1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系(3)课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系．2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．活动方案思考►►►(1)类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？活动一探究用空间向量证明空间线面垂直关系的方法【解析】

直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．(2)设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有如下结论：【解析】

填表略

平行垂直l1与l2

l1与α1

α1与α2

活动二利用空间向量证明空间中直线、平面的垂直【解析】

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为BC＝1，∠BAC＝30°，利用向量方法证明线线垂直的方法：(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.利用空间向量证明线面垂直的方法：(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．【解析】

因为AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，例3如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．

如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.设平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，例4证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．活动三用空间向量证明一些常见定理【解析】

已知：如图，l⊥α，l⊂β，求证：α⊥β.证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．因为l⊂β，n是平面β的法向量，所以u⊥n，所以α⊥β.利用空间向量证明线面的垂直关系，显得尤为方便．检测反馈245131.(2022·惠州博罗期中)若直线l的方向向量为a＝(3，－1,2)，平面α的法向量为n＝(－6,2，－4)，则下列结论中正确的是(

)A.l⊥α B.l∥α

C.l⊂α D.l与α斜交【解析】

由题意得n＝－2a，则n∥a，l⊥α.【答案】A245132.已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是(

)A.v∥n⇔l∥α B.v∥n⇔l⊥α

C.v⊥n⇔l∥α D.v⊥n⇔l⊥α【解析】

已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，若v∥n，则l⊥α，反之也成立，故A错误，B正确；若v⊥n，则l∥α或l⊂α，故C，D错误．【答案】B24533.(多选)(2022·秦皇岛期中)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则下列结论中不正确的是(

)124531【答案】AC24534.已知两条互相垂直的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则实数x＝________.124535.如图，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥