2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测一平面对量的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法中,正确的个数是 ()①时间、摩擦力、重力都是向量;②向量的模是一个正实数;③相等向量肯定是平行向量;④向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于①,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力都是向量,故①错误;对于②,零向量的模为0,故②错误;③正确,相等向量的方向相同,因此肯定是平行向量;④明显正确.2.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是 ()A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.正方形【解析】选A.因为∥,所以AB∥CD.又因为||≠||,所以AB≠CD.所以四边形ABCD是梯形.3.(多选题)设O是等边三角形ABC的外心,则,,是 ()A.有相同起点的向量 B.平行向量C.相等向量 D.模相等的向量【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心,起点都是O,外心为各边垂直平分线的交点,所以||=||=||.4.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是 ()A.-1 B.2 C.1 D.3【解析】选D.||=2-(-1)=3.5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= ()A.1 B.QUOTE C.2 D.2QUOTE【解析】选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,则||=2||=2QUOTE.6.(多选题)有下列说法,其中正确的说法是 ()A.若a≠b,则a肯定不与b共线B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点C.在▱ABCD中,肯定有=D.若a=b,b=c,则a=c【解析】选CD.对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;对于C,在▱ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故C正确;对于D,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________.

【解析】因为正方形的对角线长为2QUOTE,所以||=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】假如在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为______.

【解析】结合图形进行推断求解(图略),依据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为QUOTE.答案:QUOTE8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=________.

【解析】因为A,B,C不共线,所以与不共线.又m与,都共线,所以m=0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.某人从A点动身向东走了5米到达B点,然后变更方向沿东北方向走了10QUOTE米到达C点,到达C点后又变更方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量,,;(2)求向量的模.【解析】(1)作出向量,,,如图所示:(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10QUOTE米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD=QUOTE=5QUOTE(米).所以||=5QUOTE【补偿训练】如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为QUOTE的向量共有几个?与向量方向相同且模为3QUOTE的向量共有几个?【解析】(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为QUOTE.因为共有12个小方格,所以满意条件的向量共有24个.(2)易知与向量方向相同且模为3QUOTE的向量共有2个.10.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.求证:=.【证