方程，与抛物线方程联立，求出弦BCOE长即可

计算推理判断C,D作答.

【详解】因为点4L2)在抛物线/=2px上，

所以2?=2pxl,故p=2,y2=4x,

抛物线丁=4x的焦点F的坐标为(1,0),

因为|AMF+1AN『=|AF『=4,\AM+\AN^>2\AM\-\AN\,

所以|AM|・|A7V|42,当且仅当lAMRANb点时，等号成立，

所以四边形4WW面积的最大值为2,故A正确.

由|AMF+1ANF=(|AM|+1AN|尸-21AM|•|AN|,

得(|AM|+1AN|了48,即|AM|+1AN区2近，

当且仅当IAMRAN|=播时，等号成立，

所以四边形AMRV周长的最大值为4夜，故B不正确.

设直线BC的方程为xe+1,联立:鲁消、得…吁4=。,

方程V-4my-4=0的判别式^=16m2+16>0,

设8（司,凶）,C（x2,y2）,则%+%=4加,％%=-4,

贝|J|BC|=Jl+川I»-%|=Jl+加J（x+%『-4y%=4（l+/n2）,

同理得|。£=41+’），

]11nr_1

|BCj+LDE|-4（M+I）+4（/M2+1）一"0正确,

11

----H-----,所以|BC|-|O£|N64,

\BC\\DE\

当且仅当18cl=|DE|=8时，等号成立,

此时品OC£=；|8CT|FE|+J|8C|“FO|=JBCWO£|N32，故D正确.

故选：ACD.

8.（2023•辽宁•校联考一模）抛物线。:产=22X（，＞。）的焦点为/，准线为/，经过C上的

点M作C的切线m,m与y轴、/、x轴分别相交于点MP、Q,过M作/垂线，垂足为,

贝IJ（）

A.附=画B.N为必尸中点

C.四边形是菱形D.若NMP产=60,则|MQ|=2p

【答案】BCD

【分析】设/与x轴交点为R,则R未必是QF的中点，即可判断A,利用韦达定理表示出陷，尸

的坐标可判断B,根据菱形的判定定理可判断C,利用三角形的全等关系可判断D.

设M可知加斜率女存在，可设相：=川x-普

I2P）

将x=1—代入可得孕--y+%-学•=（）,由△=（）,BP%-孕*]=0可得"=',

2P2p2p2八2pJ为

因此明：＞=旦》+令，令y=0解得x=-三，所以，-5,01，

%22P12Pl

又因为/?（一5,0）,

要使归耳=怛。，则R必需为。尸中点，则必有-/+与=-0,即%=±Kp，

所以当且仅当％=±Wp时，|PF|=|P。才成立，无法满足任意性，A错误；

机：y=^x+§中令x=0,于是

%2k2J

因为陷卜多％）,尸（多°），所以N为陷尸中点，选项B正确.

因为,所以MQ是ME的垂直平分线,

而必"〃x轴，所以四边形MMQF是菱形，选项C正确；

由NM"=60,可得/必用尸=60,所以同。|=附尸卜/目.

因为4%MR=60,所以|必耳=2|/?耳=22，选项D正确.

故选：BCD.

22

9.（2023•河北邯郸•统考一模）已知双曲线C：々-•=l（a＞0,。＞（））的左、右焦点分别是F1,

ab

F2,过耳作圆f+y2=/的切线/,切点为“，且直线/与双曲线c的左、右两支分别交于

A,8两点，则下列结论正确的是（）

A.若a=3,b=4,贝IJ|B用+忸周=26

B.若8工_1幽，则双曲线C的渐近线方程为乃±2x

C.若=用，则双曲线C的离心率是屈

D.若M是8耳的中点，则双曲线C的离心率是逐

【答案】ABD

【分析】|O£|=c,\OM\=a,\MFt\=b,根据选项中的条件，求出忸制和怛周，利用双曲

线的定义，求出渐近线方程和离心率等结果.

对于A：由〃=3,h=4,得c=5,所以|0用=5,|。陷=3,|M用=4.

设怛闾=%则怛用=加+6.

在△Bf；居中，山余弦定理可得cosNBf；居=（“上©jl°-二〃/,解得机=1（）,

2xl0（；n+6）5

则忸闾=10,陶=16,从而忸用+忸为=26,故A正确；

对于B：山不，得OM//BF.因为。为大心的中点，所以M为BE的中点.

由题意可知|OM|=a,|叫|=6,则忸闾=2”，忸用=».

由双曲线的定义可得忸用-忸周=勖-勿=%，即6=2°,

则双曲线C的渐近线方程为y=±2x，故B正确；

对于C：由|幽=2网,得忸＜=3。,则忸周=3。—2”.

由余弦定理可得cosNB£居=（39-+（2c）2-（38-21上,

在2XB耳内中,

2x3bx2cc

整理得『|

,故C错误;

对于D：因为M,O分别是86，耳鸟的中点，所以OM//B巳,所以忸周=勿，忸同=».

由双曲线的定义可得忸娟-忸闻=»-勿=勿，即b=2«,则e=J2+1=石，故D正确.

故选：ABD

10.（2023•山东潍坊•统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双

曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意

一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知耳,B分别为双曲线c：J-），2=i的左，右焦

3

点，过c右支上一点A（x°,%）k°>G）作直线/交X轴于点〃（:，。），交y轴于点可.则（）

A.C的渐近线方程为）,=±，XB.点N的坐标为（0,；

C.过点写作耳垂足为H,则|O〃|=6D.四边形4月性面积的最小值为4

【答案】ACD

【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得-X：%+3%=3%,

进而结合双曲线方程，即可得出点N的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推

得，点H为耳E的中点.进而得出|0丹卜;|心耳，结合双曲线的定义，即可判断C项；由

S*=S'g+Sg,代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.

【详解】对于A项，由已知可得4=b，6=1,所以C的渐近线方程为'=±七》=士等X,

故A项正确；

>o~0°-3?,v

对于B项，设N（0,yJ,则一上一3,整理可得一%以+3%=3%.

人0

X。/

又5所以考=3+3M，所以有—（3+3北）以+3%=3%，解得以=一｝,所以点N

对于C项，如上图，显然AM为双曲线的切线.

山双曲线的光学性质可知，A用平分延长6月与A心的延长线交于点£.

则AH垂直平分F、E,即点”为耳E的中点.

又。是耳巴的中点，所以，|OH|=g|玛目=g（|AE|-|A段）=g（|A6|-|A段）=。=6,故C

项正确；

对于D项，S“产2+SVMM=gx|耳用帆|+6-1x4x2^y°l'[y[=4,

当且仅当Ml=卡，即%=±i时，等号成立.

所以，四边形Af；NK面积的最小值为4,故D项正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出|。M=夕玛E|.

11.（2023•山东临沂•统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射

后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反

射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：V=2x,。为坐标原点，一束平行于x轴的光线《从

点P（%2）射入，经过C上的点A（x「yJ反射后，再经过C上另一点8（刍,必）反射后，沿直

线4射出，经过点Q,则（）

A.仪=；

B.延长AO交直线x=-g于点。，则。，B,。三点共线

c.

9

D.若PB平分ZABQ,则m='

4

【答案】AB

【分析】根据题设和抛物线和性质得到点尸（；，。），4（4,2）,将点A（$2）代入抛物线C的

方程得到不，从而求出直线A8的方程，联立直线AB和抛物线C得到点B的坐标，即可判

断选项A和C,又结合直线OA和直线x=-g得到点D,即可判断B选项，若PB平分以BQ,

得到ZABQ=2ZPBQ,转化为直线PB斜率%和直线AB的斜率的关系式即可求出加.

【详解】由题意知，点尸6，0]，4（&2）,如图：

2-0_4

将A（%,2）代入丁=2-得玉=2,所以A（2,2）,则直线AB的斜率口=5,

-2

/=2x.

联立｛42>得8X2-17X+2=0,解得占=2,x2=-,

y=-x——8

I33

又寸，%=-（，则8

82

所以玉々=2xJ=。，所以A选项正确;

84

25

又恒川=与+&+1=2+^+1=7，所以C选项错误;

OO

又知直线BQ〃x轴，且则直线8Q的方程为y=-g,

又A（2,2）,所以直线A。的方程为丫=%

令x=-g,解得y=-g,即。卜；，一£|，O在直线BQ上，

所以。，B,。三点共线，所以B选项正确；

设直线所的倾斜角为。斜率为心，直线A8的倾斜角为a,

若「8平分NAB。，即NABQ=2NPBQ,即a=29,

2t/inf）42ki

所以―=E’则丁匚百，且*。，解得「5,

又，2{2}1.解得：机=?，所以D选项错误；

k=——-——-=-8

Qm-22

故选：AB.

12.（2023秋•湖北武汉•高三统考期末）已知点尸是曲线C：x2+y2=k|+|y|上的动点，点。

是直线），=x+3上的动点.点。是坐标原点，则下列说法正确的有（）

A.原点在曲线C上

B.曲线C围成的图形的面积为乃+1

C.过Q（o,3）至多可以作出4条直线与曲线相切

D.满足尸到直线y=x+3的距离为逑的点有3个

2

【答案】ACD

【分析】分类讨论后，根据对称性画出函数图像，从而可以进一步求解.

【详解】对于A：将原点坐标。（0,0）代入，。2+（）2=河+擀正确，故A选项正确;

对于B：当x>0,y>0时，

曲线C：x1+y2=x+y,

即/一x+y?-y=0,

第一象限内曲线C与坐标轴围成的图形的面积为+图:签

才+2

所以总面积为：丁x4”+2.

由函数图像知过。（0,3）至多可以作出4条直线与曲线相切，故选项C正确；

|—1x0+1x0+3|3A/2

原点到直线y=x+3的距离为：d=+F=亏•满足1到直线y=X+3的距离为

斗的点有2。共3个，故选项D正确.

>

X

故选：ACD.

13.（2023春•湖北•高三校联考阶段练习）过椭圆C：!+［=l外一点?（x。,九）作椭圆C的

o4

两条切线，切点分别为AB,若直线PAPB的斜率之积为“为常数），则点P的轨迹可

能是（）

A.两条直线B.圆的一部分

C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分

【答案】BCD

【分析】设出切线方程旦斜率为女，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于左等式，根据判

别式及二次方程和韦达定理可得％的范围及⑥八Mm,根据〃的不同取值分别判断关于

方程所对应的轨迹即可.

【详解】解：依题意可知直线以和直线总的斜率存在，

设过。仇,/）的椭圆的切线方程为y—%=%（%—七），

y-y0^k（x-x0）

联立（d2化简可得：

—+—=1

84

2

（］+2左2）%2+伏（）x+2（y0-kx（））-8=0,

取A=16M（%一［）2_4（l+2有｛2（%-5）2-8卜0,

即（8-看*+2心。4+4-乂=0,

且有8-片HO,%H±20,且上式两根分别为心vM*,

贝U上式的判另U式AI=44y：-4（8-x；）（4-y；）=128（¥+U-］＞0,

47

整理得近+甚＞1,符合题意，所以既k%=宜.=加，

848r

①若〃z=O,贝！］%=±2（玉）^±2&），

即P点的轨迹是直线（两条）的一部分;

②若m=则为=±立/（々#±2近），即P点的轨迹是直线（两条）的一部分；

22

1X：I寸

若WHO且机整理可得赤二不口£一’，

2-----

m

8My—4

③当机=-1时，-----=4-8帆=12,

m

轨迹方程可化为片+y；=12卜。w±2&），即P点的轨迹是圆的一部分；

R/77—4—4

④当〃？<一1或一1v〃zv0时，——>0,4-8/71>0,且-----w4-8〃？，

mm

由于々产及④，且逆心=8-巴>8,所以尸点的轨迹是椭圆的一部分；

mtn

i8,〃一4改；I），_1

⑤当0<“<彳时，-----<0,4-8/n>0,8机一44-8〃?一表示焦点在一丫轴上的双曲线，

2m

m

由于瓯所以P点的轨迹是双曲线的一部分.

故选：BCD

【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于求轨迹方程的思

路有：

（1）已知轨迹，建立合适的轨迹方程，用待定系数求解；

（2）未知轨迹，求哪点轨迹设哪点坐标为（x,y）,根据题意建立关于X。的等式即可；

（3）轨迹不好判断，等式关系不好找时，找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量

关系，根据转化找出轨迹特点，建立轨迹方程，用待定系数求解.

22

14.（2023•湖南•模拟预测）己知。为坐标原点，耳，尸2分别是双曲线及十］=1（"0/>。）

的左、右焦点，尸是双曲线E的右支上一点，若归制T尸闾=8,双曲线E的离心率为。，

则下列结论正确的是（）

A.双曲线E的标准方程为=1

164

B.双曲线E的渐近线方程为2x±y=0

C.点P到两条渐近线的距离之积为］

D.若直线P片与双曲线E的另一支交于点M,点N为的中点，则

【答案】ACD

【分析】根据双曲线定义及离心率求出得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判

断AB,再由点到渐近线的距离判断C,点差法可判断D.

【详解】根据双曲线的定义得，俨用一忸用=8=为，故〃=4,由£=有，得c=2«,

a2

所以/=4,所以双曲线E的标准方程为兰-或=1,渐近线方程为y=±2x,即

1642

x+2y=0,所以A正确，B不正确；

设2仁,%),则点P到两条渐近线的距离之积为单以.噌以=看等与，所以C正确；

，1+4+455

设Mj,%),N(%%),因为P,M在双曲线E上，所E_K=i①，名一K=i②，

164164

①一②并整理得，工乜=岖二20，即争=4(f2),所以侬/“产"所以D正确.

y+'z玉一W2%不一々4

故选：ACD.

15.(2023•湖南张家界•统考二模)过抛物线E：*=2外(p>0)的焦点厂的直线/交抛物线E

于48两点(点力在第一象限)，M为线段A8的中点.若|AF|=2|BF|=6,则下列说法正

确的是()

A.抛物线E的准线方程为y=T

B.过A,B两点作抛物线的切线，两切线交于点M则点N在以4B为直径的圆上

C.若。为坐标原点，则|0陷=孚

D.若过点F且与直线/垂直的直线机交抛物线于C,D两点，则|M-|CD|=144

【答案】BC

【分析】对于A项，方法一：运用韦达定理及抛物线定义表示斗、为代入解方程

112

即可；方法二：运用E两+而£7=一求解即可；对于B项，运用导数几何意义分别求得、

卜皿将芦必的值代入计算即可；对于C项，运用韦达定理及抛物线弦长公式求得

,+%、人及七+%的值，进而求出点”坐标，运用两点间距离公式求得|。”|即可；对于

D项，方法一：将|A回=4+4(2/+1)中的斜率《换成可求得|CQ|,进而求得IA8HC0

\CD\=---矍~~?=-^4-

的值；方法二：运用抛物线焦点弦长公式可得।।sin?。，进而求得

cos设+引

|A8|・|8|的值.

【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点尸(0,5)的直线/的方程为丫=依+与，k>0,

设A（X，yJ,3（毛,%）,

d=2py.22

联立方程组1"消去X整理得y2—（242+l）py+§-=0,可得

v=kx-44

lH2

>2+3=3,,、,、2

因为|AF|=2|BF|=6,所以贝|」必必=3-引6-引=£,解得P=4,所以抛

y+/=6,I八7

物线E:V=8y,故抛物线E的准线方程为y=-2,故A项错误；

方法二：-：\AF\=2\BF\=6,.-.|AF|=6,|BF|=3,

112112…

又*'八万|+「寿7=一，7+7=—»解得：P=4,

|।AF|\BF\p63p

所以抛物线氏f=8y,故抛物线E的准线方程为产-2,故A项错误；

2

对于B项，设a（N，y）,B（x2,y2）,抛物线E:/=8y,y=1x,了=。工，

o4

易得kNA=；X],kNB-^X2,所以左也,左一=-£5/4〃2yly2=—1,

所以直线NA,NB垂直,所以点N在以45为直径的圆上，故B项正确；

对于C项，由A项知，抛物线E：x2=8y,则直线/的方程为），=履+2,k>0,设A（x「yJ,

3（孙％），

-Xny?—4（2公+1）y+4=0,

所以％必=4,y+力=4（2