正余弦函数的图像和性质第二课时

正余弦函数的图像和性质xyo1-1-2

-

2341.正弦曲线-2

-

o

23x-11y余弦曲线周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T

，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

知：函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

2π。

由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)周期性注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。的最小正周期奇偶性

一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。

一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函数x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称

正弦、余弦函数的奇偶性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…

-1010-1增区间为其值从-1增至1[+2k

,2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k

,2k+

],kZyxo--1234-2-31

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

奇偶性

单调性（单调区间）奇函数偶函数[

+2k

,

+2k],kZ单调递增[

+2k

,

+2k],kZ单调递减[

+2k

,

2k],kZ单调递增[2k

,

2k+

],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间yx01-1

y=sinx(xR)

当x=时，函数值y取得最大值1；当x=时，函数值y取得最小值-1观察下面图象：yx01-1

y=cosx(xR)

当x=时，函数值y取得最大值1；当x=时，函数值y取得最小值-1观察下面图象：因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同正弦曲线的周期---------1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，…与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同余弦曲线的周期---------1-1

正弦、余弦函数的相同性质x6yo--12345-2-3-41

y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41

y

y=cosx(xR)

定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2对称性yx01-1

y=sinx(xR)

观察下面图象：yx01-1

y=cosx(xR)

观察下面图象：

函数

性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数

偶函数在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函数。在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是减函数,(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-

时ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函数,在x∈[2kπ+，2kπ+]上都是减函数.π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例1

不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx

在上是增函数

sin()<sin()即：sin()–sin()>0解：

cos<cos

即：

cos–cos<0又y=cosx

在上是减函数cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

从而

cos()-cos()

<0

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例2

求下列函数的单调区间：

(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函数在