四川省乐山市2024届第三次调查研究考试理科数学试题（解析版）

乐山市高中2024届第三次调查研究考试理科数学（本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则集合A的元素个数为（）A.9 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数.【详解】，共6个元素.故选：C.2.已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（）A.2 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】由共轭复数的定义求出的值，再利用复数的模长公式求解即可.【详解】由和互为共轭复数，所以可得，，，所以，，因此，.故选：B.3.已知，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，又为第二象限角，所以.故选：A.4.设双曲线，椭圆离心率分别为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值.【详解】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以双曲线的离心率为，又双曲线，所以，所以，解得.故选：B.5.设，则（）A.1 B. C.2024 D.【答案】C【解析】【分析】令求得，令即可求得的值．【详解】由，令，得；令，得，所以．故选：C．6.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.20 B.24 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，再求出表面积即可得解.【详解】原三视图对应的几何体是棱长为2的正方体，挖去角上一个棱长为1的正方体，如图，该多面体的表面积为.故选：B7.已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得.【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，得是奇函数，则必有函数是偶函数，函数是奇函数，此时，因此，当时，，不存在整数，使得值为BCD，当时，是奇函数.故选：A8.在区间，上任取一个实数，则使函数存在两个极值点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得有两个不相等的实根，利用判别式可求得或，利用几何概型可求概率.【详解】，若函数存在两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，解得或，区间的长度为15，满足条件的区间长度为13，由区间长度比得使函数存在两个极值点的概率为．故选：D．9.在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由勾股定理求出，由余弦定理求出可得，再由可得答案.【详解】设，则，，由余弦定理得，，解得，，所以，，.故选：C.10.若，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论.【详解】，所以则，又，所以，所以故选：D.11.在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】作出示意图，根据体积关系可得为的靠近的三等分点，再根据面面平行的判定定理及性质，可找到点位置，从而可求解.【详解】如图所示：因为，所以，所以所以，所以，则，设三棱柱的侧棱长为6，则，，又为中点，取的中点，连接，则。过作，且，连接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，则，故选：D12.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可．【详解】设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0），故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是夹角为的单位向量，若，则实数的值是______．【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的运算及其性质进行计算即可.【详解】由，是夹角为的单位向量，则，由，则，解得，.故答案为：.14.若关于的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为__________.【答案】0或【解析】【分析】如图，分类讨论，当直线与y轴垂直时符合题意，解得；当直线与直线垂直时符合题意，解得.【详解】作出直线，且直线经过定点，若直线与y轴垂直，则，不等式组表示的平面区域为，为等腰直角三角形，此时；若直线与直线垂直，则，不等式组表示的平面区域为，为等腰直角三角形，此时.故答案为：0或.15.函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】化简可得，fx在区间上有且仅有3个零点，等价于在区间上有且仅有3个解，结合图象进行求解即可.【详解】由函数，又，则，因为在区间上有且仅有3个零点，即在区间上有且仅有3个解.结合与的图象，知，解得，.故答案为：.16.峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④．【解析】【分析】依题意得出，，，再对每一选项进行判断．【详解】根据一次上1个台阶或2个台阶，爬上第个台阶的方法数为，可得，，，所以，，，所以①正确；因为，所以②正确；由①有，，则，，显然不满足，故③不正确；因为，，，，，累加可得，所以，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17.已知是等差数列的前项和.（1）证明：是等差数列；（2）设为数列的前项和，若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为，然后由等差数列的定义证明即可；（2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】证明：设等差数列an的公差为，，．．是等差数列．【小问2详解】，数列的首项为2，第四项为．数列的公差．．18.某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．

科技知识达人非科技知识达人合计男生15

女生

合计

（2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望．附：（其中）．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.635787910.828【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关（2）分布列见解析，期望【解析】【分析】（1）补充完整列联表，计算的值，再与临界值比较即可；（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解．【小问1详解】列联表补充完整如下：

科技知识达人非科技知识达人合计男生153550女生54550合计2080100零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关，则，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关；【小问2详解】从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率，由题意可知：，的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为：0123所以．19.如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据线面垂直得出面面垂直，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直；（2）根据线面垂直建系，应用空间向量法求出二面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦.【小问1详解】连结，底面是边长为2的菱形，．，．点为线段中点，．为菱形，平面，平面又平面，平面平面，在平面上的射影为，为直线与平面所成的角，即．在中，，．则．又平面平面，平面．【小问2详解】由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系则，则设平面的法向量为，平面的法向量为，则即取，则．即取则．设二面角大小为，则．，二面角的正弦值为．20.已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件求的值，确定椭圆的标准方程.（2）因为直线的斜率不为0，可设直线方程为：，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线的方程，令得点坐标，列出直线的斜率，化简即可.【小问1详解】．点在椭圆上，，解得或（舍）．椭圆的方程为．【小问2详解】如图：易知直线斜率不为0，设直线方程为直线方程为：，联立，得．由，得，．直线的斜率为：．直线方程为：．令，得．．所以直线的斜率为定值.21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）令，若存在，使得成立，求整数的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）先对求导，再根据导数与函数单调性的关系即可求解；（2）问题转化为，存在，使成立，构造函数，然后结合存在性问题与最值关系进行求解.【小问1详解】由题意定义域为，．当时，，在上单调递增．当时，由，得当时，，所以在上单调递增．当时，，所以在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由题知，又，化简得：，问题等价于：存在，使成立．设，则设，，当时，，在上单调递增．又，，在上存在唯一零点．设零点，则，即．，；，因此在单调递减，在单调递增，．，又，的最小值为5．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是，利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是，函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线.（1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）若与分别相交于异于原点的两点，当时，求的直角坐标方程.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据即可求解；（2）设曲线的极坐标方程为，分别联立与和的极坐标方程，求出，再根据即可得解.【小问1详解】由题意，，因