讲析02 平面向量（考点分析）（解析版）

讲析02平面向量一、知识网络二、常考题型三、知识梳理1、向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．2、向量的线性运算1、向量的加法运算（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC（3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；=2\*GB3②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．（4）向量加法的运算律结合律：a＋b＝b＋a交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的减法运算（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.=1\*GB3①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②(－a)＝a；=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；=4\*GB3④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．（2）向量的减法=1\*GB3①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.=2\*GB3②几何意义：以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．3、向量的数乘运算（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.（3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.3、向量共线1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．【注意】（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.4、向量的内积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的内积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的内积；（2）记法：向量与的内积记作，即；零向量与任一向量的内积为0；4、平面向量内积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）5、平面向量内积的运算律（1）；（2）(λ为实数)；（3）；四、常考题型探究考点一向量的有关概念例1．给出下列命题：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确的序号是__(3)__.[解析](1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上．故填(3)．例2．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量是(D)A．eq\o(OC,\s\up6(→)) B．eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\o(CO,\s\up6(→))【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))方向相同且长度相等，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→)).【变式探究】1.下列命题中正确的个数是（

）①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；④若，则，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案；对于②，由零向量的定义和性质，可得答案；对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案；对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B.考点二向量的线性运算例3．化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.例4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为(A)A．(4,5) B．(5，－4)C．(3,2) D．(1,3)【解析】设D点坐标为(x，y)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝x，,3＝y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))∴D(4,5).例5．(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；(3)eq\f(2,3)[(4a－3b)＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,4)(6a－7b)]．[解析](1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(3)原式＝eq\f(2,3)(4a－3b＋eq\f(1,3)b－eq\f(3,2)a＋eq\f(7,4)b)＝eq\f(2,3)(eq\f(5,2)a－eq\f(11,12)b)＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.【变式探究】1.化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[解析]方法一(统一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用减法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.2.如图，正六边ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(B)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))【解析】连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→)).3.计算：(1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)；(2)(m＋n)(a－b)－(m－n)(a＋b)．[解析](1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0.(2)原式＝m(a－b)＋n(a－b)－m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n－m＋n)a＋(－m－n－m＋n)b＝2na－2mb.考点三平行（共线）向量例6.已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可求解.【详解】由，得，所以，则，解得.故选：D例7.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；[解析]∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AB∥BD，又eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．[解析]证明：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.考点四平面向量的坐标运算例8.已知向量，则__________.【答案】【解析】.例9.已知向量，若，则（）A．-1B．2C．-6D．6【答案】D【解析】向量，则，，故，解得.故选：D【变式探究】1、已知向量，若满足，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，将代入有:.故选：A2、已知向量，，，若与共线，则（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】由题意向量，，，则，由于与共线，则，故选：D考点五求内积例10.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：①a·b；②(a＋b)·(a－b)；③(2a－b)·(a＋3b).【解析】①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－eq\f(1,2))＝－3．②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34．例11.已知向量，若，则（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】根据数量积得坐标公式计算即可.【详解】，解得.故选：C.【变式探究】1.已知，，则（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】C【分析】先将表示为，展开后将坐标代入即可得出结果.【详解】解：因为，，所以.故选：C考点六求向量的夹角例12.已知，，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量夹角公式即可代入求解.【详解】设向量与的夹角为θ，则，因为，所以.故选:D.例13.已知向量，则向量的夹角的余弦值为.【答案】/0.6【分析】根据给定的坐标，求出向量的数量积及模，再求出夹角余弦作答.【详解】因为向量，则，，所以向量的夹角的余弦值为.故答案为：【变式探究】1、已知，，则，夹角的大小为．【答案】120