2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数是(

)A.i+2 B.−2+i C.−2−i D.2−i2.如果a和b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(

)A.a=b B.a⋅b=1 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知cosA=53，B=π6，A.4 B.6 C.103 4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为(

)A.32

B.42

C.5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，15，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是(

)A.1256π B.125π C.25π 6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

)A.α//β，l//α B.α与β相交，且交线平行于l

C.α⊥β，l⊥β D.α与β相交，且交线垂直于l7.在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，若MN=xAB+yAC，则A.1 B.23 C.−238.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为(

)A.47 B.313 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(−1,1)，b=(2,0)，c=(3,3)，则A.(a+b)//c B.a⊥10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是(

)A.A与B为对立事件 B.A与B为相互独立事件

C.P(A∪B)=12 11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若cosA>cosB，则A<B

B.若A=60°，b=4，a=3.8，则△ABC有两解

C.若a2=bc，则△ABC为锐角三角形

D.若acosA=bcosB，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算(−8−7i)×(−3i)=______．13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是(单位：分)：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的下四分位数为______．14.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA=sinBcosC，tanA=13，则tanC=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC．

(1)求A；

(2)若b+c=5，△ABC16.(本小题15分)

已知|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+2b)=−1．

(1)17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BC=EC，点F为线段BE的中点．

(1)求证：CF⊥平面ABE；

(2)求证：DE//平面ACF．18.(本小题17分)

某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[80,100)，[100,120)，[120,140)，[140,160)分组的频率分布直方图如图所示．

(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在[120,140)，[140,160)的居民中抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)的概率．19.(本小题17分)

如图(1)梯形ABCD中，AD//BC，AB=23，BC=2，CD=22，BE⊥AD且BE=2，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD和交于O，点P在AB上，且AP=2PB，R是CD的中点，过O、P、R三点的平面交AC于Q.在图(2)中：

(1)证明：Q是AC的中点；

(2)M是AB上一点，已知二面角M−EC−B的正切值为34，求参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ABD

10.BD

11.AB

12.−21+24i

13.678

14.1或1215.解：(1)由(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC，

得sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC，由正弦定理得b2+c2−a2=−bc，

由余弦定理b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=−12，

因为16.解：(1)因为(2a−b)⋅(a+2b)=−1，所以2a2+3a⋅b−2b2=−1，

故2×22+3a⋅b−2×32=−1⇒a⋅b=317.证明：(1)因为AB⊥平面BCE，CF⊂平面BCE，所以AB⊥CF，

又BC=EC，点F为线段BE的中点，所以BE⊥CF，

又AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，

故CF⊥平面ABE；

(2)连接BD交AC于M，连接FM，

因为四边形ABCD是矩形，

则M为BD的中点，又点F为线段BE的中点，

可得FM//DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，

故DE/​/平面ACF．

18.解：(1)由频率分布直方图可知，估计这100户居民的月平均用电量的平均数为90×0.005×20+110×0.015×20+130×0.020×20+150×0.010×20=124；

设中位数为m，

用电量在[80,120)的频率为(0.005+0.015)×20=0.4<0.5，

用电量在[80,140)的频率为(0.005+0.015+0.02)×20=0.8>0.5，

故中位数位于第三组中，故(m−120)×0.02=0.1，解得m=125

(2)由题意得月平均用电量在[120,140)的居民有23×6=4户，分别设为a，b，c，d，

月平均用电量在[140,160)的居民有13×6=2户，分别设为A，B，

所有基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)}，共15个．

记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)”，

则事件A包含的基本事件有：(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)}，共9个，

19.解：(1)证明：如图(1)：因为AD//BC，AB=23，BC=2，CD=22，BE⊥AD且BE=2，

所以AB=AE2+BE2⇒AE=22，FD=2，EF=2，

图(2)中：

在△ABD中，BPPA=12，BOOD=BCED=12，所以OP//AD，

又OP⊂平面PORQ，AD⊄平面PORQ，

所以AD/​/平面PORQ，

AD⊂平面ACD，平面PORQ∩平面ACD=QR，

所以AD/