高考数学 直线和圆的方程含解析

专题九：直线和圆的方程

考点32.直线方程和两条直线的位置关系

基础闯关

1.直线L|：ax+3y+l=0,L2：2x+(a+1)y+l=O,若LI〃L2，则a的值为()

A.-3B.2C.-3或2D.3或-2

【解答】解：直线Li：ax+3y+l=0的斜率为：-且，直线L/L2,所以L2：2x+(a+1)y+l=O的斜率为:

3

__a

~3

解得a=-3,a=2(舍去)

故选A.

【点评】本题考查两条直线平行的判定，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，推理能力,

是基础题.

2.直线xsina-y+I=O的倾斜角的变化范围是()

AA.(/0八,兀)、BD.(z0n,it)、C.[r—..兀.,兀]1Dc.r[c0,兀]iUii[r3兀,兀)、

24444

【解答】解:由xsina-y+1=0,得此直线的斜率为sinaC[-1,1].

设其倾斜角为0(0<e<7t),

则tan9G[-l,I].

.•.附0,2L]u[-^2L,n).

44

故选：D.

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.

3.与直线L：mx-m2y=1垂直于点P(2,1)的直线L2的方程为()

A.x+y-1=0B.x-y-3=0C.x-y-1=0D.x+y-3=0

【解答】解：点P(2,1)代入直线L"mx-m2y=l,可得m=l,

所以直线Li的斜率为1,直线L2的斜率为7,故可知方程为x+y-3=0,

故选D.

【点评】本题主要考查两直线垂直，斜率互为负倒数，属于基础题.

4.已知直线h：mx+y-2=0,b：6x+(2m-1)y-6=0,若l/k，则实数m的值是()

A.B.2C.-W或-2D.旦或-2

222

【解答】解：当m=0时，显然h与12不平行.

当m#0时，

V11Z/12,

二

62m-1

解得:=-l,

m2

故选：A.

【点评】本题考查两直线平行的充要条件，等价转化是解题的关键.

5.直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则a的值为()

A.-1B.1C.±1D.

【解答】解：由题意，♦.,直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直

J(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0

/.(a-1)(a+2-2a-3)=0

/.(a-1)(a+1)=0

/.a=L或a=-1

故选C.

【点评】本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件.

6.点(2,1)到直线3x-4y+2=0的距离是()

【解答】解：点(2,1)至［直线3x-4y+2=0的距离3：2-4X1+2|二区

732+(-4)25

故选A.

【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

7.直线kx-y+l=3k,当k变动时，所有直线都通过定点()

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

【解答】解：由kx-y+l=3k得k(x-3)=y-1

-3=0

对于任何kdR都成立，则J,

y-1=0

解得x=3,y=1,

故直线经过定点(3,1),故选C.

【点评】本题考查直线过定点问题，把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上另一个因式等于0的形式

恒成立，故这两个因式都等于0.

8.直线x+(1-m)y+3=0(m为实数)恒过定点()

A.(3,0)B.(0,-3)C.(-3,0)D.(-3,1)

x+3=0

【解答】解:令

(1-ro)y=0

解得：，x=-3

y=0

故直线恒过定点(-3,0),

故选：C.

【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题.

9.若直线1过两点P(1,3)和Q(2,2),则1的斜率为-I.

【解答】解：根据题意，P(1,3),Q(2,2),

-

x2-xj21

即过PQ,3),Q(2,2)两点的直线1的斜率为：-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，是一道基础题.

10.过点(1,2)且与直线2x-v-1=0平行的直线方程为2x-y=0.

【解答】解:设过点(1,2)且与直线2x-y-1=0平行的直线方程为2x-y+c=0,

把点(1,2)代入，得2-2+c=0,

解得c=0.

二所求直线方程为:2x-y=0.

故答案为:2x-y=0.

【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

11.两直线h：ax+2y+6=0,卜：x+(a-1)y+(a2-1)=0,若h-LH贝Ua=___.

3

【解答】解：当a=0或a=l时，不满足条件，舍去.

两条直线的斜率分别为：kk一亘，kc一一.

K12K21_a

•*.li±12，，k|k,=-―~—=-1,解得a=2.

-2(1-a)3

故答案为：2.

3

【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题.

12.已知平行直线巾2x+y-1=0,12：2x+y+l=0,则小卜的距离_工运_

5

【解答】解：平行直线1］：2x+y-1=0,I2：2x+y+l=0,则h，卜的距离：'+1।—

V22+l25

故答案为：空5.

5

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,4),直线1：x-2y+l=0.

(1)求过点A且平行于1的直线的方程；

(2)若点M在直线1上，且AML,求点M的坐标.

【解答】解：(1)法一：直线1：x-2y+l=0的斜率是2,

故所求直线的斜率是工，

2

故所求直线方程是：y-4=l(x-2),

2

即x-2y+6=0；

法二：由题意设所求直线方程是：x-2y+c=0,

将A(2,4)代入方程得：2-2x4+=0,解得：c=6,

故所求方程是“x-2y+6=0；

(2)•.•直线1：x-2y+l=0的斜率是5,

故所求直线的斜率是-2,

二直线AM的方程是：y-4=-2(x-2),

即：2x+y-8=0,

,fx_2y+l=0,

联立I，解得M(3,2).

2x+y-8=0

【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的位置关系，直线交点问题，是一道基础题.

14.已知直线L：(m-2)x+3y+2m=0,b：x+my+6=0

(1)若直线h与12垂直，求实数m的值；

(2)若直线L与12平行，求实数m的值.

【解答】解：(1)•.■直线h：(m-2)x+3y+2m=0,Hx+my+6=0,直线h与b垂直,

/.(m-2)xl+3m=0,

解得m=".

2

(2、•直线h：(m-2)x+3y+2m=0,I2：x+my+6=0,直线h与「平行,

•••m-2―-3----2-m,

1m6

解得m=-1.

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直和直线与直线平行

的性质的合理运用.

拓展提升

1.直线AB的斜率为2,其中点A(l,-1),点B在直线y=x+l上，则点B的坐标是()

A.(4,5)B.(5.7)C.(2,1)D.(2,3)

【解答】解：根据题意，点B在直线y=x+l上，设B的坐标为(x,x+1),

则直线AB的斜率k=(x+l)-(T)二^±L=2,

X-1X-1

解可得x=4,

即B的坐标为(4,5),

故选：A.

【点评】本题考查直线的斜率计算，注意要先设出B的坐标，再利用直线的斜率公式计算.

2.已知直线I：3x-4y+m=0上存在不同的两点M与N,它们都满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线

的斜率kMA与kMB之积为-1，则实数m的取值范围是()

A.(-3,3)B.(-4,4)C.(-5,5)D.[-5,5]

【解答】解：由题意可知I,点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，

则该圆的方程为x?+y2=l.

•••M、N是不同的两点，.♦.直线1与圆相交，

且直线1与圆相切为临界条件，此时原点到直线1的距离等于圆的半径，

即1=/.m=±5.

V32+42

，m的取值范围为(-5,5).

故选：C.

【点评】不同考查直线的斜率，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题.

3.直线2ax+（a2+l）y-1=0的倾斜角的取值范围是（）

K3兀[nrc冗iiir3冗,

AA.r[―,-^―]B.[0,—]U[——,TT]

4444

c.（o,2L]u[12L,兀）D.[o,-2L]u[^2L,兀）

4444

【解答】解：设直线2ax+（a?+l）y-1=0的倾斜角为0,

则tanG=-一华

a2+l

a=0时，tanO=O,可得0=0；

a>0时，tanON-&=-1，当且仅当a=l时取等号，.,兀)；

2aL4

TT

a<0时，tanOSl,当且仅当a=-1时取等号，(0,—1.

4

综上可得：9G[0,—]U[卫，兀).

44

故选：D.

【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角函数求值、分类讨论方法、倾斜角与斜率的关系，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

4.“a=2”是“直线h：(a+2)x+(a-2)y=l与直线E(a-2)x+(3a-4)y=2相互垂直''的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当a=2时，两条直线分别化为：4x=l,y=l,此时两条直线相互垂直；

当2=&时，两条直线分别化为：10x-2y=3,x=-3,此时两条直线不相互垂直，舍去；

3

2

当时且，2时，由两条直线相互垂直，A--S±g-x.~1.=-1,解得a=L.

323a~42

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=工或2.

2

，“a=2"是"直线L：(a+2)x+(a-2)y=l与直线k：(a-2)x+(3a-4)y=2相互垂直”的充分不必要条

件.

故选：A.

【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中

档题.

5.已知直线1：x+ay+2=0的倾斜角为匹，则直线1在y轴上的截距为()

4

A.-2B.2C.」D.工

22

【解答】解：•••直线1：x+ay+2=0的倾斜角为2L,

4

.•.tan亚=-1，解得a=-l.

4a

.•.直线化为：y=x+2,

，该直线的纵截距等于2.

故选：B.

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.直线(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0过定点()

A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3)

【解答】解：直线方程整理得：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,

.J2x+y=7,

Ix+y=4

解得：fx=3,

Iy=l

则直线过定点(3,1),

故选：C.

【点评】此题考查了恒过定点的直线，将直线方程就行适当的变形是解本题的关键.

7.在直角坐标平面内，过定点P的直线1：ax+y-1=0与过定点Q的直线m：x-ay+3=0相交于点M,则

|MP『+|MQ『的值为()

A.B.V10C.5D.10

【解答】解：♦.•在平面内，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0相交与点M,

.•.P(0,1),Q(-3,0),

•过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直，

.••M位于以PQ为直径的圆上，

VIPQI=V9+1=VTO.

.,.|MP|2+|MQ|2=10,

故选：D.

【点评】本题考查两线段乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合

理运用.

8.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()

A.(-00,-当U邑，+00)B.

23

D.(~co,--]U[―,+8)

32

【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),

且斜率为-a,

3-(-2)5

-2-02

kMB上

3-03

由图可知：-a>-壬Jl-a<2,

23

aG(--,旦)，

32

故选B.

【点评】本题考点是两直线的交点坐标，考查直线与线段无公共点时参数的范围，此题常采用的技巧是借

助图象求参数的取值范围，本题直线ax+y+2=0形式简单，作答时易想不到这也是一个直线系方程，从而

解不出定点致使题目无从下手.

9.过A(m,1)与B(-1,m)的直线与过点P(I,2),Q(-5,0)的直线垂直，则m=-2.

【解答】解：过点A(m,1)与B(-1,m)的直线的斜率一m一二一,过点P(1,2),Q(-5,0)的直

-1~in

线的斜率为：

1+53

因为两条直线垂直，所以」-11,解得m=-2.

-1-m3

故答案为：-2.

【点评】本题考查直线的斜率的求法，直线垂直条件的应用，考查计算能力.

10.已知直线h：ax-y+l=0,卜：x+y+l=0,\\//\^则a的值为-1，直线h与卜间的距离为_

【解答】解:直线h：ax-y+l=0,I2：x+y+l=0,分别化为：y=ax+Ly=-x-1,

・.,li〃12，Aa=-1,厚-1.

两条直线方程可得：x+y-1=0,x+y+l=0.

直线b与1间的距离d=J-1二IL圾.

2_V2

故答案分别为：-1;血.

【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.设直线h：(m+1)x-(m-3)y-8=0(mGR),则直线h恒过定点(2,2)；若过原点作直线

b〃h，则当直线h与12的距离最大时，直线b的方程为x+y=0.

【解答】解：,•直线1|：(m+1)x-(m-3)y-8=0(mGR),化为：m(x-y)+(x+3y-8)=0,可得

x-y=0”,

-,解得x=y=2,

x+3y-8=0

则直线h恒过定点(2,2).

过原点作直线12〃1”可设b方程为：(m+1)x-(m-3)y=0,

则经过两点(0,0)与(2,2)的直线方程为：y=x.

则当直线h与b的距离最大时，b与直线y=x垂直.

直线12的方程为x+y=o.

故答案分别为：(2,2)；x+y=0.

【点评】本题考查了相互平行与相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

12.已知直线(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0(其中a为实数)过定点P,点Q在函数行乂+工的图象

X

上，则PQ连线的斜率的取值范围是.[-3,+8).

【解答】解：己知直线(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0即x+y-4+a(-x+y-4)=0,

x+y-4=0(

由，解得JXL故定点p的坐标为(o,4).

-x+y-4=0[y=4

J-

42

设点Q(m,m+1),m和，则PQ连线的斜率为ID-=l+-^---=(--2)-3>-3,

IDID-0

故PQ连线的斜率的取值范围为[-3,+oo),

故答案为[-3,+8).

【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题.

22

13.已知B、F2分别是椭圆三-+"1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线,

43

过点Fi的直线1交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q,点P关于x轴的对称点为M,设F[0="

(I)若入W[2,4],求直线L的斜率k的取值范围；

(II)求证：直线MQ过定点.

【解答】解：(I)令P(xi，yi),Q(x2,y2)>由题意，可设抛物线方程为y?=2px

由椭圆的方程可得B(-1,0),F2(1,0)故p=2,曲线C的方程为y2=4x,

由题意，可设PQ的方程x=my-1(m>0).把PQ的方程代入曲线C的方程化简可得y2-4my+4=0,

.♦.yi+y2=4m,yiy2=4.又可下=入再[，-Xi+^A.(x2+l),yi=Xy2,

（yi+y?）2

又一-~--=讦・三+2=4n?.入6[2,4],...2+!0九+三9+1,

X2入4髀啜

返直线L的斜率k的取值范围为得孚.

5m3

（II）由于P,M关于X轴对称，故M（X|,-yj）

y2Yi_2kyly2-2（y1+y2）

MF-

ax2-1x「l（X11）（x2~1）

；.M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点F2（1,0）.

【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质，三点共线的条件，根据题意，得到2+工4+与“+

2人

1,是解题的关键.

4

14.已知直线1的方程为x+my-2m-1=0,m6R且m和.

（1）若直线1在x轴，y轴上的截距之和为6,求实数m的值；

（2）设直线1与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，求aAOB面积最小时直线I的

方程.

【解答】解：（1）令x=0,得产2+工.

m

令y=0，得x=2m+L

由题意知，2nH•1+2+2=6・

ID

即2m2-3m+l=0,

解得1rp■或m=l；

（2）方法一：

由（1）得A（2m+1,0）,B（0,24），

ID

f2irri-l>0

由｛1>o解得m>0.

卷（）（巧）

SAABC=^-|AO|*|BO|~|2nH-lH|2+^|2nrH2

二（2+^-）=2+2in4-^L-^:2+2=4-

Zinzin

当且仅当2nf4,即《时，取等号.

此时直线1的方程为2x+y-4=0.

方法二：

由x+my-2m-1=0,得(x-1)+m(y-2)=0.

4x-1=0.解得尸.

y-2=0\y=2

，直线1过定点P(1,2).

设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),

则直线I的方程为：工哈15>0,b>0).

将点(1,2)代入直线方程，得L哈二i，

由基本不等式得L哙》2^，ab28.

当且仅当工=2,即a=2,b=4时，取等号.

ab

'SAABC^fab>4,

当AAOB面积最小时，直线1的方程为2x+y-4=0.

【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了基本不等式的运用，是中档题.

考点33.圆的方程

基础闯关

1.圆(x+l)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()

A.IB.2c.圾D.25/2

【解答】解：••,圆(x+l)2+y2=2的圆心为(-1,0),

...圆(x+l)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：

d=M+31=^

V2

故选：C.

【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和

圆的性质的合理运用.

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+l)2+(y+1)2=1

C.(x+l)2+(y+1)MD.(x-1)2+(y-1)2-2

【解答】解：由题意知圆半径-如，

二圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

故选：D.

【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题.

3.过三点A(1,0),B(0,遮)，C(2,V3)则4ABC外接圆的圆心到原点的距离为()

A.”B.等C2^5

3-3

【解答】解:因为4ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=l上,

可设圆心P(l,p),由PA=PB得

IPl=Jl+(p一付2,

得p=■迈

3

圆心坐标为P(1,织豆),

3

所以圆心到原点的距离|OP|=J1+(当i

故选：B

【点评】本题主要考查圆性质及aABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键.

4.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有()

A.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=F

【解答】解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D?+E2

-4F>0)中，D=E.

故选A.

【点评】本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题.

5.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是()

A.(x+2)2+(y+1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=IOC.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=10

【解答】解：•.•圆的直径为线段PQ,...圆心坐标为(2,1)

半径「野_="+(厂)々旄

.•.圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆的标准方程的求法，属于基础题.

6.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为()

A.(x-1)2+y2=lB.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=l

【解答】解：圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标(0,1),

圆的方程为：x2+(y-1)2=1.

故选：C,

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查计算能力.

7.圆x2+y2-2x=0的圆心坐标和半径分别为()

A.(1,0),1B.(0,1),1C.(-1,0),1D.(1,0),2

【解答】解：圆x?+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1＞表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆，

故选：A.

【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题.

8.过点(2,0)且圆心为(1,0)的圆的方程是()

A.x2+y2+2x=0B.x2+y2-2x=0C.x2+y2-4x=0D.x2+y2+4x=0

【解答】解：圆的半径为1)2+(0_0)2=1，故圆的方程为(x-1)2+y2=i,即x2+y2-2x=0,

故选：B.

【点评】本题主要考查求圆的方程的方法，属于基础题.

9.若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是(x-1)

2+y2=]3.

【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-l,

•.•圆C截此抛物线的准线所得弦长为6,

.•.圆的半径为布瓦卢=任

.•.圆的标准方程是(x-1)2+y2=13

故答案为：(x-1)2+y2=]3

【点评】本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.

10.已知圆C的圆心在直线2x+y-1=0上，且经过原点和点(-1,-5),则圆C的方程为(x-2)?+

(丫+3)2=13.

【解答】解：由题意设圆的圆心C(b,1-2b),再根据圆过原点和点(-1,-5),

可得C到原点的距离等于C到点(-1,-5)的距离，

即b2+(1-2b)2=(b+1)2+(1-2b+5)2,

解得b=2._

可得圆心C(2,-3),半径=后，

则圆C的方程为：(x-2)2+(y+3)2=13.

故答案为：(x-2)2+(y+3)2=13.

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，准确利用已知条件列出方程是解题的关键，是基础题.

11.已知aGR,方程a?x2+(a+2)y?+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.

【解答】解：方程al、(a+2)y?+4x+8y+5a=0表示圆，

/.a2=a+2/0,解得a=-I或a=2.

当a=-1时，方程化为x2+y2+4x+8y-5=0,

配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(-2,-4),半径为5；

当a=2时，方程化为x2+y2+x+2y+~=0，

J1WD2+E2-4F=l+4-4X-|^-5<0.方程不表示圆，

故答案为：(-2,-4),5.

【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题.

12.已知直线1过圆x?+y2-6y+5=0的圆心，且与直线x+y+l=O垂直，则1的方程是x-丫+3=0

【解答】解：由题意可得所求直线1经过点(0,3),斜率为1,

故1的方程是y-3=x-0,即x-y+3=0,

故答案为：x-y+3=0

【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题.

13.已知直线1：x+y=l与y轴交于点P,圆O的方程为x\y、/(r>0).

(1)如果直线1与圆O相切，那么口返；(将结果直接填写在答题卡的相应位置上)

~2~

(II)如果直线1与圆O交于A,B两点，且㈣-』，求r的值.

|PB|2

【解答】解：(I)圆心到直线的距离d=3=返，…(1分)

V222

(II)设|PA|=x,则|PB|=2x.

圆心到直线的距离dNa.

2

①点P在圆内，|AB|=3x,则x・2x=(r-l)(r+1),x2=—(r2-1),

2

r2=—(r2-1)+—,"'•r=\/5；

82

2

②点P在圆外，则x・2x=(1-r)(r+1),.*=工(1-r),

2

/.r2=—(1-r2),・，・尸^应・

825'

.♦.r的值为逅或旄…(5分)

5

故答案为：返.

2

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查相交弦定理、勾股定理，考查分类讨论的数学思想，属于中

档题.

14.已知圆C：x2+y2+2x-3=0.

(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;

(2)直线1经过坐标原点且不与y轴重合，1与圆C相交于A(xi，yi)>B(x2,y2)两点，求证：-

X1x2

为定值；

(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使aCDE的面积最大.

【解答】解：(1)圆C：x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,

则圆心C的坐标为(-1,0).圆的半径长为2；

(2)设直线1的方程为丫=1«,

x2+y2+2x-3=0

联立方程组，

y=kx

消去y得（1+1?）X2+2X-3=0,

则有：X]+X9=~->X<Xo=~-

1+k*1+储

所以+工厂上2.=2为定值；

xjx2xjx23

(3)解法一：设直线m的方程为y=kx+b,则圆心C到直线m的距离J二1

V2

22,

所以IDE|=27R2-d=2i/4-d

2

SACDE-IDE|•d=V4-d'1j)+d=2-

当且仅当d=、4-d2，即df巧时，ZXCDE的面积最大，

从而此二工1一而，解之得b=3或b=-1,

V2一

故所求直线方程为x-y+3=0或x-y-1=0.

解法二：由⑴知|CD|=|CE|=R=2,

所以SMDE与CD|"CE|，sinNDCE=2sin/D2

当且仅当CDJ_CE时，ACDE的面积最大，此时|DE1=2后；

设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离二

V2

由IDE|=2^R2-d2=26-群=2®得

由此口-3，得b=3或b=-1,

V2r'

故所求直线方程为x-y+3=0或x-y-1=0.

【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离以及方程组的应用问题，考查

了转化思想以及根与系数的应用问题，是综合性题目.

拓展提升

1.过三点A(3,2),B(4,5),C(1,6)的圆，则圆的面积为()

A.10兀B.5TIC.”兀D.”兀

24

【解答】解：VA(3,2),B(4,5),C(1,6),

|AB|=7(4-3)2+(5-2)2=V10，|AC|=7(1-3)2+(6-2)2=V20，

|BCI=7(1-4)2+(6-5)2=V10，

V|AB|2+|BC|2=|AC|2,.-.ZB=90°,故|AC|为过A,B,C的圆的直径，则圆的面积S=7T(Y|B)2=5加

故选：B.

【点评】本题考查圆的方程，考查圆面积的求法，训练了两点间距离公式的应用，是基础题.

2.圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为()

A.(x-1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+(y+1)2=2

22

C.(X-1)2+(y-1)2=2或(x+l)+(y+1)=2

D.(x-1)2+(y+1)2=2或(x+l)2+(y-1)2=2

【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，

当圆心A在第一象限时,过A作ACJ_x轴,又|OB|=2,

根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1,由点A在直线y=x上，

得到圆心A的坐标为(1,1),且半径|OA|=J，，

则圆A的标准方程为：(x-1)2+(y-1)2=2；

当圆心A，在第三象限时,过A作A，C'_Lx轴,又|OB1=2,

根据垂径定理得到点C为弦OB，的中点，则|OC|=1,由点A，在直线y=x上，

得到圆心A，的坐标为(-1,-1),且半径|0"|=、巧，

则圆A，的标准方程为：(x+l)2+(y+1)2=2,

综上，满足题意的圆的方程为：(x-1)2+(y-1)2=2或(X+1)2+(y+I)2=2.

故选C

【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档

题.需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏.

3.已知两点0(0,0),A(-2,0),以线段OA为直径的圆的方程是()

A.(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=4

C.(x-I)2+y2=lD.(x+1)2+y2=l

【解答】解：根据题意，线段OA是圆的直径，且O(0,0),A(-2,0),

则圆心的坐标为(-1,0),

|OA|=、(-2产=2,则圆的半径为*|OA|=1；

故圆的方程为(x+1)2+y2=l；

故选：D.

【点评】本题考查圆的标准方程，根据题意求出圆的圆心与半径是解题的关键.

4.已知圆C的圆心是直线x-y+l=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为()

A.x2+(y-1)2=8B.x2+(y+1)2=8

C.(x-1)2+(y+1)2=8D.(x+1)2+(y-1)2=8

【解答】解：对于直线x-y+l=0,令x=0,解得y=l.

.•.圆心C(0,1),

设圆的半径为r,

•圆C与直线x+y+3=0相切，

।=2圾,

V2

...圆的标准方程为x?+(y-1)2=8.

故选：A.

【点评】本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

5.已知aABC的三个顶点坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与

此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()

A.x2+y2=lB.x2+y2=4

22

c.x+y=liD.x?+y2=l或x?+y2=37

5

【解答】解：如图，

A(-2,3),C(6,-1),

...过A、C的直线方程为包=x-6,化为一般式方程,

3+1-2-6

点O到直线x+2y-4=0的距离d=

x0A"V(_2)2+32=V13,OB=7(-2)2+(-1)2=V5,oc=7s2+(_1)2=V371

以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为（0,-1）或（6,-1）,

圆的半径为1或所，

则圆的方程为x2+y2=l或x?+y2=37.

故选：D.

【点评】本题考查圆的标准方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=（）

【解答】解：圆x?+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1,4）,

故圆心到直线ax+y-1=0的距离d=号与,

解得:a=

3

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档.

7.已知圆x2+y2-2x+4y+l=0和两坐标轴的公共点分别为A,B,C,则AABC的面积为（）

A.4B.2C.273D.V3

【解答】解：由圆C：x2+y2-2x+4y+l=0,化为标准方程得：（x-1）2+（y+2）2=4,

所以圆心的坐标为（1,-2）,半径为2,

圆在y轴上截得的弦长为2«,与x轴的公共点为（1,0）,

AABC的面积为/x2V3x1=V3>

故选：D.

【点评】本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，属于中档题.

8.平面直角坐标系上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA和PB的斜率之积为定值m（m#））,则点

P的轨迹不可能是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【解答】解：设设A（-a,0）,B（a,0）,P（x,y）

依题意可知△-・=^=m,整理得y2-mx2=-ma2,

x+ax-a

当m>0时，方程的轨迹为双曲线.

当m<0时，且m#-1方程的轨迹为椭圆.

当m=-1时，点P的轨迹为圆

，抛物线的标准方程中，x或y的指数必有一个是1,故P点的轨迹一定不可能是抛物线.

故选D

【点评】本题主要考查了圆锥曲线的综合.考查了学生对圆锥曲线标准方程的考查和应用.

9.已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0,泥）圆C上，且圆心到直线2x-y=0的距离为岑£,则圆

C的方程为（X-2）2+y2=9.

【解答】解：由题意设圆的方程为（x-a）2+y2=r2（a>0）,

由点M（0,旄）在圆上，且圆心到直线2x-y=0的距离为延■,

5

22

a+5=r

得《|2a|k后，解得a=2,r=3.

座」5

...圆C的方程为：（X-2）2+y2=9.

故答案为：（x-2）2+y?=9.

【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题.

10.在平面直角坐标系xOy中，以点（1,0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（mGR）相切的所有圆

中，半径最大的圆的标准方程为（X-l）2+y2=2.

【解答】解：圆心到直线的距离d」=

时，圆的半径最大为加,

二所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.

故答案为：（x-1）2+y2=2.

【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础.

11.如图，已知圆C与x轴相切于点T(l,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为(x-1)2+(Y-血)2=2.

(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为--近.

【解答】解：(1)由题意，圆的半径为后!=«,圆心坐标为(1,加)，

.•.圆C的标准方程为(x-1)2+(Y-A/2)2=2：

(2)由(I)知，B(0,1+圾)，

...圆C在点B处切线方程为(0-1)(x-1)+(1+72-V2)(y-圾)=2，

令y=0可得x=-1-我.

故答案为：(x-1)2+(y-圾)2=2；-1-V2.

【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题.

12.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4近.

fl+9+D+3E+F=0

【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,贝”16+4+4D+2E+FR,

1+49+D-7E+F=0

：.D=-2,E=4,F=-20,

/.x2+y2-2x+4y-20=0,

令x=0,可得y?+4y-20=0,

y=-2±2-\/6，

，|MN|=4捉.

故答案为：4A/S.

【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键.

13.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-«尸4相切.

(1)求圆。的方程；_

(2)若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且|MN|二2次，求直线MN的方程.

【解答】（本题满分14分）

（1）依题设，圆0的半径r等于原点O