2025高考数学一轮复习-7.6.2-空间距离及立体几何中的创新问题-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.6.2-空间距离及立体几何中的创新问题-专项训练基础巩固练1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652 B.214 C.53 D.2.已知两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则它们平行的充要条件是()A.aB.x1x2=y1y2=z1z2C.x1x2+y1y2+z1z2=0D.存在非零实数k,使a=kb3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为()A.1 B.66 C.33 D4.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平行于平面AEF,则线段A1P长度的最小值为()A.2 B.322 C.3 D第4题图第5题图5.(多选题)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中,正确的是()A.直线DD1的一个方向向量的坐标为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量的坐标为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量的坐标为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量的坐标为(1,1,1)6.(多选题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是()A.异面直线AC与BC1所成的角为πB.DA1是平面ABC1DC.直线A1B1到平面ABC1D1的距离为3D.平面AB1C与平面A1C1D间的距离为37.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.

8.(2023南通月考)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为.

9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.综合提升练10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离()A.等于55a B.和EFC.等于23a D.和点Q11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD12.如图,在正三棱锥D-ABC中,AB=3,DA=2,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且PO=λDO,若PA⊥平面PBC,则实数λ=()A.12 B.-C.64 D.第12题图第13题图13.(多选题)(2023镇江调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,P为线段A1C上的动点,则下列结论正确的是()A.当A1C=2A1P时,B1,B.当AP⊥AC.当A1C=3A1P时,D1PD.当A1C=5A1P时,A1C⊥14.(多选题)(2023宿迁月考)如图,若长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,高为4,E是DD1的中点,则()A.B1E⊥A1BB.平面B1CE∥平面A1BDC.三棱锥C1-B1CE的体积为8D.三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为24π15.如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.(1)求点C1到平面AD1P的距离.(2)在线段A1B1上是否存在点Q,使得DQ⊥平面AD1P?若存在,确定点Q的位置;若不存在,试说明理由.创新应用练16.已知梯形CEPD如图所示,其中PD=8,CE=6,A为线段PD的中点,四边形ABCD为正方形,现沿AB进行折叠,使得平面PABE⊥平面ABCD,得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF=λAB(0<λ<1)时,平面DEF⊥平面PCE,则λ的值为()A.12 B.23 C.45 17.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=23,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,则下列结论正确的是()A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQB.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQC.当AR⊥A1C时,AR⊥D1RD.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1参考答案1.D2.D3.B4.B5.ABC6.ABD7.-38.9.证明以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=23,PB=4,∴D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32∴DP=(0,-1,2),DA=(23,3,0),(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则n令y=2,得n=(-3,2,1).∵n·CM=-3×32+2×0+1×3又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.(2)由(1)知,BA=(0,4,0),PB=(23,0,-2),设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),则m令x0=1,得m=(1,0,3).又∵平面PAD的一个法向量为n=(-3,2,1),∴m·n=1×(-3)+0×2+3×1=0,∴m⊥n∴平面PAB⊥平面PAD.10.A11.D12.D13.ACD14.CD15.解(1)如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1),D1(0,0,4),A1(4,0,4),C1(0,4,4),B1(4,4,4).故AC1=(-4,4,4),AP=(-4,4,1),AD1=(-4,0,4),设平面AD1P的一个法向量为m=(x,y,z),则m·AP=-4x+4y+z=0,m