微积分05导数应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

高等数学微积分西南财经大学经济数学系孙疆明市精光第1页第十讲微分中值定理一、费尔马(Fermat)定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理第2页一、费尔马(Fermat)定理（一）极值定义：第3页极值研究是微积分产生主要动力之一第4页（二）费尔马定理(极值必要条件)第5页第6页[证]第7页第8页微分中值定理引入(((第9页第10页第11页

第12页二、罗尔(Rolle)定理第13页三、拉格朗日(Lagrange)定理第14页四、柯西(Cauchy)定理第15页怎样证实罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！想到利用闭区间上连续函数最大最小值定理！第16页罗尔定理证实：第17页第18页怎样证实拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵照规律之一就是将欲探索新问题转化为已掌握老问题。即寻求未知事物通向已知领域“桥”！所以想到利用罗尔定理！第19页满足罗尔定理条件桥第20页拉格朗日定理证实：结构辅助函数拉格朗日中值公式第21页拉格朗日公式各种形式第22页第23页推论1：[证]第24页推论2：推论3：推论4：第25页柯西中值定理证实：结构辅助函数第26页费尔马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理第27页零点问题以下证实恰好有三个根该方程实根个数就是两条曲线第28页首先证实最少有三个根计算表明依据介值定理所以方程最少有三个根然后证实方程最多有三个根用反证法第29页依据洛尔定理矛盾！总而言之，方程恰好有三个实根第30页直观观察能够启发思绪在第一个情形,都不是最小值所以最小值一定在区间内部到达第31页[证]第32页第33页证实思绪直观分析例第34页[证]依据连续函数最大最小值定理第35页[证]第36页第37页[证]第38页第39页[证]第40页第41页第42页[证]第43页第44页[证]第45页第46页第47页[证]第48页第49页第50页第51页第52页第53页第54页第55页第56页第57页第58页第59页第60页第61页第62页极值与凸性函数极值函数凸性渐近线函数作图最值曲率第63页一、极值与最值第64页极值第一充分条件(导数形式)定理1：第65页（二）极值第二充分条件定理2：[证](1)第66页第67页第68页（二）函数最大、最小值第69页第70页(B)最大、最小值应用问题第71页解第72页一个可口可乐饮料罐详细测量一下:它顶盖直径和从顶盖到底部高(约为6厘米和12厘米),胖部分直径约为6.6厘米,胖部分高约为10.2厘米.怎样测量比较简捷？(用一条窄薄纸条,绕饮料罐相关部分一圈测得周长,再换算得半径和直径).可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米)。饮料罐中数学第73页唯一驻点第74页第75页第76页第77页第78页第79页返回第80页返回第81页返回第82页返回第83页返回第84页第85页第86页第87页[解]第88页第89页[解]第90页第91页第92页第93页二、函数凸性何谓凸函数？第94页第95页（一）凸性定义：第96页（二）凸性判定定理1：(用一阶导数判定函数凸性)[证]必要性第97页返回第98页第99页返回定理2：(用二阶导数判定函数凸性)定理3：(用切线位置判定函数凸性)切线位于曲线下方第100页（三）拐点定理：（拐点必要条件）第101页x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)-0+0-y∩拐点∪拐点∩第102页三、曲线渐近线第103页曲线渐近线求法第104页第105页定理：第106页[证]必要性第107页第108页[证]充分性

假设以下两个条件同时成立第109页四、函数作图第110页[解]第111页∪∪∩∩拐点拐点极大第112页第113页x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+无-0+y”-定+++y⌒↑义∪↓极小值e∪↑第114页第115页第116页第117页第118页第119页第120页第121页第122页第123页第124页第125页返回第126页x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-∞,-1)y’+0--0+y↑极大↓↓极小↑返回第127页x(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)y’+-0