高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十答案

第10练对数与对数函数

墟「Z^v-\.........

工积累运用

【知识梳理】

1.对数的概念

(1)对数的概念：如果。=Ma>0,且a#l),那么数工叫做以生为底”的对数，记作x=log«N,其中g

叫做对数的底数，”叫做真数.

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数logioN简记为坨」y；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记为(其中e=2.71828…).

2.对数与指数的关系

(1)对数的基本性质

①零和负数没有对数,即真数N>0；

②1的对数为。，即log"l=Q(a>0,且aWl)；

③底数的对数等于L即10gM=l(tf>0,且。#1).

(2)两个重要的对数恒等式

®a'°s^=N[a>0,且a#l,N>0)；

②log“，=&(a>0,且nW1).

3.对数运算性质

如果a>0且“Wl,M>0,N>0,那么，

(l)loga(MAO=log»M+log"N；

M

⑵log,W=\OZaM—\ORaN;

,

(3)log(x=n\os.l,M(neR).

4.换底公式

(1)对数的换底公式：1。8湎=警/7>0且aWl;c>0且cWl；b>0).

(2)三个较为常用的推论

①10gMog0og《=l(〃>O,。>0,c>0,且均不为1)；

②log“b=i^£(a>0,b>0,且均不为1)；

③logw“b〃=-log〃03>0,/?>0,且均不为1,mWO).

5.对数函数

一般地，把函数y=log„x(4>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+8).

6.对数函数的图象和性质

对数函数y=log“x(tf>0，且aWl)的图象和性质如下表

y=log,K(a>0,且aWl)

底数a>\0<4<1

/；y=k)gj(a>l)X=1

一

图象(1.0)一

q八1,。)

V卜3y=log。

(0<a<l)

定义域(0,+8)

值域R

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

共点性图象过定点£1曲，即x=l时，y=0

xG(0,l)时，xG(0,l)时，

ve(-°o,Q)；ve(0,+0°)；

函数值特点

%e[l,+8)时，%£[1,+8)时，

y€[0,+0°)yW(-8,0]

函数y=logor与y=log1冗的图象关于x轴对称

对称性

7.反函数

指数函数y="(a>0,且介1)与对数函数y=logRa>0旦介1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.

8.三种常见函数模型的增长差异

y=ay=logdy=kx

%。>1)3>D3。)

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

随X的增大逐渐变随X的增大逐渐趋于

图象的变化随X的增大匀速上升

“陡”稳定

增长速度y=«r的增长快于Y=kx的增长，的增长快于丫=1。々/的增长

增长后果会存在一个X0,当X>X0时，有心代>log.

【易错点拨】

1.易忽视对数式中底数与真数的范围.

2.要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆.

3.作对数函数图象易忽视底数。>1与0<a<1两种情况.

4.易忽视对数函数底数有限制条件.

5.求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.

城「小5________

警[基础过关练

1.（2021•福建省同安第一中学高一期中）已知lg5=a,贝lJlg20=（）

A.4+QB.0.6+ciC.2—67D.2a—4

【答案】c

【解析】

解：已知lg5=a,

.­.lg20=lg^y=lgl00-lg5=lgl02-lg5=21gl0-lg5=2-a.

故选：C.

2.（2021.陕西•西安一中高三期中（文））函数〃x）=KR+lg（6-3x）的定义域为（）

A.（f2）B.（-1,2）C.[-1,2]D.[-1,2）

【答案】D

【解析】

[x+l>0

要使函数有意义，则“。八，解得-"x<2,

[6-3x>0

则函数的定义域为[-1,2）.

故选：D.

3.（2021•陕西•泾阳县教育局教学研究室高一期中）函数y=logsX的图像与函数y=log02X的图像关于

（）

A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线丫=》对称

【答案】B

【解析】

设点（X,），）为函数>=log5X的图象上任意一点,则5>=X,

函数y=loggX可化为=x,9）=：=L可得5>=X,化为y=bgsX.

因为点（X,y）与点（X,-y）关于X轴对称，所以函数y=log5X的图像与函数y=log02x的图像关于x轴对称.

故选：B.

4.（2021•陕西•西安市第七十五中学高一期中）己知函数人x）=ln（x+a）的图象不经过第四象限，则。的取值范

围是（）

A.（0,1）B.（0,+℃）C.（0,1]D.[I,+oo）

【答案】D

【解析】

/*）的图象是由y=lnx的图象向左平移“个单位所得.y=lnx的图象过（1,0）点，函数为增函数，因此。21.

故选：D.

5.（2021•吉林・长春外国语学校高三期中（理））已知a=0.8小，*=log53,c=log88,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

因为〃=0.8皿>0.8。=1,b=Iog53<log55=1,c=log88=l

所以bvc<a

故选：B

6.（2021•陕西・咸阳市高新一中高一期中）函数fWfog.x-Y）的单调减区间为

3

【答案】（0二]或（0，（）

22

【解析】

令f=X-x2=-（X-1）2+1，易知：（-8，2）上递增，（"+00）上递减，

2422

对于丫=log/为减函数，且/=x—x2>0,EP0<x<l.

3

综上，/（x）在（0，）上为减函数.

故答案为：（0,；）

7.（2021•湖北•高一期末）已知集合4=卜|1082。+1）<2},3=5|—2<犬<6—1},若AC3=A,则实数〃，的

取值范围为.

【答案】［4,+8)

【解析】

由y=log2(x+l)在定义域内为增函数，

.,.0<x+l<4,解得-l<x<3

故A={x|log2(x+1)<2}={X|-1<X<3},

又因为An8=A,所以由B={x|-2<x<»?-l}

m-1>3

所以c/［，解得机24故实数，”的取值范围为［4,+8）

—20—1

故答案为：［4,+8)

8.(2021・重庆•字水中学高一期中)(1)计算*3+8/+lg2007g2；

(2)^log2(log3x)=log,(log2y)=2,求，一万的值.

【答案】(1)8；(2)431.

【解析】

(1)由题意，eln3+814+lg200-lg2=3+(34)；t+lg^=3+3+lglOO=6+2=8；

(2)Hj/glog2(log3x)=log3(log2y)=2,所以log?x=4,log,y=9,

所以x=3'=81,y=29=512,

所以y—x=512-81=431.

9.（2021・全国•）（1）已知log“g>l,求a的取值范围;

（2）已知k>g°.7（2x）<k）go7（x-l）,求x的取值范围.

【答案】⑴（川；（2）（l,+oo）

【解析】

（1）由log”3>1得log"g>log"a

①当a>l时，有此时无解.

②当0<a<l时，W«>—,从而[<a<l

22

所以。的取值范围是(；,D；

(2)因为函数ynloggX在(0,+8)上为减函数，

2x>0

所以卜一1>0,解得x>l.

2x>x-l

所以X的取值范围是(1,位).

口.(2021•宁夏育才中学高一期中)已知函数/(x)=log“(l—x)+log“(x+3)(0<a<l)

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断函数丘(x)的奇偶性;

(3)若函数/(x)的最小值为Y,求。的值.

【答案】(1)(-3,1)；(2)非奇非偶函数;(3)g

【解析】

/、[l-x>0

(1)要使函数“X)有意义：贝恒x+3>0,解之得：-3Vx<1,

则函数的定义域为(-3,1).

(2)因为/(x)的定义域(-3,1)不关于原点对称，故“X)为非奇非偶函数.

(3)因为/(x)=log„(1-x)(x+3)=log„(-X2-2X+3)=log”[-(x+1y+4]

V-3<x<l,.,.0<-(X+1)2+4<4,

V0<a<l,log“[-(x+1丫+4卜log“4,

即=log.4，由log,,4=-4，得丁=4，

."=4w=①.

2

;也.产c___

善1能力提升练

11.(2021•江苏・南京市第十三中学高一期末)已知函数/(大)="一/「(〃>0且"1)是定义域为R的

奇函数，且

(1)求q的值，并判断和证明/(x)的单调性；

(2)是否存在实数加(m>2且，"3),使函数g(x)=logg)[a"+a3-时(x)+l]在[1,2]上的最大值为0,

如果存在，求出实数加所有的值；如果不存在，请说明理由.

(3)是否存在正数&,化制)使函数/(x)=+3产/可在。，噬送上的最大值为左，若存在，求出％值，

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)4=1;单调递增，证明见解析；(2)存在，加=1?7；(3)k=73£,理由见解析.

624

【解析】

(1),函数/(幻=。'-口。1)是定义域为R的奇函数，XGR,

.•4(0)=0,即l-q=0,解得：q=T,

代入原函数，则有/(T)=—“X),

所以9=1，

3I31

,•*f(1)=-,,〃_,=/，2^2—3。-2=0,〃=2或a=_/,

・.・。>0,...a=2,/(x)=2A-2'\

任取实数石5,则/a)7(x,)=2*-2f-(2--2F)=(2*-2*)(1+/),

21•

-V)<Aj,2'r,<2V：>又2*+w>0,

f(xt)<f(x2),.,./(x)是单调增函数；

(2)g(x)=logw—jL"+a2'-mf(x)+1]

=2&2口"+2-2、-皿2、-2-、)+1]

=log“7>[(2'-2T>-m(2'-2-*)+3],

设t=2x-2T,则(2"-2-')2-机(2,-2-')+3=r-mt+3,

315

e[1,2],,记恤)=产-"W+3,

当0<祖—2<1,即2<〃?<3时，要使g(x)的最大值为0,则要网限,=1,

,,,，入2,3315,

V/?(?)=(r-y)-+(3-Y)>re与r，—].

⑺在R,与上单调递增，

24

321317

•••〃“)*=〃幺)=：-;机，由力(。,,而=1，得力=3，

2426

1717

因:£(2,3),所以胴=二满足题意；

66

当m-2>1,即机>3时，要使g(x)的最大值为0,

"I3

则要〃⑺2=1,且人⑴加”>o,>.,—>!»

①若白<与，F，则〃⑺…="(3)=等-96+3=1,解得：m=~7^1

ZZo410400

又〃(。“加=衅)=3-(>0,

:.3<m<26,由于-277>2A/5,加=§^不合题意，

6060

tn21口”21

②右丁>W，即加>二，

284

2，、，/、2132132121八小,

贝股?(43=〃(5)=7_3m<7_5X丁=_三<0,则2",

4*>/r*/r*To

17

综上所述，只存在加=3满足题意；

6

(3)令f=〃x)=2,-2f,由(1)知Ax)是单调递增函数，

3X

.♦.当xe[l,噫3]时，Ze[-,-],*=22，+22-2,

38

J.g(x)=gQ)=A：j+2,弓其最大值为％,

也即--h+2有最值1,二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取，

二只可能是以下三种情况：

①(%_3+2=1,解得人与此时对称轴为"与左端点处取的是二次函数最小值，

22612

而A>1,也即g(f)最小值，不合题意舍去.

QQ7373

②(乎-，+2=1,解得％=9,止匕时对称轴为七刍，右端点离对称轴更远，取的最大值,

332448

而Q1,也即〃Q)最大值，符合.

③---k—1-2=1,解得k=±2,此时对称轴为f=±l,不在区间上，

42

二最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去.

综上所述，%=三73.

12.(2021・四川・宁南中学高一阶段练习)已知函数/(x)是定义在R上的函数，对任意满足条件

/(x)-2=/(x+y)-/(y),/⑴=3且当x<0时，/(x)<2.

(1)求证："X)是R上的递增函数；

(2)解不等式/(log")23—〃log“X-3),(a>0且awl).

【答案】(1)证明见解析；(2)解集(0,a]U[4，+«0;a>\,解集(0,-V]U3,+8)..

aa

【解析】

(1)任取X|>*2，则/(々)一/(%)=/(七一龙|)一2,而*2-±<0,

"5一药)_2<0,即外天)</(引，

••.“X)是R上的递增函数：

(2)由题设，原不等式转化为/(log：x)+f(log“x—3)=f(log：x+log“x-3)Nl,

又x=y=0时，/(0)-2=/(0)-/(0)=0,即"0)=2,

ffi]/(-l)+/(l)=2+/(0)=4,又〃1)=3,即，(—1)=1,

/(log^x+log„x-3)>/(-l),由(1)知：log^x+log,,x-3>-l,

log；x+logax-2>0,解得log,,x*1或log,,x<-2,

当0<a<l时，0cxMa或当a>l时，xNa或0<x<4；

a«-

0<«<1,解集(0,a]UI-f,+8)；a>1,解集(0,=]U[a,+°°).

a-az

13.(2021.四川.成都外国语学校高一阶段练习)函数的定义域为£),若存在正实数3对任意的xe。,

总有|/(x)-/(-x)|<*,则称函数f(x)具有性质网左).

(1)已知/(X)为二次函数，若存在正实数k,使得函数〃x)具有性质P(&).求证：/(x)是偶函数；

(2)已知。>0,4为给定的正实数，若函数/(同曰"/甲+4-工具有性质外人)，求。的取值范围.

【答案】

(I)证明见解析:

(2)［2-\2*］.

【解析】

(1)证明：^/(x^aj^+bx+c,其中4x0,

则/(x)-/(-x)=(加+法+。)一(加一fer+c)=2/zr,所以,|/(x)-/(-x)|=2|/?x|,

若30,则函数》=2网的值域为［0,口)，则不存在正实数M使得|“x)-/(r)|次恒成立,

若6=0,则|f(x)-/(-x)|=0,存在正实数〃，使得x)|必恒成立,

所以，b=0,则/(力=奴2+，，故函数/(x)为偶函数.

(2)解：因为。＞0,对任意的XGR,4'+〃＞0,故函数f(x)的定义域为R，

vr

(x)=log,(4'+