北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业45离散型随机变量的方差【含答案】

北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业45离散型随机变量的方差(原卷版)一、选择题1.已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据 (C)A.一样稳定 B.变得比较稳定C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断2.已知随机变量X的分布列如下：X－101Pab1若EX＝13，则DX的值是 (CA.13B.23C.593.已知离散型随机变量X的分布列为Xa26P1b1若EX＝2，则D(3X－1)＝ (D)A.3 B.9 C.12 D.364.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P11p则当p在(0，1)内增大时 (D)A.Dξ减小 B.Dξ增大C.Dξ先减小后增大D.Dξ先增大后减小5.已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜12，则 (AA.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2B.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2C.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2D.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ26.设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，现已知EX＝43，DX＝29，则x1＋x2的值为 A.53 B.C.3 D.117.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有 (ACD)A.q＝0.1B.EX＝2，DX＝1.4C.EX＝2，DX＝1.8D.EY＝5，DY＝7.28.(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是 (ABA.P(X＝1)＝EX B.E(3X＋2)＝4C.D(3X＋2)＝4 D.DX＝4二、填空题9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示.若EX＝0，DX＝1，则a－b的值为①④.X－1012Pabc110.已知随机变量X的分布列为X－101P111则下列结论：①EX＝－13；②E(X＋4)＝－13；③DX＝2327；④D(3X＋1)＝5；⑤P(X＞0)＝1311.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝3.36.三、解答题12.袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值.13.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.14.已知随机变量X，Y的分布列如下表所示，其中a，b∈(0，1).X－11Pa1－aY－11Pb1－b若D(XY)＝1，则 (C)A.EX·EY＞0 B.EX·EY＜0C.DX＋DY＞1 D.DX＋DY＜115.已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会.记X表示停止摸球时的摸球次数.若每次摸出乒乓球后不放回，则EX＝①④，若每次摸出乒乓球后放回，则DX＝①④.北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业45离散型随机变量的方差(解析版)一、选择题1.已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据 (C)A.一样稳定 B.变得比较稳定C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断解析：由题可得x1＋x2＋…＋x10＋211＝2⇒x1＋x2＋…＋(x1－2)1.1＞1，所以变得不稳定.故选C.2.已知随机变量X的分布列如下：X－101Pab1若EX＝13，则DX的值是 (CA.13B.23C.59解析：由分布列的性质可知a＋b＋12＝1，∴a＋b＝12.又EX＝－a＋12＝13，解得a＝16，b＝13，∴DX3.已知离散型随机变量X的分布列为Xa26P1b1若EX＝2，则D(3X－1)＝ (D)A.3 B.9 C.12 D.36解析：由题意可得13＋b＋16＝1，解得b＝12，由数学期望公式得EX＝a3＋2×12＋6×16＝a3＋2＝2，解得a＝0.由方差公式得DX＝(0－2)2×13＋(2－2)2×12＋(6－2)2×16＝4.由方差的性质可得D(4.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P11p则当p在(0，1)内增大时 (D)A.Dξ减小 B.Dξ增大C.Dξ先减小后增大D.Dξ先增大后减小解析：根据随机变量的分布列，得Eξ＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝12＋p.∴Dξ＝0－12＋p2·1－p2＋1－12＋p2·12＋2－12＋p25.已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜12，则 (AA.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2B.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2C.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2D.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2解析：由题意可知ξ服从两点分布.因为Eξ1＝p1，Eξ2＝p2，所以Eξ1＜Eξ2；因为Dξ1＝p1(1－p1)，Dξ2＝p2(1－p2)，所以Dξ1－Dξ2＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0.故选A.6.设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，现已知EX＝43，DX＝29，则x1＋x2的值为 A.53 B.C.3 D.11解析：由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以x解得x1＝1，x2＝2x1＝53，x2＝23舍去，7.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有 (ACD)A.q＝0.1B.EX＝2，DX＝1.4C.EX＝2，DX＝1.8D.EY＝5，DY＝7.2解析：由离散型随机变量X的分布列的性质得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2.故选ACD.8.(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是 (ABA.P(X＝1)＝EX B.E(3X＋2)＝4C.D(3X＋2)＝4 D.DX＝4解析：随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13∴P(X＝1)＝23，EX＝0×13＋1×23＝2在A中，P(X＝1)＝EX，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×23＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9DX＝9×29＝2，故C错误；在D中，DX＝29，故D错误二、填空题9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示.若EX＝0，DX＝1，则a－b的值为16X－1012Pabc1解析：由题意，知a＋b＋c＝1112，－a＋c＋16＝0，(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，∴a＝512，b＝14.则a10.已知随机变量X的分布列为X－101P111则下列结论：①EX＝－13；②E(X＋4)＝－13；③DX＝2327；④D(3X＋1)＝5；⑤P(X＞0)＝13解析：EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝−13，E(X＋4)＝113，故①正确，②错误.DX＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，D(3X＋111.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝3.36.解析：由题知X＝6，9，12.P(X＝6)＝C8P(X＝9)＝C8P(X＝12)＝C8∴X的分布列为X6912P771∴EX＝6×715＋9×715＋12×1DX＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×1三、解答题12.袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值.解：(1)X的分布列为X01234P11131则EX＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋((2)由DY＝a2DX，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又EY＝aEX＋b，所以，当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以a＝2，b13.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.解：(1)依题意，有0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙击中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2，∴ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ＞Eη，说明甲平均击中的环数比乙高，又Dξ＜Dη，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好.14.已知随机变量X，Y的分布列如下表所示，其中a，b∈(0，1).X－11Pa1－aY－11Pb1－b若D(XY)＝1，则 (C)A.EX·EY＞0 B.EX·EY＜0C.DX＋DY＞1 D.DX＋DY＜1解析：由分布列知，EX＝－1×a＋1×(1－a)＝1－2a，EY＝－1×b＋1×(1－b)＝1－2b，DX＝E(X2)－(EX)2＝a＋(1－a)－(1－2a)2＝4a(1－a)，DY＝E(Y2)－(EY)2＝b＋(1－b)－(1－2b)2＝4b(1－b)，∴D(XY)＝E(XY－E(XY))2＝E(X2Y2－2XYE(XY)＋E2(XY))＝E(X2)E(Y2)－2(EX)2(EY)2＋(EX)2(EY)2＝E(X2)E(Y2)－(EX)2(EY)2，∴D(XY)＝E(X2)E(Y2)－(EX)2(EY)2＝1－(1－2a)2·(1－2b)2＝1即－(1－2a)2(1－2b)2＝0，∴1－2a＝0或1－2b＝0，∴EX·EY＝0，DX＋DY＝2－(1－2a)2－(1－2b)2，不妨设1－2a＝0，∵b∈(0，1)，∴0≤(1－2b)2＜1，∴1＜DX＋DY≤2.故选