2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册同步练习-第一章 空间向量与立体几何复习提升

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

本章复习提升

易混易错练

易错点1混淆向量的共线、共面与线段的共线、共面致错

1.（2020海南中学期中）若荏=入梅+口废（入，u£R）,则直线AB与平面CDE的

位置关系为.

2.（2020四川自贡期末）如图，在正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是AB,AD的中

点,判断直线MN与平面BBDD的位置关系,并说明理由.

易错点2忽略定义、定理中的特殊条件致错

3.（2020湖南长郡中学检测）下列命题中正确的是（）

A.若4与b共线，卜与C共线则4与C共线

B.向量43忑共面,即它们所在的直线共面

C.若4〃则存在唯一的实数人，使4db

D.零向量是模为0,方向任意的向量

易错点3忽略向量共线的情况致错

4.（2020河南许昌期末）若向量4=（2,-1,2）,公（-4,2,m）,且4与C的夹角为钝

角,则实数m的取值范围为

5.(2020上海复旦附中期末)已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(入+1,4,3),若荏,AC

的夹角为锐角,则人的取值范围为.

易错点4对空间向量的夹角的概念理解不清致错

6.（2021江苏常州中学期中）如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ZACD=90°,

沿着它的对角线AC将4ACD折起，使AB与CD成60°角,则此时B,D两点间的距

离为.

BCR

易错点5混淆空间角与向量所成角致错

7.（2020山东泰安期末）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方

形，侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDCL底面ABCD,E为PC的中点.

（1）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；

⑵求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值.

8.（2020河南郑州外国语学校期末）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰

梯形,AB〃CD,ZDAB=60°,FC,平面ABCD,AE±BD,CB=CD=CF.

⑴求证:BD,平面AED;

（2）求二面角F-BD-C的余弦值.

思想方法练

一、函数与方程思想在空间向量与立体几何中的应用

1.（2021北京师范大学昌平附属学校期末）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD

是边长为2的正方形,PBJ_BC,PD±CD,且PA=2,E为PD的中点.

⑴求证:PA平面ABCD;

⑵求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；

⑶在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为等?若存在,确定点

F的位置;若不存在,请说明理由.

2.（2021江苏连云港月考）如图,在四棱锥P-ABCD中,PAL平面

ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,ZABC-1200.

（1）求证:平面PAC±平面PBD;

⑵若M为PB的中点,N为线段PC上一动点,求直线MN与平面PAC所成角的正弦

值的取值范围.

p

二、转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用

3.(2021湖北鄂州期末)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1BED中,E,F,M,N分

别是棱AB,AD,AB,AD的中点，点P,Q分别在棱DDbBB1上移动,且

DP=BQ=入(0<X<2).

⑴当人=1时，证明:直线BG〃平面EFPQ;

(2)是否存在入，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出入

的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

第一章空间向量与立体几何

本章复习提升

易混易错练

1.答案ABu平面CDE或AB〃平面CDE

解析由近二人而+口次(入，口£R)及共面向量定理可知向量荏与向量而,无共面,

则直线AB可能在平面CDE内,也可能与平面CDE平行.

易错警示本题容易因混淆了向量共面和直线共面而错答为ABc平面CDE,向量近

与向量方,次共面,直线AB可能在平面CDE内,也可能与平面CDE平行.

2.解析MN〃平面BBDD.理由如下:设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐

标系，

则B(1,1,0),Di(0,0,1),D(0,0,0),Ng,o,i),

.,.而DB=(1,1,0),西二(0,0,1).

设平可BBDD的一个法向量为八=(x,y,z),

则口肾=°。即IL

令x=l,则y=-l,z=0,

.,•^=(1,-1,0)是平面BBDD的一个法向量.

,：MN•八=0,MN。平面BBDD,

.\MN〃平面BBxDiD.

易错警示本题容易因忽视MN。平面BBDD,而直接由丽•八=0,得MN〃平面BBDD,

造成步骤不完整,实际上,当丽•八=0时,MN〃平面BBDD或MNc平面BBDD.

3.P由于零向量与任意向量共线，所以当匕为零向量时,4与C的关系不确定,

故A错;当向量G心c共面时,它们所在的直线不一定共面,故B错;在共线向量

定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数入，使4二人伍否则人可能不存

在，故C错;D显然正确.

易错警示本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为

A,C正确.

4.答案(-8,-4)U(-4,5)

解析与卜的夹角为钝角，

a•^=-8-2+2m<0,解得m<5,

又由a//b,得m=-4,

•••实数m的取值范围为(-8,-4)U(-4,5).

易错警示本题容易忽略两向量方向相反的情形,只由a•fe=-8-2+2m<0,解得m<5.

5.答案(-2,4)U(4,+8)

解析易知荏=(2,1,1),就=(入，2,2).

'-AB,标的夹角为锐角，..•猫•AC=2入+2+2>0,解得人>-2,

又由施〃就得人=4,

•••人的取值范围为(-2,4)U(4,+8),

6.答案应或2

解析由题意得NACD=NBAC=90°,所以就,CD=O,AC•BX=O.

因为折起后AB与CD成60°角，所以<方,方>=60°或<词，而>=120°.

又说二瓶+就+而，

所以

\BD\2=\JA\2+\AC\2+\CD\2+2B1•AC+2BA•~CD+2AC•而=3+2X1X1XCOS<BA,~CD>,

所以当〈方,方>=60°时，|说12=4,此时B,D两点间的距离为2;

当〈盛,方>=120。时，|说|之二2,此时B,D两点间的距离为段.

7.解析取DC的中点0,连接PO,

APDC为正三角形，/.POXDC.

又,/平面PDC±平面ABCD,平面PDCn平面ABCD=DC,PO±平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,

则P（OAya）,A（a，4,O）,C（O,^,O）,D（O,—冽.

⑴设异面直线PA与DE所成的角为。.

••,E为PC的中点,.,.£（（）5,先）,

.".旗=（o,|a,fa）,方=3％等）,.,.两,旗=|aX（-§+faX（与a）=-

赳2,IPA=V2a,IDE=ya,Z.COS<R4,DE>=^g-=-^-=-^."：COS。=1COS<PA,DE>\,

••・异面直线PA与DE所成角的余弦值为当

⑵设直线AP与平面ABCD所成的角为a,

易知平面ABCD的一个法向量八=（0,0,^-a）,

Vsina=|COS<PX,ia>|

•••直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为当

易错警示当两条异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条

异面直线所成的角;当两条异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角是这两

条异面直线所成的角.求解直线和平面所成的角。时，要注意直线的方向向量八

与平面的法向量4的夹角和所求角。之间的关系,线面角的正弦值等于两向量

夹角的余弦值的绝对值.它们的关系是sin9=|cos〈八M>I.

8.解析（1）证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB〃CD,NDAB=60°,

所以NADC=NBCD=120°.

又CB=CD,所以NCDB=30。，

而以NADB=90。，即ADLBD.

又AE±BD,且AEAAD=A,AE,ADc平面AED,

所以BD,平面AED.

⑵连接AC.易得AC±BC.又FC_L平面ABCD,所以CA,CB,CF两两垂直.

以C为坐标原点,CA,CB,CF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系.

不妨设CB=1,

则C(0,0,0),B(0,l,0),D俘，一刊,F(0,0,1),

所以前=俘,-|,0),BF=(0,-1,1).

设平面BDF的一个法向量为(x,y,z),

取z=l,则hA=(V3,1,1).

易知潦=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,

则COS<^,CF>=^g=^4

易知二面角F-BD-C为锐二面角，

所以二面角F-BD-C的余弦值为g.

易错警示应用向量法求出的两个法向量的夹角的大小与二面角的大小可能相等

也可能互补,一般结合实际图形判断所求二面角是钝二面角还是锐二面角.

思想方法练

1.解析(1)证明：•••四边形ABCD为正方形，.•.BC，AB,CD_LAD,

VPBXBC,BC±AB,PBAAB=B,PB,ABc平面PAB,.\BC，平面PAB.

VPAc平面PAB,...PALBC,

同理PAXCD,VBCACD=C,BC,CDc平面ABCD,，PA，平面ABCD.

⑵以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),

.,.AC=(2,2,O),AE=(O,1,1),PC=(2,2,-2),

设平面ACE的一个法向量为(x,y,z),

则4•£=2x+2y=。,取y=i,则想=(f1,T),

(m•AE=y+z=0,

•••3〈”元>舔濡二益£,

•••直线PC与平面ACE所成角的正弦值为今

(3)存在.设点F(2,t,0)(0WtW2),则族=(2,t,0),AP=(0,0,2),

设平啜AF的一个法向量为八=(a,b,c),

则卜•画=2a+tb=o取a=t,则联(t,-2,0),

•••点E到平面PAF的距离Vt>0,

因此当F为线段BC的中点时，点E到平面PAF的距离为争

思想方法空间向量中应用函数与方程思想主要涉及与空间向量运算以及空间角

相关的取值范围问题,一般有两种解决途径：

(1)充分挖掘题设中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解；(2)充

分应用题设中的等量关系构造函数或方程求解.

2.解析(1)证明:取AC的中点0,连接BO,D0,因为AB=BC,所以B0XAC.因为

AD=CD,所以D0XAC,

所以B,0,D三点共线，所以BDXAC.

因为PA_L平面ABCD,BDc平面ABCD,

所以BDXPA.

又因为PAAAC=A,PA,ACu平面PAC,

所以BD,平面PAC.

因为BDc平面PBD,所以平面PAC，平面PBD.

⑵以0为坐标原点,0C,0D所在直线分别为x轴、y轴,过点。且平行于PA的直

线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(8,0,0),P(-百,0,2),B(0,-l,0).

因为M为PB的中点所以M(一表|,1).

设丽=A.PC(O<入Wl),

则N(2W入-a0,2-2人),

所以加=卜体考弓1-2人).

由⑴知BDL平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为八=(0,1,0).

设直线MN与平面PAC所成的角为。,

则sin0=1cos〈丽,心二盘泮]=_______1_,__0__W__入W1,

2,6孔。入+2216(磋注

将直线和平面所成的角的正弦值用含参的式子表示,利用二次函数性质求出最值,

体现了函数思想.

故当人胃时,Sin。取得最大值，为9，当人=1时,sin9取得最小值，为学

所以?Wsin。W第即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为怜％

3.解析(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,D»所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),G(0,2,2),F(1,0,0),当人=1

时,P(o,0,1).

.,.西=(-2,0,2),FP=(~1,0,1),.,.BCI=2FP,/.BC1//FP.

•.•BCQ平面EFPQ,FPc平面EFPQ,.\BCi〃平面EFPQ.

(2)由⑴知E⑵1,0),F(l,0,0),P(0,0,人)，N(l,