2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第六章 概率综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1事件的独立性

1.（2021新高考I,8）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回

地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表

示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和

是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

考点2离散型随机变量的均值与方差

2.（2020全国m理,3）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为pbp2,p3,p4,

4

且EPi=l,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）

1=1

A.pi=p4=0.1,p2=P3=0.4

B.pi=p4=0.4,p2=p3=0.1

C.Pl=P4=0.2,P2=P3=0.3

D.pi=p4=0.3,pz=P3=0.2

3.（2021新高考I,18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位

参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答

错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,

无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否

则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,

且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

⑴若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分,求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

考点3二项分布

4.(2021天津,14)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另

一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概

率分别为弄哈且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则

65

一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率

为.

5.(2019课标全国I,15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得

四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为

“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且

各场比赛结果相互独立,则甲队以4：1获胜的概率是.

考点4超几何分布

6.(2021浙江,15)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取

出的红球数为W,若取出的两个球都是红球的概率为g一红一黄的概率为;,则

63

m-n=,E(O=.

7.(2021北京,18)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”，

即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可确定所有样本都是阴性,若为阳

性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.

⑴①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为5,定义随机变

量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);

(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的

大小(直接写出结果).

考点5正态分布

8.（2021新高考H,6）某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。，则下列结论

中不正确的是（）

A.。越小,该物理量一次测量结果落在⑼9,10.1）内的概率越大

B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5

C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等

D.该物理量一次测量结果落在⑼9,10.2）内的概率与落在（10,10.3）内的概率相

等

9.（2017课标全国I,19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每

天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位:cm）.根据长期生产经

验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N（U,o2）.

⑴假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（P-

3。，Li+3。）之外的零件数,求P（X21）及X的数学期望；

⑵一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（□-3。，Li+3。）之外的零件,就认为

这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行

检查.

⑴试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

16~16l~16~

经计算得行专区Xi=9.97,s=括之®司二招卷宿16无2)^0.212,其中Xi

为抽取的第i个零件的尺寸,i=l,2,16.

AA

用样本平均数工作为口的估计值〃，用样本标准差S作为。的估计值（7,利用估计

AAAA

值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除（〃-3（7,〃+3。）之外的数据,用剩

下的数据估计R和。（精确到0.01）.

附:若随机变量Z服从正态分布N（u,。2）,则P（u-3o〈Z〈口+3。）=0.9974.

0.997416^0.9592,Vo?008^0.09.

三年模拟练

应用实践

L（2020浙江丽水模拟）已知随机变量W满足

P（C=0）=|,P（C=1）=x,P（C=2）=|-x,若0<x<|,贝IJ随x增大（）

A.EW增大,DW增大B.EW减小,DW增大

C.EW减小,DW减小D.EW增大,DW减小

2.（多选）（2021江苏南通海门期末）南通某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生

产的质量产品要求，对现有某种型号产品进行抽检，由抽检结果可知，该型号汽车

配件质量指标W服从正态分布N（200,224）,则（）

（附:7^-14.97,若CN（u,。2）』打（|W-u|<。）=0.6827,P（|1

u|<2。)=0.9545)

A.P(185.03<C<200)=0.6827

B.P（200W《<229.94）=0.47725

C.P（185.03<C<229.94）=0.9545

D.任取10000件该型号配件,其质量指标值位于区间（185.03,229.94）内的件数

约为8186

3.（多选）（2022吉林白山抚松第一中学开学考试）如图所示的电路中,A,B,C,D,E

表示五个保险匣.图中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,则下列结论正

确的是（）

ABD

rnIT

-nml_JTI

CE

-J—T1

A.A,B所在线路畅通的概率为；

B.A,B,C所在线路畅通的概率为］

c.D,E所在线路畅通的概率为总

D.当开关闭合时,整个电路畅通的概率为刍

4.（2020河北邯郸第一中学期中）设验血诊断某种疾病的误诊率为5%,即若用A

表示验血为阳性,B表示受验者患病,则P（AB）=P（A厉）=0.05.若受检人群中有

0.5%患此病，即P（B）=0.005,则一个验血为阳性的人确患此病的概率

为.

5.（2020北京通州一模）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加

扣除暂行办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷

款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年

员工80人,现采用分层随机抽样的方法从该单位员工中抽取20人，调查他们享

受个人所得税专项附加扣除的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据

统计如表：

住房

子女继续大病住房赡养

专项人数员工贷款

教育教育医疗租金老人

利息

老年员工402203

中年员工821518

青年员工120121

(1)在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人？

⑵从上表享受住房贷款利息专项附加扣除的员工中随机选取2人，记X为选取

的中年员工的人数,求X的分布列和数学期望.

6.（2020北京西城模拟）在新中国成立七十周年之际,某中学的数学课题研究小组

在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30^10:00共2.5小时内，居民浏览

“学习强国”APP的时间.如果这个社区共有成人10000人,每人每天晚上

7:30~10:00期间打开“学习强国”APP的概率均为p（某人在某一时刻打开“学

习强国”APP的概率P=割霁,0<P<l）,并且每人是否打开该APP进行学习是相

互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”APP的时间（单

位:min）,得到下面的频数表，以这100名成人每天晚上的平均学习时长作为该社

区每个人的学习时长.

学习时[50,[60,[70,[80,[90,

长/min60)70)80)90)100]

频数1020402010

（1）试估计P的值（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）;

⑵设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”APP进行学习的人数.

①求X的数学期望EX和方差DX;

②若随机变量Z满足Z=溪,可认为Z〜N（0,1）.假设当4950<X<5100时,该社

区处于最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长

（结果保留整数）.

附:若Z〜N（u,。2）,贝l]P（口-。<ZWu+o）=0.6826,P（n-

2o<Z<u+2。）七0.9544,P（u-3。<Z<u+3。）-0.9974.

7.(2022黑龙江哈尔滨第三中学段测)某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并

联组成,每根光导纤维能正常传输信号的概率均为P(0〈P〈1),且每根光导纤维能

否正常传输信号相互独立.已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号,

这个5G传输设备才可以正常工作，记(2k-1)(k£N,k22)根光导纤维组成的这种

5G传输设备可以正常工作的概率为P(k).

⑴用p表示P(2);

⑵当时，比较P(k)与，勺大小；

⑶为提高这个5G传输设备正常工作的概率,在这个传输设备上再并联两根相同

规格的光导纤维,且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正

常传输信号才可以正常工作.试确定P的取值范围,使新增两根光导纤维可以提

高这个5G传输设备正常工作的概率.

8.(2021辽宁锦州一模)核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据,首先取病人的唾液

或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒,样本检测

会呈现阳性,否则为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为

p(o〈p〈l).现有4例疑似病例,分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐

个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒,则混合样

本化验结果就会呈阳性,若混合样本呈阳性,则将该组中备份的样本再逐个化验;

若混合样本呈阴性,则判定该组各个样本均为阴性,无须再检验.现有以下三种方

案：

方案一:逐个化验;方案二：四个样本混合在一起化验;方案三:平均分成两组,每

组两个样本混合在一起,按组化验.在新冠肺炎暴发初期，由于检查能力不足，化

验次数的期望值越小,则方案越“优”.

⑴若按方案一且P=|，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

⑵若现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最

“优”？

⑶若对4例疑似病例样本进行化验,且想让方案二比方案一更“优”，求p的取

值范围.

答案与分层梯度式解析

五年高考练

1.B依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结

果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,

5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),

(6,5),(6,6).

其中p(甲p(乙)p(丙)二总p(丁)=白=3

DOODO6DODOO

丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个基本事件.

丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个基本事件.

易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个，“丙、丁同时发生”的基本事件有

0个，“乙、丙同时发生”的基本事件为(6,2),共1个，JP(乙丙)《，

36

又P(乙)・P(丙)白，

6DODO

...乙、丙不相互独立.

同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6),

•••P(甲丁)三,又P(甲)・P(丁)=9毛，

366636

•••P(甲丁)=P(甲)・P(丁)，，甲与丁相互独立，故选B.

44

2

2.B根据均值EX=EXiPi,方差DX=E(x-EX)Pi以及方差与标准差的关系，得各

i=l

选项对应样本的标准差如下表.

标准差

选项均值EX方差DX

VDX

A2.50.65V0.65

B2.51.85V1.85

C2.51.05V1.05

D2.51.45V1.45

由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.

3.解析(1)由已知可得,X的可能取值为0,20,100,

P(X=O)=1-O.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知EX=0X0.2+20X0.32+100X0.48=54.4.

若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分，

则Y的可能取值为0,80,100,

P(Y=0)=l-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,

P(Y=100)=0.6X0.8=0.48,

所以EY=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6,

因为EY>EX,

所以小明应选择先回答B类问题.

解析由题意得，甲获胜为甲猜对乙猜错，

其概率P=|X（1.|片

2

根据独立重复试验的概率,知甲获胜2次的概率PkC“0X（1-3三,

3

甲获胜3次的概率P2=cgQ）或，

•••甲至少获胜2次的概率P，=8+2=|+我.

5.答案0.18

解析前四场中有一场客场输,第五场赢时，甲队以4：1获胜的概率是

0.63X0.5X0.5X2=0.108;前四场中有一场主场输,第五场赢时，甲队以4：1获

胜的概率是O4X0.62X0.52X2=0.072.

综上所述，甲队以4：1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.

6.答案1]

解析p(C=2)=C，=二—W，可得C^+n+4=36,...m+n+4=9,

^m+n+4^m+n+46

又(一红一黄)=害纽=瞿解得m=3,...n=2,.二!!!-n=L

C?n+7i+43693

P(€=0)=|=^,P(C=D=等=|，P(*=2)

.*.E(O=—X0+-X14x2=-+i=-.

1896939

7.解析(1)①根据题意,需要检测两轮,第一轮为检测出两名患者所在的组,可

将100人分成10组,共需检测10次,第二轮需将两名患者所在的组的每个人逐

个检测，需要10次,故总检测次数为10+10=20.

②根据①可知,两名患者在同一组时需要检测20次,两名患者不在同一组时,第

一轮先检测出两名患者各自所在的组,需要10次,第二轮需将两名患者所在的组

的每个人逐个检测，需要20次,故总检测次数为30,故X的所有可能取值为

20,30.

由题意可知P(X=20)P(X=30)=1」■卫，

111111

则X的分布列为

X2030

110

P

T7rT

故E(X)=20X?30X^^

(2)E(X)<E(Y).

8.D因为该物理量的测量结果服从正态分布N(10,。%所以正态曲线关于直线

x=10对称,且方差。2越小,分布越集中.对于A,。越小,测量结果越集中在10

左右,则该物理量一次测量结果落在⑼9,10.1)内的概率越大,故A中结论正确；

对于B,测量结果大于10的概率为0.5,故B中结论正确;对于C,由于正态曲线关

于直线x=10对称,所以测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C

中结论正确;对于D,测量结果落在⑼9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的

概率，故D中结论错误.故选D.

9.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(口-3。，u+3。)之内的概率为0.9974,

从而零件的尺寸在(口-3。，口+3。)之外的概率为0.0026,故X〜B(16,0.0026).

因此P(XNl)=l-P(X=0)=l-0.997416^0.0408.

X的数学期望EX=16X0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(Li-3。，口+3。)之外的概率只有

0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(P-3。，P+3。)之外的零件的

概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条

生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查,

可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,s^O.212,得n的估计值为>9.97,。的估计值为；=0.212,由样

本数据可以看出有一个零件的尺寸在(〉32,>3展)之外，因此需对当天的生产过

程进行检查.

剔除(Q3),温2)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为卷X(16X9.97-

9.22)=10.02,

因此u的估计值为10.02.

16

Ex?=16X0.2122+16X9.972^1591.134,

i=l

AAAA1

剔除(〃-3o,〃+3o)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为(1591.134-

9.22-15X10.022)-0.008,

因此。的估计值为苑丽仁0.09.

三年模拟练

i.c•.•随机变量w满足p(w=o)[,p《=i)=x,p(w=2)q-

x,/.EC=0x|+lXx+2(：-x)=1-x,

DC=(O-：+x),|+^1-：+x)x+(2-,+x)•Q-x^=-x2-|x+|=-^x+3+1|.

若0<x<|,则随X增大,Ew减小,Dw减小.故选c.

2.BD•.•该型号汽车配件质量指标W服从正态分布

N(200,224),Z.u=200,。=224,

XVV224^14.97,/.。七14.97.

对于A,P(185.03〈W<200)=¥(|1一口|<。)=X0.6827=0.34135,故A错误；

对于B,P(200WC<229.94)=|p(|C-n|<2o)=1xo.9545=0.47725,故B正确;

对于C,P(185.03〈W<229.94)三P(|C-n|<O)+|P(|C-u|<2o)=0.341

35+0.47725=0.8186,故C错误;

对于D,由C知P(185.03<I<229.94)=0.8186,

即10000X0.8186=8186件，故D正确.

故选BD.

3.BD由题意知,A,B,C,D,E保险闸被切断的概率分别为

P(A)="P(B)=|,P(C)W，P(D)4,P(E)4,所以A,B所在线路畅通的概率为：x|W，A

23456z33

错误;D,E所在线路畅通的概率为算C错误;A,B,C所在线路畅通的概率

5630

为1-B正确;根据上述分析可知，当开关闭合时,整个电路畅通的概率

3466

为*X9二•2,D正确.故选BD.

30636

4型案22,

'白木218

解析P(B|A)

_P(B)P(丝)_

P(B)P(X|B)+P(B)P(A|B)

_0.005X0.95_19

0.005X0.95+0.995X0.05218,

5.解析(1)该单位员工共有140+180+80=400人,

抽取的20人中，老年员工有140X^=7人,中年员工有180X^=9人,青年员工

有8°X粉4人.

(2)X的可能取值为0,1,2,

第_

P(X=O)=3

C128’

玛禺」

P(X=l)=5

C128

P(X=2)=4—•

ci14

所以X的分布列为

X012

3155

P

282814

所以EX=。吗+1X导2义需.

6.解析(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为

55X0.1+65X0.2+75X0.4+85X0.2+95X0.1=75min,

而调查总时长为150min,故P二六=点

⑵①根据题意,X〜B(1OOOO，).

故EX=10000X1=5000,

11

DX=10000XiX-=2500.

22

②100,

V250050

当4950<X<5100时,T〈ZW2,Z〜N(0,1),

0954406826

贝|JP(—l<ZW2)=P(u—。〈ZWu+2。)=0.9544_-=0-8185.

故P(4950<X<5100)=P(-1<Z<2)^0.8185.

估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长为150X0.8185-123min.

7.解析(1)由题设知,P⑵表示3根光导纤维中至少有2根能正常传输信号的

概率,.,.P(2)=C|p2(l-p)+C|p3=3p2-2p3.

⑵当P三时,有P(k)=(1广；(啖1+C矣+―磔；)，

又C%i+C加一i+…+C盘i+C聂i+C相,+…+C燹;=22k1,

•「k+「/c+l+..・+12k-1二？2k—2

••Sk-l〜2k-l十十匕2北-1.一乙，

P(k)=Q)2k1X22kq.p(k)

⑶设新增两根光导纤维后,两根都能正常工作、仅有一根能正常工作、两根都

不能正常工作,对应该设备能正常工作的概率分别为P1,p2,P3,

**.P1=P2[P(k)+c紧ipL(l-p)k],

p2=2p(l-p)P(k),

P3=(1-p)2[P(k)(l-p)S],