2022-2023学年北京西城区第六十六中学九年级上学期数学期末考试卷含详解

2022北京密云初三（上）期末

数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项,其中只有一个选项是符合题意的

1.如果4加工5〃（/0）,那么下列比例式成立的是（）

mnmnm4m5

A.——=—B.—=—C.—=—D.—=—

4554n54n

2.已知。。的半径为4,点尸在。。外部，则OP需要满足的条件是（）

A.OP>4B.0<OP<4C.OP>2D.0<OP<2

3.抛物线y=（x-1）?+2的对称轴是（）

A.直线》=-1B.直线x=lC.直线x=-2D.直线x=2

4.在RtAABC中，ZC=90°,AB=5.BC=4,则tanA的值为（）

5.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时,发现自己在地面上的影子CE的

长是2米，则路灯AB的高为（）

A.5米B.6.4米C.8米D.10米

B

6.如图,在。。中，C、。为。。上两点，AB是。。的直径，已知/4OC=130。，则NBOC的度数为（）

B.50°C.30°D.25°

7.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D,E,F是网格线的交点，则A48C的面积与△£）£厂的面积比为

]_

B.C.2D.4

4

8.如图，一个矩形的长比宽多3cm,矩形的面积是Scm?.设矩形的宽为xcm,当x在一定范围内变化时，S随x

的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）

A.S=4x+6B.S=4x-6C.S=x2+3xD.S=x2-

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如果cosA=走，那么锐角A的度数为

2

12

10.点A（2,y）,8（3,%）是反比例函数y=--图像上的两点，那么口，内的大小关系是必_》2.（填

“〉”，“<”或“=”）

11.如图，正六边形48CDE尸内接于。。，若。。的周长为8万，则正六边形的边长为

£12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,-5）的抛物线的表达式

13.已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积为.

14.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕

点C转动，支撑板C£>可绕点。转动.如图2,若量得支撑板长CD=8。"，ZCDE=60°,则点C到底座OE的距离

为__________cm（结果保留根号）.

15.如图，PAP3是的切线，A,5是切点.若/尸=50°,则NAOB=

DE

图2

16.如图，抛物线y=-f+2.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C-将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C”

G和G构成的图形记作G.关于图形c,，给出如下四个结论：①图形a关于y轴成轴对称；②图形G有最小值,

且最小值为o；③当x>0时，图形c,的函数值都是随着x的增大而增大的；④当—2WXW2时，图形G,恰好经过5

个整点（即横、纵坐标均为整数的点）以上四个结论中，所有正确结论的序号是.

、解答题（共68分，其中17〜22题每题5分，23〜26题每题6分,

17.计算：78--V2)0-2cos450+1-4|

18.下面是小坟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

已知：在AABC中，AB=BC,BD平分NA8C交AC于点D

求作：NBPC,使NBPC=NBAC.

作法：①分别以点8和点C为圆心，大于,8。的长为半径作弧，两弧交于点E和点F,

2

连接EF交8。于点。；

②以点。为圆心，。8的长为半径作。O；

③在劣弧4B上任取一点尸（不与点4、B重合），连接B尸和CP.所以NBPC=NB4C.

根据小坟设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.

证明：连接OA、OC.

9

：AB=BCf80平分NABC,

且AD=CD.

：.OA=OC.

YEr是线段BC的垂直平分线,

0B=

：.0B=0A.

二。。为的外接圆.

;点P在。。上,

；.NBPC=NBAC()(填推理的依据).

19.已知二次函数y=x?—4x+3.

(1)用配方法将其化为y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象.

20.已知：如图，在MBC中，ZABC=2ZC,8。平分NABC.求证:

△ABDSAACB.

3

在AASC中，ZC=90°,sinA=g,。为AC上一点，NBDC=45。,

在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A(4,

1),点8(x,y)是该函数图象上的一个动点.

(1)求反比例函数的表达式;

(2)当)>1时，结合图象直接写出x的取值范围.

23.在平行四边形A8CD中，EAB上一点"连接CE,F为CE上一点、,S.ZDFE=ZA.

〉DCFs〉CEB；

(2)若BC=4,CE=3也,tanZCDF=y,求线段BE的长.

24.从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾

500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”.象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群.如

图，A,B,C分别表示峨山县、象群位置和独象位置.经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象

群正东方向和峨山县北偏东30。方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

AB是。。直径，弦CZJLAB

于点E，A"是反。。的外角NZX尸的平分线.

（1）求证：4W是。。切线；（2）连接。。并延长交40于点N,若。。的

半径为2，NANC=30°,求8的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数），=--2办+8与y轴相交于点（0,-3）.

6-

5

4

3-

2-

.;________________________________________________:>(1)当抛物线的图象经过点(1,-4)时，求该抛

-6-5-4-3-2-1O123456x

-1-

-2

-4

-5

-6

物线的表达式；

(2)求这个二次函数的对称轴(用含。的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点A(X],y)和8(*2，/)，其中x「y=。，*2+%=。・当4<0，4>0时，总有

X}+X2>0,求4的取值范围.

27.如图，在正方形ABC。中，点E是CO边上一动点(点E与点C、。不重合)，连接AE，过点A作AE

垂线交C8延长线于点尸，连接E尸.

(1)依据题意，补全图形;

(2)求/AEF的度数;

(3)连接AC交所于点H,若需=a,用含。的等式表示线段CF和CE之间的数量关系,

并说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(l,0)和点6(5,0).对于线段A8和直线A8外的一点C,给出如下定

义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角ZACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段

A8的可视点.

(1)在点。(一2,2)、£(1,4),尸(3,-2)中，使得线段A8的可视角为45°的可视点是—

(2)0P为经过A,8两点的圆，点”是0P上线段AB的一个可视点.

①当A8为OP的直径时，线段AB的可视角NAW8为度；

②当OP的半径为4时，线段A8的可视角NAA仍为一度；

(3)已知点N为，轴上的一个动点，当线段A8的可视角NA7VB最大时，求点N的坐标.

2022北京密云初三（上）期末

数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的

1.如果4加工5〃（/0）,那么下列比例式成立的是（）

mnmnm4m5

A.—=-B.—=-C.———D.—=—

4554n54n

B

【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可.

YY1H

【详解】解：A.由一二一,可得5根=4〃，不符合题意；

45

inri

B.由一=一,可得4〃z=5〃，符合题意；

54

ITI4

C.由一二一，可得5加=4〃，不符合题意；

n5

7775

D.由一=—,可得〃根=4x5,不符合题意；

4n

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关犍是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化.

2.已知。。的半径为4,点P在。。外部，则。P需要满足的条件是（）

A.OP>4B.0<OP<4C.OP>2D.0<OP<2

A

【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答.

【详解】解：：。。的半径为4,点P在。。外部，

二。户需要满足的条件是。64,

故选：A.

【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.

3.抛物线y=（x-l）2+2的对称轴是（）

A.直线x=一|B.直线x=lC.直线》=-2D.直线x=2

B

【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴.

【详解】解：•••解析式为y=（x—1?+2,

对称轴是直线x=l.故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质.

4.在R3ABC中，NC=90°,AB=5,8C=4,则tanA的值为（）

D

【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.

【详解】解：由勾股定理可得：AC7AB2-BC?-42=3,

BC4

/.tanA==—，

AC3

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键.

5.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的8处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的

长是2米，则路灯AB的高为（）

A.5米B.6.4米C.8米D10米

C

【分析】根据CD//A8,得出△进而得出比例式求出即可.

【详解】解：由题意知，CE=2米，C£>=1.6米，BC=8米，CD//AB,

则BE=BC+CE=10米，

'."CD//AB,

：.△EC£>S"BA

.CDCEm1.6_2

ABBEAB10

解得AB=8（米），即路灯高AB为8米.

故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意说明是解答本题的关键.

6.如图，在。。中，C、。为。。上两点，45是。。的直径，已知NAOC=130。，则N3O。的度数为（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

D

【分析】先求出/80C的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案.

【详解】解：•；NAOC=130°,48是。。的直径,

ZBOC=180°-ZAOC=50°,

:.NBDC=g/BOC=25。，

故选：D.

【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键.

7.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D,E,F是网格线的交点，则及48。的面积与ADEF的面积比为

A.：B.-C.2D.4

2A

B

【分析】xABCsgDF,只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比.

【详解】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1,

贝IJ有A8=[,BC=&+22=#）,4c々hr=人,DE=2,EF=722+22=20,DF=722+42=275，

.ABBCACI

''~DE~~DF~~EF~2'

：./\ABC^/\EDF,

.，/、21

•«5AABC：SADEF=(")——,

24

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比.8.如图，一个

矩形的长比宽多3cm,矩形的面积是Sen?.设矩形的宽为xcm,当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，

则S与x满足的函数关系是（）

XA.S=4x+6B.S=4x-6C.S=x1+3xD.S=x2-

3x

c

【分析】先用x表示出矩形的长，然后根据矩形的面积公式即可解答.

【详解】解：设矩形的宽为xc/n,则长为(尤+3)cm

由题意得：S=x(x+3)=x2+3x.

故选C.

【点睛】本题主要考查了列函数解析式，用x表示出矩形的长以及掌握矩形的面积公式成为解答本题的关键.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.如果cosA=走，那么锐角A的度数为

2

30

【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案

【详解】解：：cosA=走，

2

二锐角A的度数为30。,

故答案为：30.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。的三角函数值是解题的关键.

12

io.点42,必)，8(3,%)是反比例函数y=--图像上的两点，那么y,内的大小关系是(填

x

“〉”，“<”或"=")

<

【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征，把A点和8点坐标代入反比例函数解析式可计算出弘，为，从而

12

可判断它们的大小.【详解】解：•.•点4(2,%),3(3,%)是反比例函数>=一一图像上的两点,

x

12,12

•••乂=一万=-6，y2=--=-4,

•••必<必•

故答案为：<.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征.

11.如图，正六边形ABCDEF内接于。O,若。。的周长为8乃，则正六边形的边长为

£4

【分析】由周长公式可得。O半径为4,再由正多边形的中心角公式可得正六边形488EF中心角为60°,即可知

正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长.

【详解】:。。的周长为8万

半径为4

•.•正六边形ABCDEF内接于。。

360°

/.正六边形ABCDEF中心角为二一=60°

6

正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的

正六边形ABCDEF边长为4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正”边形的每个中心角都等于幽，由中心角为60°得出正六边形

n

ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键.

12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,-5）的抛物线的表达式.

y=Y_x-5（答案不唯一）

【分析】设,=办2+版+C,根据题意，片-5,a>0,符合题意即可.

【详解】设ynar?+0x+c,根据题意，c=-5,a>0,

；♦y=—x—5,

故答案为：y=x2-x-5.

【点睛】本题考查了二次函数解析式与各系数之间的关系，解答时，符合题意即可.

13.己知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积为.

3%

【分析】根据扇形的面积公式直接计算即可.

170^-x32

【详解】解：扇形的面积S==35,

360

故答案为：3万.

【点睛】此题考查了扇形的面积公式：s=&K,熟记公式是解题的关键.

360

14.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板A3可绕

点C转动,支撑板CO可绕点。转动.如图2,若量得支撑板长8=8,妨，/C£>E=60。，则点C到底座OE的距离

为cm（结果保留根号）.

4>/3【分析】过点C作CMLOE利用正弦函数即可求解.

B

DE

图1图2

【详解】如图,过点C作CMLOE,点C到底座OE的距离为CM

；CD=8cm,ZCDE=60°,

：.CM=Ssin60°=8X-=4

2

故答案为：4G.

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形求解.

15.如图，PAP5是。。的切线，A6是切点.若NP=50°,则NAQB=

【分析】由题意易得NP4O=NP3O=90°,然后根据四边形内角和可求解.

【详解】解：:PAPB是。。的切线，

NPAO=NPBO=90°,

...由四边形内角和可得：ZAOB+ZP=180°,

•：ZP=50°,

...ZAOB=130°；

故答案为130°.

【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

16.如图，抛物线y=-/+2.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作a,将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作G，

G和G构成的图形记作G.关于图形c,，给出如下四个结论：①图形a关于y轴成轴对称；②图形G有最小值,

且最小值为o；③当x>0时，图形c,的函数值都是随着x的增大而增大的；④当—2WXW2时，图形G,恰好经过5

个整点（即横、纵坐标均为整数的点）以上四个结论中，所有正确结论的序号是

①②④

【分析】画出翻折后的然后根据图形即可判断.

图形g关于y轴成轴对称，故①正确;

③当x>0时，图形G的函数值先随着x的增大而减小，当函数值为o后，再随x的增大而增大，故③错误；

④当—2WxW2时，图形G恰好经过（一2,2）,（-1,1）,（0,2）,（1,1）,（2,2）共5个整点（即横、纵坐标均为整

数的点），故④正确；

所以，①②④是正确的结论.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键.

三、解答题（共68分，其中17〜22题每题5分，23〜26题每题6分，27、28题每题7分）

17计算：->/2）°-2cos45°+1-4|.

V2+3【分析】根据二次根式的性质、零指数幕的性质、45。的余弦值和绝对值的性质计算即可.

【详解】解：瓜-卜-叵）-2cos45°+|-4|

=2>/2-l-2x^-+4=272-1-72+4=72+3-

【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数基的性质、45。的余弦值和绝对值的性质

是解题关键.

18.下面是小坟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

已知：在AABC中，AB=BC,B£＞平分NABC交AC于点D.

求作：ZBPC,使NBPC=NBAC.

作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点H

2

连接EF交8。于点0；

②以点。为圆心，。8的长为半径作。0;

③在劣弧A8上任取一点尸（不与点A、B重合），连接BP和CP.所以NBPC=NBAC.

根据小坟设计的尺规作图过程.

D（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接0A、0C.

'：AB=BC,B力平分NA8C,

：.BDLACS.AD=CD.

：.0A=0C.

是线段BC的垂直平分线，

OB=.

0B=0A.

；.。0为“8C的外接圆.

•.•点P在。。上，...N3PC=/BAC（）（填推理的依据）.

（1）作图见解析

（2）0C,同弧所对的圆周角相等

【分析】（1）按照步骤作图即可

（2）由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可.

【小问1详解】

.•.BZUAC且AO=CD

OA=OC.

：£尸是线段8c的垂直平分线，

/.OB=OC.

J.OB^OA.

为△ABC的外接圆.

•.•点P在。。上，

:.NBPC=NBAC(同弧所对的圆周角相等).

【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的

点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.

【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可;

(2)利用描点法画出二次函数图象即可.

【详解】解：(l)y=x2-4x+3

=X2-4X+22-22+3

=(X-2)2-1

（2）：y=（x-2）2-1,

，顶点坐标为（2,-1）,对称轴方程为x=2.

・•・函数二次函数丫=*2-4*+3的开口向上，顶点坐标为（2,—1）,与x轴的交点为（3,0）,（1,0）,

见解析

【分析】由8。平分NABC可得NA8C=2NAB。，再结合NABC=2NC可得N4BO=NC,再结合N4=N4即可证

明结论.

【详解】证明：：8。平分/ABC,

ZABC=2ZABD

'：ZABC=2ZC

：.NABD=NC

ZA=ZA

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键.

3

21.如图，在AABC中，NC=90。，sinA=-,。为AC上一点，NBDC=45。,CD=6.求AO的长.

AD=2

【分析】先判定△B。。是等腰直角三角形，求得解直角三角形ABC,求得A5,4。的长，计算即可.

【详解】在△BOC中，ZC=90°，

VZBDC=45°,

•••△3OC是等腰直角三角形

：.CD=BC=6,

3

在RmABC中，sinA=—,

.6_3

••——,

ABAB5

AB=10,

AC=8,

A£>=ACC£>=8-6=2.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关

键.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A(4,1),点B(x,y)是该函数

(1)求反比例函数的表达式;

(2)当y>l时，结合图象直接写出x的取值范围.

4

(1)y=—(2)0cx<4

X

【分析】(1)根据待定系数法即可求解;

(2)由函数图象即可直接求解.

k

【详解】(1)解：设反比例函数表达式为丁=一伙。0)

x

:其图象经过点A(4,1)

：.k=4

4

，反比例函数表达式为y=—

x

(2)当)>1时，结合图象可知x的取值为：0<x<4.

【点睛】此题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.

23.在平行四边形A8C。中，E为AB上一点，连接CE,尸为CE上一点，且

(2)若BC=4,CE=3后，tanN8F=g,求线段BE的长.

(1)证明见解析

(2)BE=y/13

【分析】(1)由平行四边形的性质有A8〃C£>,AD//BC,可得/E=NA,NDFC=NB,故ADCFs/xCEB.

(2)过点E作交CB延长线于点由题意可设EH=x,CH=2x,由勾股定理即可得EH=3,CH=6,再

由勾股定理即可求得BE=9.

【小问1详解】

证明：在平行四边形ABC£>中，AB//CD,AD//BC

：.ZDCE=ZBEC,Z^+ZB=180°

•：ZDFE+ZDFC=\80°

又•.•NZ)FE=NA

:./DFC=/B

:./XDCFsACEB

■:△DCFsNEB

：.ZCDF=ZECB

tanZCDF=tanNEC8=；

过点E作EH_LCB交CB延长线于点H

在Rt/\CEH中

EH1

-----=tanZ.ECB=—・••设EH=x,CH=2x

CH2

:・CE=ylEH2+CH2=&

VC£=V5X=3A/5

，x=3,则有EH=3,CH=6

•.•BC=4；.8H=6-4=2

Rt^EBH中有BE=VE//2+EH2

则BE=732+22=^/9+4=V13

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线

将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键.

24.从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾

500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”.象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群.如

图，A,B,C分别表示峨山县、象群位置和独象位置.经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象

群的正东方向和峨山县北偏东30。方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

【分析】连接BC,过点A作AO_L8C于点。，在中求出80,在放ZVIOC中求出OC,根据BC=2O+OC

即可.

【详解】连接BC,过点4作ADLBC于点

c

在RtAABD中

。BD

sin45=-----

AB

即些=也;.8£)=6&

122

:.BD=AD=6立

在中，NZMC=30°

DC

・・td]i3Q0------

AD

即隼

6V23

:•DC=>

，BC=BD+DC=672+276,

此时独象距离象群（6及+2伺公里

【点睛】本题考查了解直三角形应用,方位角，构造直角三角形是解决本题的关键.

25.如图，AB是。。的直径，弦CDJ_A3于点E，4以是AACD的外角ND4尸的平分线.

（1）求证：AM是。。的切线;

(2)连接C。并延长交40于点N,若。。的半径为2，ZANC=30°,求CO的长.

(1)见解析（2）2百

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性，可以判断AE是448的角平分线，因为邻角互补,进而可得OALAN

最后推出A"是。。的切线；

（2）利用外角定理可得NOC4+NQ4C=60°,从而得到NQ4C=30°,利用三线合一性可知NC4£>=60°,进

而可以得到AACO是等边三角形，根据30。角所对直角边是斜边的一半即可求得AN=CD=26.

【小问1详解】

解：是。。直径，CD1.AB

；•AB平分弦CD

AB垂直平分线段CD

•••A8是NC4D的角平分线，AACD是等腰三角形NC4D+NZMQ=180°

AM是AACD外角ZDAF的平分线

ZEAD+ADAM=1x180°=90°

2

/.AM是。。是切线

【小问2详解】

解：•••NANC=30°,AM是。。是切线

ZAON=60°

；•ZOCA+ZOAC=ZAON=60°

OA=OC

：.ZOCA=ZOAC=-x60°=30°

2

...ZC4Z)=60o

,/AACD是等腰三角形

•••AACD是等边三角形

...CD=AC=AD

VZANC=3Q°,ZOCA=30°

：.AN=CD

R〃AC£>中，Q4=2

••,AN="26

•••CD=AN=2百

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理等相关知识点，根据已知条件并结合图形去分析

是解题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数产2ax+/,与y轴相交于点（0,-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

3）।।।：[i______111111A

-6-5-4-3-2-IO123456x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

（1）当抛物线的图象经过点（1,-4）时，求该抛物线的表达式；

（2）求这个二次函数的对称轴（用含。的式子表示）；

（3）若抛物线上存在两点4（X],%）和8（*2，/），其中x「y=。，*2+%=。・当4<0，4>0时，总有

X}+X2>0,求4的取值范围.

（1））=x2-2%-3

（2）x=a

（3）a>0

【分析】（1）把（0,-3）和（1,-4）分别代入解析式，解答即可；

（2）根据对称轴为直线计算即可；

2a

（3）把坐标代入解析式，后进行代换，保留餐,々，后进行作差，因式分解，解不等式求解.

【小问1详解】

解：产与y轴相交于点（0,-3）,

J.y=x1-2ax-3,

•・•抛物线的图象经过点（1,-4）,

・•・1・2件3=-4,

a=l,

:.y=x2-2X-3.小问2详解】

mb-2a

W：x=---=-----=a

2a2x1

【小问3详解】

VA（七,月）和B（々，乂）是二次函数产x2_2or+b图像上的两点,

22

・，.y}=x,-23+6,y2=x2-2ax2+b,

Vx^yx=0,x2+y2=0,

2

xx=xj—2ax}+h,-x2-x2-2ax2+b,

—玉+2

x；6=0①，x2-2ax2+x2+/?=0@,

2

①-②得，xj-x2-2aVj+2ax2-xl-x2=0

/.(玉

-x2)(Xj+/)—2a(M-x2)=x,+x2,

％+/-2々=~十匕

石一马

/X]<0,巧>0时，X]+X2>0,

:.X]-4<°

/.x,+X2-2«<0,

・5

7为+巧>0,

aX).

【点睛】本题考查了二次函数解析式，对称轴，性质，不等式的性质，熟练掌握待定系数法，对称轴的计算公

式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质是解题的关键.

27.如图，在正方形A3CD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、。不重合），连接AE，过点A作AE

垂线交C8延长线于点尸，连接EF.

（1）依据题意，补全图形；（2）求—A所的度数;

（3）连接AC交班'于点H,若丝=。，用含。的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由.

EH

（1）见解析(2)45°

(3)—=a,见解析

CE

【分析】(1)根据已知补全图形即可;

(2)由四边形ABC。是正方形，得NABC=ND=Na4C=90。，AD=AB，而AELAF，可证明

^ABF^ADE(AAS),即得AA£F是等腰直角三角形，故NAEV=45°；

(3)过”作HG_LBC于G,过H作〃M_LCD于M,根据四边形A8CO是正方形，可得ACGH是等腰直角

.FH…HE1HM

三角形，从而HG=CG=HM,由=a,可知——==———=-^-=—,即得CF=(a+l)"M,

EHEFa+1CFEFa+1CE

CE=-HG,故空=a

aCE

【小问1详解】

解：补全图形如下:

【小问2详解】

解：・・,四边形ABC。是正方形，

,ZABC=ZD=/BAC=90。,AD=AB^

.・.ZD=NA5F=90。，

\AE±AF,

:.ZFAB=900-ZBAE=ZEAD9

：.^