新高考数学一轮复习知识总结 集合与常用逻辑用语（含解析）

第一章集合与常用逻辑用语单元总结1．判断集合与元素的关系首先要明确集合中元素的特征，其次要看元素是否满足集合中元素的公共属性，满足即为属于关系，不满足即为不属于关系．2．集合的表示列举法是把集合中的元素一一列举出来，他适合元素较少或元素较多时但有一定规律性的情况；描述法把集合中的元素所具有的特征表示出来，具有抽象、概括、普遍性的特点；SKIPIF1<0图表示集合的好处在于易引起清晰地视觉形象，能直观地表示集合中元素的构成以及集合间的关系．3．判断集合相等对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，若两个集合中的元素完全相同，说明两个集合相等；若为无限集，则需要同时说明SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．4．有限集的子集个数若有限集合A中含有SKIPIF1<0SKIPIF1<0个元素，则集合A的子集的个数为SKIPIF1<0，真子集的个数为SKIPIF1<0，非空子集为SKIPIF1<0，非空真子集为SKIPIF1<0．5．空集空集是一个特殊且很重要的集合，它不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，往往忽视空集的特殊性而导致错误．6．集合子集的写法在写集合的子集和真子集时，一般是按照集合中元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，这样做，这样做可以做到不重不漏．需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此，在写集合的子集和真子集的时候，不要遗漏空集．7．集合中字母参数范围的求解对于已知集合间的关系求参数的问题，一般是先观察集合间元素的关系，在列方程（组）求解．另外，在处理含有参数的集合问题时，要注意对结果进行检验，以满足集合中元素的互异性．8．集合的基本运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复只去一；全集U是大范围，U中去掉A元素，剩余就成A补集．9．补集思想在解答一些较复杂问题时，如果从正面直接解决情况较多、较复杂，可以用“补集”思想，考虑问题的方面，再求结果的补集，从而可以较简单的解答．10、命题的概念可以真假的语句叫做命题.一般可以用小写英文字母表示.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.11.全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.符号表示为SKIPIF1<0，SKIPIF1<012.存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题.符号表示为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13.充分条件、必要条件、充要条件对于“若p则q”形式的命题：①若pSKIPIF1<0q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若pSKIPIF1<0q，但qSKIPIF1<0p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若既有pSKIPIF1<0q，又有qSKIPIF1<0p，记作pSKIPIF1<0q，则p是q的充分必要条件（充要条件）.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.如图：“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0”SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件.“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0”SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分必要条件.14、对含有一个量词的命题进行否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p：

SKIPIF1<0，他的否定SKIPIF1<0：

SKIPIF1<0。全称命题的否定是特称命题。

（2）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：

SKIPIF1<0，他的否定SKIPIF1<0：

SKIPIF1<0。特称命题的否定是全称命题。类型1运用集合中元素的性质解题考题1设P,Q为两个非空实数集合，定义集合SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0中元素的个数是【解析】因为SKIPIF1<0，所以对SKIPIF1<0分别取SKIPIF1<0中的元素，一一列出集合SKIPIF1<0中的元素．于是，依次分别取SKIPIF1<0，并分别求和，注意到集合中元素的互异性，则SKIPIF1<0，故共有8个元素．【答案】8考题2由实数SKIPIF1<0所组成的集合中，最多含有元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解析】本题主要考查集合中元素的个数问题，解决本题的关键是从集合中元素的互异性入手考虑，若是相同的元素，在集合中只能用同一个元素表示．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，这几个实数均为0，当SKIPIF1<0时，它们分别是SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，它们分别是SKIPIF1<0，均最多表示两个不同的数．故集合中的元素最多有2个．【答案】A【题型小结】集合元素的性质包括：确定性、互异性、无序性．确定性即集合中的元素必须是确定的，对于任何一个对象都能明确判断出来它是或者不是所给集合中的元素；互异性即集合中任意两个元素都是不相同的；无序性即集合与组成它的元素的顺序无关．在解题时，常常因忽略集合中元素的性质而出错，所以要加强对集合中元素性质的理解．类型2求子集的元素之和问题考题3已知集合SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的所有子集的元素之和为．【解析】集合SKIPIF1<0的所有子集分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，注意到SKIPIF1<0中的每个元素SKIPIF1<0出现在SKIPIF1<0的4个子集之中，即在其和中出现4次．故所求之和为SKIPIF1<0．【答案】36【探究】SKIPIF1<0中的每个元素出现在SKIPIF1<0的4个子集之中，这是在写出SKIPIF1<0的子集后观察出来的结果，能否不写出SKIPIF1<0的子集也得出这样的结论呢？注意到SKIPIF1<0中的元素1，出现在SKIPIF1<0的子集SKIPIF1<0中，如果在这些子集中排除这个数1，剩下来的元素依次组成的集合集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，也就是SKIPIF1<0除元素1组成集合SKIPIF1<0的子集，即有SKIPIF1<0个．因此，利用“整体思想”可知，再求其和的过程中，1出现了4次，同理3出现了4次，5出现了4次．故所求的和为SKIPIF1<0．推广到一般，即已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的所有子集的元素之和．类似上面的推导可知，SKIPIF1<0出现在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，即SKIPIF1<0在其和中出现的次数等价于集合SKIPIF1<0的子集个数（即SKIPIF1<0个）．同理SKIPIF1<0在其和中也出现了SKIPIF1<0次，SKIPIF1<0在其和中也出现了SKIPIF1<0次，…,SKIPIF1<0在其和中也出现了SKIPIF1<0次,故所求的和为SKIPIF1<0．【题型小结】在求解子集个数问题时，要注意问的是“子集的个数”还是“真子集的个数”或者是“非空真子集的个数”，同时关注子集应满足的相应条件．类型3集合的运算及其应用考题4若全集为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，定义SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的运算：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】由题可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【答案】B考题5（1）若全集SKIPIF1<0,集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】（1）集合SKIPIF1<0都是点集，集合SKIPIF1<0的关系式可以变为SKIPIF1<0，它的几何意义是直线SKIPIF1<0上去掉点SKIPIF1<0后所有的点的集合；集合SKIPIF1<0表示直线SKIPIF1<0外所有点的集合．可知SKIPIF1<0，表示直线SKIPIF1<0外所有点及直线SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0的集合；SKIPIF1<0，表示直线SKIPIF1<0外所有点的集合．从而可得SKIPIF1<0只有一个元素SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．【答案】（1）B(2)A【题型小结】解答集合问题的一般步骤：先认清集合元素的属性，然后依据元素的不同属性采用不同的方法求解．一般的规律表现为“若给定的集合是不等式的解集，则用数轴求解，特别要注意端点的取值；若给定的集合是则用数形结合法求解；若给定的集合是抽象集合，则用图象法（Venn图）求解”．类型4充分条件与必要条件的理解及判定考题6已知SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个小于1的正实根，试判断SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的什么条件．分析：判断SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的什么条件，要对SKIPIF1<0和SKIPIF1<0进行分析和转化，根据得出的结果作出相应的判断．解：若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个小于1的正实根，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设方程的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．根据根与系数的关系，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．反之，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么方程变为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．此时方程SKIPIF1<0无实根，所以SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件．解后反思：若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件；若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件；若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要条件．考题7设SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：方法1：当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0显然平行；若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验，均符合．故是充分不必要条件．方法2：把命题“SKIPIF1<0”看作集合SKIPIF1<0，把由命题“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”得出的SKIPIF1<0值的集合看作SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，所以是充分不必要条件．答案：A解后反思：一般地，如果条件甲为SKIPIF1<0,条件乙为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，甲是乙的充分条件；当且仅当SKIPIF1<0时，甲是乙的必要条件；当且仅当SKIPIF1<0时，甲是乙的充要条件．类型5全称命题与特称命题考题8命题“对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0”的否定为（）A．对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0B．不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0解析：题设命题为全称命题，它的否定为特称命题．需先变换量词，再否定结论，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．答案：D解后反思：写含逻辑联结词的命题的否定时，先变换量词，再否定结论．考题9已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若同时满足条件：①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．解析：当满足条件①时，由SKIPIF1<0