2020高考数学二轮复习二立体几何教学案

专题二立体几何

［江苏卷5年考情分析］

小题考情分析大题考情分析

常

空间几何体的表面积与体

考本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、

积（5年4考）

点线面、面面的平行与垂直的证明，一般第（1）问是线面平

偶行的证明，第（2）问是线线垂直或面面垂直的证明，考查

简单几何体与球的切接问

考形式单一，难度一般.

题

点

第一讲I小题考法一一立体几何中的计算

考点（一）

空间几何体的表面积与体积

主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.

［题组练透］

1.（2019•江苏高考）如图，长方体46必■48G"的体积是120,

£为CC\的中点，则三棱锥展颇的体积是.

解析：设长方体中CD=b,CG=c,则abc=120,

11111

V&BCD=^X~abX-c=—abc=—X120=10.

o乙乙i■乙i.乙

答案：10

2.（2018•苏锡常镇二模）己知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为24,

则该直四棱柱的侧面积为

解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为：（24）2一*=2蛆,所以该直四棱柱的侧面

积为5=c7=4X2X2-72=16^2.

答案：16位

3.（2018•江苏高考）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中

心为顶点的多面体的体积为,不个、J

解析：由题意知所给的几何体是棱长均为m的八面体，它是由两个

有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1,所以这个八面体

1_4

2

的体积为2兀E四极锥=2X可义（r\j2）X1=~

OO

答案：I4

4.（2018•南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六~\

棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体.已知正六棱柱的底面边长、高都为

：：：：

4cm,圆柱的底面积为9^3cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cmI：；f\

的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为cm（不计损耗）.'―“二—

解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6X*X42X4—9/X4=64

（cm3）,设所求正三棱柱的底面边长为xcm,则有半，6=6骸，解得x=2板所以所求

边长为2y[lbcm.

答案：2班

5.（2019•苏北三市一模）已知正四棱锥的底面边长为24，高为1,则该正四棱锥的侧

面积为.

解析：易知正四棱锥的斜高为抽尸+（小），=2,所以该正四棱锥的侧面积为4XaX24

X2=8小.

答案：8y[3

[方法技巧]

求几何体的表面积及体积的解题技巧

（1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求

三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知儿何体的

某一面上.

（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体

以易于求解.

考点（二）

简单儿何体与球的切接问题

主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题

转化为平面几何图形的关系的能力.

［题组练透］

1.（2017•江苏高考）如图，在圆柱aa内有一个球。，该球与圆柱的上、

下底面及母线均相切.记圆柱aa的体积为匕，球。的体积为七，则万的值是

V2

解析：设球。的半径为此因为球。与圆柱aa的上、下底面及母线均相切，所以圆柱

的底面半径为乐高为2兄所以卷=三""='

答案：I

2.（2019•南通等七市二模）设只A,B,C为球。表面上的四个点，PA,PB,用两两垂

直，且为=2m,PB=3m,PC=Am,则球。的表面积为m2.

解析：根据题意，可知三棱锥A是长方体的一个角，该长方体的外

接球就是经过RA,B,，四点的球，

'：PA=2,必=3,PC=\,

长方体的对角线的长为

、制+称+*=亚,

即外接球的直径21=*，可得A=呼,

因此，外接球的表面积为S=4n下=4

答案：29n

3.（2019•无锡期初测试）已知正四面体/腼的所有棱长都等于乖，则以力为顶点，△

及力的内切圆为底面的圆锥的体积「=.

解析：设正48切内切圆的圆心为0,连接必，OA,则圆。的半径尸=坐%=乎，OB=

/3

归&'=*.易知的_L平面BCD,所以物上照所以圆锥的高h=-0后=在二i=2,

O

JI

所以圆锥的体积nrnXX2=—

oo

答案：V

o

4.（2018•全国卷川改编）设4B,C,〃是同一个半径为4的球的球面上四点，丛ABC

为等边三角形且其面积为973,则三棱锥34笫体积的最大值为_______.

解析：由等边△4?。的面积为可得率4/=9#,所以46=6,所以等边△4式的

外接圆的半径为小.设球的半径为R,球心到等边的外接圆圆心的距离为

d,则4川"/=［16T2=2.所以三棱锥ZM6C高的最大值为2+4=6,所以三棱锥0-ABC

体积的最大值为〈X4X6=18小.

答案：18^3

［方法技巧］

简单几何体与球切接问题的解题技巧

方法解读适合题型

解答时首先要找准切点，通过

作截面来解决.如果内切的是

截面法球内切多面体或旋转体

多面体，则作截面时主要抓住

多面体过球心的对角面来作

首先确定球心位置，借助外接

的性质一一球心到多面体的顶

构造

点的距离等于球的半径，寻求

直角

球心到底面中心的距离、半径、正棱锥、正棱柱的外接球

三角

顶点到底面中心的距离构造成

形法

直角三角形，利用勾股定理求

半径

因正方体、长方体的外接球半

三条侧棱两两垂直的三棱锥，

径易求得，故将一些特殊的几

从正方体或长方体的八个顶点

补形法何体补形为正方体或长方体，

中选取点作为顶点组成的三棱

便可借助外接球为同一个的特

锥、四棱锥等

点求解

考点（三）

平面图形的翻折与空间图形的展开问题

主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值

问题的求解.

［典例感悟］

［典例］⑴如图，正的边长为2,必是4?边上的高，E,尸分别为边然与园的

中点，现将△46C沿切翻折，使平面力加工平面"况则三棱锥氐加心的体积为.

⑵如图，直三棱柱/aM心G中，AB=1,BC=2,AC=yj5,14=3,"为线段跖上的

一动点，则当4V+,跖最小时，△力必的面积为.

［解析］⑴&瓯=；8械=；X俾X22)=半，£到平面外&的距离力等于所以

(2)将侧面展开后可得：本题AM+MQ最小可以等价为在矩形ACC^

中求AM+MG的最小值.

如图，当4机G三点共线时，4什如最小.

又AB：BC=\：2,48=1,6c=2,O；=3,

所以4井=木,ilfCi=2y［2,又AG=、9+5=^/14,

1

AM+C\M—Au\2+8—14-

所以cosN4总2

24"•CxM_2X^2X2^2

所以sinN4%?i=乎

故△建峪的面积为阳=^义加义2/X坐=4.

［答案］⑵小

［方法技巧］

解决翻折问题需要把握的两个关键点

（1）解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量.一般情况下，折线

同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”.

①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变.

（2）解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前

的图形.

［演练冲关］

1.有一根长为6cm,底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，

并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为cm.

解析：由题意作出图形如图所示，

则铁丝的长度至少为#64（4n）2=>36+161=249+4T.

答案：249+4n2

2.（2018•南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形4版内剪去四个全等的等腰

三角形（如图①中阴影部分），折叠成底面边长为镜的正四棱锥乱砒加（如图②），则正四棱

锥,£7物的体积为.

解析：连结用，HF,交点为。（图略），正方形跖第的对角线£6=2,£0=1,则点£到

线段加的距离为1,郎=5'；+2"=#,SO=7SE-窕=小三=2,故正四棱锥$七%7/的

体积为W1X（血L/又2=可4.

OO

依d4

答案：

3.如图所示，平面四边形48（笫中，AB=AD=CD=-\,BD=pBDLCD,将其沿对角线

仍折成四面体微力，使平面力劭，平面腼，若四面体/腼的顶点在同一个球面上，则该球

的体积为

AA

解析：如图，取切的中点笈比■的中点。，连接OD,EO,A0.

因为48=4。，所以4反L做

由于平面/加_L平面BCD,所以力反1平面BCD.

因为力〃=49=CZ=1,笈9=,所以AE=2，£0=5.所以0A—?.

1/Q

在口△〃%中，OB=OC=OD=-BC=A^~,所以四面体力腼的外接球的球心为。，半径为

2.

4

所以该球的体积r=-n

答案:殍

［必备知能•自主补缺］._________________________________________________________

(-)主干知识要牢记

h'为斜高，即侧面等腰梯形的高

S跚杖他=2nrl

---------

圆柱1r为底面半径

--、

---

1为侧面母线长

Siat(tffli=nrl

圆锥r为底面半径

1为侧面母线长

SMM=n(ri+?2)1

△为上底面半径

圆台

n为下底面半径

1为侧面母线长

2.柱彳本、锥体、台体的体积公式

⑴，柱体=57?(S为底面面积，//为高)；

⑵小体=!防(S为底面面积，A为高);

(3)%=4(S+4r+£)/;(不要求记忆).

O

3.球的表面积和体积公式

(1)S球=4n为球的半径)；

4

(2)心=炉外(火为球的半径).

4.立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两

点距离最短.

(-)二级结论要用好

1.长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系/:才+^+储若长方体外接球

半径为此则有(2而2=3+斤+。2.

［针对练1］设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,2小，4,则其外接

球的表面积为.

解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R,可将题中的三棱锥补形成一个长方

体，则4;R+(2如"2=2也所以该三棱锥外接球的表面积为S=4n4=32n.

答案:32n

2.棱长为a的正四面体的内切球半径r=噌a,外接球的半径月=芈a.又正四面体的高

1L勺

人=坐a,故厂=；方，兄=［力・

［针对练2］正四面体4?切的外接球半径为2,过棱46作该球的截面，则截面面积的最

小值为.

解析：由题意知，面积最小的截面是以为直径的圆，设4?的长为a,

因为正四面体外接球的半径为2,

所以乎a=2,解得a=半，

4u

故截面面积的最小值为

田―8Jt

答案：

3.认识球与正方体组合的3种特殊截面：

一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体.它们的

相应轴截面如图所示（正方体的棱长为a,球的半径为曲.

［课时达标训练］._______________________________________________________________

A组一一抓牢中档小题

1.若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为.

解析：由题意，得圆锥的母线长/=4船+2：'=所以nr）="义1乂m=乖

答案：小兀

2.已知正六棱柱的侧面积为72cm2,高为6cm,那么它的体积为cm3.

解析：设正六棱柱的底面边长为xcm,由题意得6xX6=72,所以x=2,于是其体积M

乎X2?X6X6=36#（cm。）.

答案：36m

3.（2019•扬州中学模拟）已知三棱锥%的所有顶点都在球。的球面上，SC是球0

的直径.若平面平面SC5SA=AC,SB=BC,三棱锥S/8C的体积为9,则球。的表面

积为.

解析：如图，连接。1,OB.

由SA=AC,SB=BC,SC为球。的直径，知OA±SC,OBISC.

由平面SOJL平面SCB平面san平面sc3=sc,OAI.SC,知勿_L平面SCN

设球。的半径为r,则。1=应=r,SC=2r,

三棱锥S-4a1的体积

3

即可=9,**•2^=39I.S球表=4冗了=36兀.

O

答案:36n

4.（2019•南京四校联考）如图，在正三棱柱/g45G中，AB=2,AAx

=3,点£是棱阳上一点（异于端点），则三棱锥4-4比1的体积为.

解析：由题意知，在正三角形/a'中，AB=2,所以以欧=乎'22=4.

连接BA、,由等体积法知，VArAEC=VE-AAtC=V&AtAC=VArABC=^XAAtXS

o

答案：小

5.（2018•扬州期末）若圆锥的侧面展开图是面积为3"且圆心角为胃1的扇形，则此圆

锥的体积为.

19JI

解析：设圆锥的底面半径为r,高为方，母线为1,则由J•一厂•/=3",得/=3,又

乙O

2

由等••/=2叮r,得_r=L从而有力=\//一/=2镜,所以「=；•nr.n.

J«Jo

答案：第n

6.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等

的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容

器.当x=6cm时，该容器的容积为cm3.

p

解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面高为5cm,

则正四棱锥的高为所以所求容积K=1x62X4=48（cm：,）.

答案：48

7.（2019•苏锡常镇四市一模）已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积

的最大值为.

解析：设圆柱的底面半径为r,高为力，则由圆柱的轴截面的对角线长为2知，4?+A2

4y+代

=4.圆柱的侧面积5=2K动W口X—y—=2n,当且仅当2r=h时取等号，所以这个圆柱

的侧面积的最大值为2n.

答案：2n

8.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为一,S,底面半径和高均为「的圆锥的体

yoc

积和侧面积分别为%S,若则亳的值为—

V-iJI02

—a,Si—yfiJtr,由即［旦一=彳~，得

解析：由题意知,

..6a-__6__3m

a=r,从而豆=衣7=声="'

〜3A/2

答案：于

9.已知正方形的边长为2,E,F分别为BC,小的中点，沿心EF,4尸折成一个

四面体，使8,C,〃三点重合，则这个四面体的体积为.

解析：设B,C,〃三点重合于点P,得到如图所示的四面体P-AEF.

因为"，阳APVPF,PECPF=P,所以北，平面侬；所以Vnm

1111

/四面体4板=鼻•AP=-X-X1X1X2=-

SMEF•O。乙J

答案：|

10.（2018•常州期末）已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,

得到的圆台体积是7,则该圆台的高为

解析：设截得的小圆锥的高为加，底面半径为八，体积为匕=:式6垢大圆锥的高为人

rh

=6,底面半径为r,体积为勺二外=8.依题意有三=力

得力=；2=3,所以圆台的高为A—九=3.

答案：3

11.如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，NACB=

90°,4c=6,BgCC\=/,P是附上一动点，则b+例的最小值是

解析：连结48,沿阳将展开，与△&的在同一个平面内,

如图所示，连结4G则4c的长度就是所求的最小值.

c,

A上

AB

因为4G=6,BG=2,所以4婿+函=44，所以N4G6=90°.

又/8GC=45°,所以N4GC=135°,由余弦定理，得4d=4窃+编-24G•CG•cos

N4GC=36+2-2X6X/x(-由=50,所以4c=5镜，即b+/H的最小值是八区

答案：5会

12.(2019•南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a,6,1.现将

它的长增加1,宽增加2,且体积不变，则所得新长方体高的最大值为.

ab=2,

解析：设所得新长方体的高为h,根据题意，得,,、.，°、，°所以h=

(a+1)(6+2)h=2,

22221

7~I\/I\=~；1~I/I=Q_\1\AWI=不当且仅当2a=6,即a=l,b

«+11)(Zz?+29)ab-\~92a+b+292a+Z?+4212db+44

=2时取等号，故所得新长方体高的最大值为京

1

答案：彳

13.已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4m“，过圆锥的两条母线作截面，截面

为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为.

解析：如图，设底面半径为r,由题意可得：母线长为蛆r.又侧面展

D

开图面积为,隹广义2冗尸=4镜n，所以T=2.乂截面三角形力切为等边三角形，故BI)=AB

=/八又OB=OD=r,故△/»〃为等腰直角三角形.设圆锥底面

==

中心到截面的距离为d,又Vo-ABDVA-B0I)9所以dXSnABD=AOXS△啊又S&AffD^^~A^X

广工J2X22市

8=2yf3,5A(W=2>A0=r=tlf故d=二3•

答案.

14.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为Tcm的实心铁球，四个球两两相

切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注

水cm3.

解析：设四个实心铁球的球心为。，Q,a,。”其中a,a为下层两球的球心，aaoM

为正四面体，棱QQ到棱aa的距离为孚，所以注水高为1+坐.故应注水体积为“。十平)

—4x1x(33=&+平卜(城).

答案:目郛

B组一一力争难度小题

1.(2019•全国卷III)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型

为长方体挖去四棱锥第后所得的几何体.其中。为

长方体的中心，E,F,G,〃分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AAt

=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/aA不考虑打印损耗,制作该模

型所需原料的质量为_______g.

解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm,

故^Btii<)Ht«=1x|x4X6X3=12(cnit).

0乙

又「长方体=6X6X4=144(cm‘)，

所以模型的体积为

VK方体一，拉去的四核怫=144—12=132(cm'),

所以制作该模型所需原料的质量为132X0.9=118.8(g).

答案：118.8

2.（2018•苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古

代建筑中首创的榨卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、

左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°样卯起

来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进

一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留

解析：设球形容器的最小半径为此则“十字立方体”的24个顶点均在半径为"的球面

上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上.球的直径就是长方体

的体对角线的长度，所以2斤=4?不乔/=，而，得4下=30.从而S球面=4“外=30JT.

答案:3031

3.（2019•启东中学模拟）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为"

20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触

点（皮球不变形），则皮球的半径为cm.

解析：法一：如图，过点S作SJ吐平面力腼，垂足为连接4仇由题意，可知SM=

S

10^2cm,cm,易发现点M到每条棱的距离均为10cm,所以/K

点"即球心，球半径为10cm.IA\

法二：在四棱锥力中，所有棱长均为20cm,

连接4G初交于点0,连接S。，

则SgAO^BgCgDO=10^2cm,

易知点。到48,BC,CD,49的距离均为10cm,

在等腰三角形十S中，/k=S，=10娟cm,必=20cm,

所以。到外的距离rf=10cm,

同理可证。到的SC,劈的距离也为10cm,

所以球心为四棱锥底面4?徵的中心0,

所以皮球的半径二=10cm.

答案：10

4.（2019•河南模拟）如图，已知正方体4844的棱长为1,

。为优的中点，过点力，P,G的平面截正方体所得的截面为M,则截

面M的面积为一.

解析：如图，取44,力。的中点分别为尸，G.

连接/凡AP,PC、,GF,PG,仄G,AG,PF.

An

・・,尸为4〃的中点，户为回的中点，G为力〃的中点,

,\/5

：.AF=FQ=AP=PQ=^

PG//CD,AF//DxG,

由题意易知CD//C\D\>

:・PG〃C\D\,

・・・四边形为平行四边形，

：.PCx//IXG,

:.PC」/AF,

，力，P,G,尸四点共面，

・••四边形力阳少为菱形.

・・3G=/，PF=/,

截面M的面积S=5G•^=1^3X小=坐

答案:平

5.如图所示，在直三棱柱中，ACLBC,AC=\,BC=CC、=2,若用平行

于三棱柱464-46C的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体

能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为.

解析：用过/反的中点且平行于平面8s5的平面截此三棱柱，可

以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；

用过回的中点且平行于平面1%M的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高

分别为4,1,2的长方体，其表面积为28：

用过44,BR,CG的中点且平行于平面力宛的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、

高分别为4,2,1的长方体，其表面积为28,

因此所求的长方体表面积的最小值为24.

答案：24

6.如图，在棱长为4的正方体/比》46£〃中，E,尸分别为棱44,4G上的动点，点G

为正方形尻%'G的中心.则空间四边形4576在该正方体各个面上的正

投影所构成的图形中，面积的最大值为,人，

解析：四边形在前、后面的正投影如图①，当£与4重合，F

与合重合时，四边形1防。在前、后面的正投影的面积最大值为12；

四边形457%在左、右面的正投影如图②，当汇与4重合，四边形力牙1。在左、右面的正

投影的面积最大值为8；

四边形457若在上、下面的正投影如图③，当尸与〃重合时，四边形/必1G在上、下面的

正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.

答案：12

第二讲I大题考法一一平行与垂直

题型（一）

线线、线面位置关系的证明

平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面平行、垂直

的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.

［典例感悟］

［例1］（2017•江苏高考）如图，在三棱锥力-腼中，ABYAD,BC

LBD,平面/加，平面犯9,点匕尸（£与4,。不重合）分别在棱BD

上，且“'

求证：（1）夕，〃平面4匕

⑵皿4c

［证明］（1）在平面4砌内，因为1必EFLAD,

所以EF//AB.

又因为£&平面/6C,/8u平面/6G

所以仔〃平面ABC.

⑵因为平面/切上平面BCD,

平面ABDQ平面BCD^BD,

8ct平面融，BCVBD,

所以6cL平面ABD.

因为A上平面ABD,

所以BCLAD.

又AB工AD,BCCAB=B,4代平面四C,止平面四4所以/WJL平面48c

又因为/比平面ABC,

所以ADYAC.

［方法技巧］

立体几何证明问题的2个注意点

（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推

理.如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外;

线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，

则结论不一定正确.

（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多

画出一些图形辅助使用.

［演练冲关］

1.（2018•苏锡常镇调研）如图，在四棱锥P-ABCD中,ZADB

90°,原=缪，点E为棱阳的中点.

（。若PB=PD,求证：PCX.BD-,

（2）求证：CE〃平面PAD.

证明：⑴取划的中点0,连结CO,PO,因为CD=CB,所以BDVCO.

因为P4PD,所以BDLPO.

又POCCg0,

所以应LL平面PCO.

因为/在平面女力，所以/TL也

⑵由《为阳中点，连结£0,则如〃如，

又£次平面PAD,Pg平面PAD,

所以口〃平面PAD.

由N/%?=90°,以及BD上CO,所以。〃加,

又明平面PAD,所以CO〃平面PAD.

又CO^EO=O,所以平面砥）〃平面PAD,

而CEu平面CEO,所以磔〃平面PAD.

2.（2019•江苏高考）如图，在直三棱柱/8G48C中，D,£分别为

BC,/C的中点，AB=BC.

求证：（1）48〃平面〃笫；

⑵阳

证明：（1）因为〃E分型为BC,4C的中点，

所以ED//AB.

在直三棱柱力舐4劣G中，AB"A瓜,

所以4台〃被

又因为欧:平面〃命，48I平面%'G,

所以48〃平面比G.

⑵因为AB=BC,£为“'的中点，所以胆L然

因为三棱柱ABC-4劣G是直棱柱，所以GCL平面ABC.

又因为BEu平面ABC,所以GCLBE.

因为GCi=平面44CG,4ct平面4/CG,GCAAC^C,

所以跳上平面AxACQ.

因为G£t平面44s,所以应'_LG&

题型(二)

两平面之间位置关系的证明

考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本质是考查线面垂直和平行.

［典例感悟］

［例2］(2019•南京盐城一模)如图，在直三棱柱481G中，D,E

分别是棱8GM上的点(其中点2不同于点。，且尸为棱AG上

的点，且4RL8G.

求证：(1)平面ADEL平面BCCB；

(2)4尸〃平面ADE.

［证明］(1)在直三棱柱/跖48C中，CGJ_平面4比:

因为4t平面ABC,所以CGVAD.

又AD1DE,在平面8%由中，CG与小相交,

所以血状平面BCCB.

又ADc.平面ADE,所以平面/应比平面BCGBx.

(2)在直三棱柱中，被，平面484,

因为4代平面45G,所以如_L4汽

又4436,所以4£1平面比匕尻

在⑴中已证得1平面BCCB,所以AyF//AI).

又/闪平面/庞，/Wc平面力〃所以4人〃平面49E

［方法技巧］

证明两平面位置关系的求解思路

(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即

可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.

（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证

明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则

借助中线、高线或添加辅助线解决.

［演练冲关］

»iQ

（2018•江苏高考）在平行六面体队中，旭上以Q.

求证：⑴股〃平面46心

⑵平面/薇4,平面ABC.BC

证明：（1）在平行六面体4比9454"中，

AB//AM.

因为4人平面45C,ABu平面ABC,

所以48〃平面ABC.

（2）在平行六面体ABCD-4844中，

四边形4初4为平行四边形.

又因为加尸9

所以四边形为菱形，

因此

因为BC//BxG,

所以48」8c

因为48nBC=B,A庆平面A、BC,

BCu平面AxBC,

所以仍J_平面A\BC.

因为相u平面ABRA、,

所以平面平面AWC.

题型（三）

空间位置关系的综合问题

主要考查空间线面、面面平行或垂直的位置关系的证明与翻折或存在性问题相结合的综

合问题.

［典例感悟］

［例3］如图1,在矩形4腼中，AB=\,AD=2,£是口的中点，将△4外■沿四折起,

得到如图2所示的四棱锥Dy-ABCE,其中平面ZU虹平面ABCE.

(1)证明：平面ZMA

(2)设尸为勿的中点，在线段4?上是否存在一点M,使得物W平面若存在，求

出勤值；若不存在，请说明理由.

［解］⑴证明：•.•四边形48(力为矩形且4g应'=%=比'=2,."A跖=24.又4?

=4,:.A代+B^=A百,:"AEB=9Q°,即跳、_L4£又平面"力反1平面46G5；平面ZU£D平

面MCE=4E,8Eu平面A8CE,.•.如!平面〃

..AM1.__

(2)—=7＞理由如下：

/\D4

取〃£的中点£,连接也，AL,

：.FL//EC,FL=*C=L

又ECHAB,:.FL〃AB,且FL=，AB,

:.M,F,L,4四点共面.若.，监力平面力〃色贝心折〃4....四边形4监Z为平行四边形，

1AM1

：.AM=FL=~AB,即am=不

4AD4

［方法技巧］

与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤

假设存在bf植应语诏春宿;余藁山莅费最拓面.............:

一＞I在假设条件下进行推理,若能导出与条件吻合的数；

推梵明T据或事实，说明假设成立，即存在;若导出与条阴

色——少■或实际情况相矛盾的结果，说明不成立，即不存在；

01;

得出结论卜回答显否容痴而面宓：

［演练冲关］

(2018•全国卷I)如图，在平行四边形/比¥中，丝=然=3,/〃¥=90°.以4C为折痕

将折起，使点历到达点〃的位置，且物.

D\

⑴证明：平面力切，平面板

2

⑵0为线段段上一点，月为线段回上一点，且BP=DQ=QA,求三棱锥鳍的体积.

解：（1）证明：由己知可得，/物C=90°,即用

又因为胡，/〃，ACC\AD=A,

所以481.平面ACD.

因为力氏平面ABC,

所以平面力5_1平面ABC.

⑵由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3y［2.

又BP=D*J）A,所以如2$.

如图，过点0作处」4G

垂足为E,则QE^DC.

由已知及（1）可得，〃C_L平面/8G

所以Q6J_平面四GQE=\.

因此，三棱锥。｛//的体积为4何＞=：＞＜以必X。£=：＞＜^＞＜3X21^^45°Xl=l.

［课时达标训练］________________________________________________________________