高二选择性必修第二册题型培优系列学生版（人教版）

目录

4.1数列的概念...............................................................................3

题型一数列的定义辨析........................................................................3

题型二根据通项公式写出项....................................................................3

题型三根据项写出通项公式....................................................................4

题型四数列的单调性..........................................................................4

题型五数列的分类............................................................................5

题型六数列的最值............................................................................6

题型七公式法求通项..........................................................................6

4.2.1等差数列的概念...........................................................................7

题型一等差数列的判断........................................................................7

题型二等差数列的基本量......................................................................8

题型三等差数列的中项性质....................................................................10

题型四等差数列的证明........................................................................11

题型五等差数列的单调性......................................................................12

4.2.2等差数列的前〃项和公式..................................................................12

题型一等差数列基本量计算...................................................................12

题型二等差数列前n项和与中项性质...........................................................13

题型三等差数列前n项和的最值................................................................14

题型四等差数列前n项和的性质................................................................15

题型五含有绝对值的求和......................................................................16

4.3等比数列................................................................................17

题型一等比数列的判断或证明.................................................................17

题型二等比数列基本量计算....................................................................18

题型三等比数列中项性质......................................................................19

题型四等比数列的前n项和性质...............................................................20

题型五等比数列的单调性.....................................................................21

题型六等比数列的综合运用...................................................................22

4.4数学归纳法..............................................................................22

题型一增项问题.............................................................................22

题型二等式的证明...........................................................................24

题型三不等式的证明.........................................................................24

题型四数列的证明...........................................................................25

题型五整除问题.............................................................................26

4.5利用递推公式求通项公式常用方法.........................................................26

题型一累加法................................................................................26

题型二累乘法................................................................................27

题型三公式法................................................................................28

题型四构造法................................................................................28

4.6数列求和常用的方法......................................................................29

题型一裂项相消法...........................................................................29

题型二错位相减法...........................................................................30

题型三分组求和法...........................................................................31

题型四倒序相加法...........................................................................33

5.1导数的概念及其意义......................................................................33

题型一平均变化率...........................................................................33

题型二瞬时速度.............................................................................35

题型三某处的导数...........................................................................35

题型四导数的几何意义及应用.................................................................36

5.2导数的运算..............................................................................37

题型一基本函数的求导.......................................................................37

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题型二导数的运算法则.......................................................................38

题型三复合函数的求导.......................................................................39

题型四求导数值.............................................................................39

题型五切线方程.............................................................................40

题型六已知切线方程求参数...................................................................42

5.3.1函数的单调性..........................................................................43

题型一导数与单调性图像问题.................................................................43

题型二无参单调性区间.......................................................................44

题型三已知单调性求参数.....................................................................45

题型四利用单调性比较大小...................................................................47

题型五利用单调性解不等式...................................................................48

5.3.2函数的极值与最大（小）值..............................................................48

题型一极值（点）............................................................................49

题型二己知极值（点）求参数.................................................................49

题型三最值..................................................................................50

题型四己知最值求参数.......................................................................51

题型五极值最值综合运用.....................................................................52

5.4含参函数单调性的分类讨论.................................................................53

题型一导函数有一根.........................................................................53

题型二导函数有两根.........................................................................54

题型三导函数利用判别式求根.................................................................54

5.5导数与零点、不等式等综合运用............................................................55

题型一零点问题.............................................................................55

题型二不等式证明问题.......................................................................56

题型三恒成立问题...........................................................................57

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4.1数列的概念

题型一数列的定义辨析

【例1】（1）（2021•全国高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）

①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列；

②数列｛a〃｝与｛&广』表达同一数列；

③数列一1,1,—1,1,…的通项公式不唯一；

④数列一1,1,3,5,8,…的通项公式为a.=2〃-3,n^N.

A.①④B.②③C.③D.①②

（2）（2021•全国高二课时练习）有下列说法：

①数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7）；

②数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列；

③数列1,3,5,7与数列1,3,5,7,L是同一数列；

④数列0,1,0,1,L是常数列.

其中说法正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

题型二根据通项公式写出项

【例2】（1）（2021•全国高二课时练习）已知数列1,/,",…，...，则JTT是这个数列的（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

（2）（2021♦全国高二专题练习）已知数列一1,',一2,…，（-1）".」，

…，则它的第5项的值为（）

JQ

1

A.-B.——C.D.一

【题型专练】

（3〃-1,n=2^-1,AcN*

1.(2021・全国高二专题练习）己知数列｛4｝的通项公式（cc,,5,则a晶的值是（)

[2联2,〃=2匕左uN

A.70B.28C.20D.16

2.(2021・全国高二课时练习）在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中，x的值是（）

A.19B.20C.21D.22

3（2021•全国高二单元测试）函数以）=八疝2.丫-＜：0$2*-"的正数零点从小到大构成数列：。“｝,则为=

()

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43冗R5冗「17冗祝

A.D.D.

42-4-+2-6

数列2

4.(2021•辽宁锦州•高二期中）的第10项是（)

1S7Q

14„16C超20

A.B-17UD.

151921

题型三根据项写出通项公式

【例3】（2021•甘肃兰州•兰大附中（文））已知。i=l,生=!，/=1，/=；，则数列恳的一个

36I（）

通项公式为q=（)

22,22

A。D.

Wn[n+1)C.2"।2n1

【题型专练】

1.(2021•全国)数列一1,3,_7,15,…的一个通项公式可以是（)

(

A.4=3.2"-1)

C.%=(J严D.g=(_1)叫(2〃_1)

2.(2021•全国)已知数列恳的前4项依次为2,6,12,20,则数列恳”“｝的通项公式可能是()

A.an=4n_2B.an=2"+2(n_1)

21

C.an=n+nD.a„=3"-+2n_1

3.（2021•全国高二课时练习）（多选）一个无穷数列｛aj的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公

式的是（）

A.an-nB.%_6/_⑵_6

_12I6

Cr.a„-丁—n+1D.a,.=,

H2-6rt+ll

题型四数列的单调性

【例4】（1）（2021•海南）（多选）满足下列条件的数列恳q,｝（〃eN*）是递增数列的为（）

I

A.a-B.a=n9+nC.a=\_2nD.=2"+1

nnnn

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|-"'♦2|».”不5,”€、

（2021•河南高二月考）己知数列恳为｝满足/=〈'且数列恳可｝是单调递增数列,

⑵|(/-1)/».w>5,weN*

则f的取值范围是（）

【题型专练】

1.（2021•全国高二期末）己知数列恳“”｝的通项公式是。,,=7竺:，那么这个数列是（）

4/1+2

A.摆动数列B.递减数列C.递增数列D.常数列

2.（2021•全国高二专题练习）（多选）已知数列恳的通项公式为〃,,='二，若数列恳为递减数列,

则实数及的值可能为（）

A.-1B.0C.1D.2

3（2021•全国高二单元测试）设数列恳4｝的通项公式为。,,=〃2+如，若数列恳见｝是递增数列，则实数%的

范围为________.

题型五数列的分类

[例5]（1）（2021•全国高二课时练习）下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

A.I,—,—,—,***B.sin,sin—,sin—,sinyy-,•••

C.-1,—,--,—，…D.1,2,3,4,...,3（）

2a*1

（2）（2021•全国高二专题练习）给出下列数列：①2010~2017年某市普通高中生人数（单位：万人）构成

数列82,93,105,118,132,147,163,180；②无穷多个J\构成数列J\,八，八，C,…；③

-2的1次幕，2次幕，3次幕，4次帚，…构成数列一2,4,-8,16,-32,….

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,常数列是,摆动数列是

【题型专练】

1（2021•全国高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A.1,B.-1,-2,-3,-4

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C.-1,D.1,^2，，…，Jn

74H

2.（2021•全国高二专题练习）给出以下数列：①1,一1,1,-1,…；②2,4,6,8,1000；③8,

8,8,8,•••；④0.8,0a,08',。0,...,0.8上其中，有穷数列为_____；无穷数列为_____；递增数列为______；

递减数列为_____;摆动数列为_____;常数列为______.（填序号）

题型六数列的最值

【例6】（1）（2021•全国高二专题练习）数列｛a,,｝的通项公式为%=4-6〃，则它最小项的值是________.

（2）（2021•全国高二课时练习）已知则数列：的最大项的值为一_

【题型专练】

1.（2021•全国高二课时练习）己知数列｛为｝的通项公式为%=-24+2",则该数列中的数值最大的项

是（）

A.第5项B.第6项

C.第4项或第5项D.第5项或第6项

2.（2021•全国高二专题练习）数列：a,,｝中，,则该数列前wo项中的最大项与最小项分

«-V2O12

别是（）

A.句，悬oB.2，&IC.D.，续0

3.（2021•全国）已知数列〔对｝满足为=1,%-。用="“‘•一、•（〃="）,则的最小值是（）

23

A.«B.“C.1D.2

54

4.（2021•上海市进才中学高二月考）已知数列［4｝的通项公式为a“=〃2—加G=R）,且为严格单调递增

数列，则实数人的取值范围是

题型七公式法求通项

【例7】（1）（2021•全国高二专题练习）已知数列｛aj的前〃项和S=n,则数列｛a.｝的通项公式a.=_

（2）（2021•河南信阳高中高二月考（文））已知数列：/｝的前万项和为S"，©=1，an+l=Sn,则

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若数列\a,,｝,其前〃项的积为占，则可=

(3)(2021•全国高二单元测试)

【题型专练】

1.(2021■全国高二课时练习)己知£是数列｛a,,｝的前〃项和，£=3义2-3",其中〃CN*.求数列｛aj的通

项公式.

2.(2021•全国高二课时练习)已知数列｛a｝满足q+3%+3)3+...+y'a„=^,求数歹ij｛a〃｝的通项公式.

3.(2021•全国高二专题练习)己知数列｛4｝的前〃项和为S”,且满足lo&(£+1)=〃+1,求数列｛a,,｝的

通项公式

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4.2.1等差数列的概念

题型一等差数列的判断

[例1]（1）（2021•全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（）

A.0,0,0,0,0,...B.1,1,111,1111,...

C.-5,—3>—1,1,3,...D.1>2,3,5,8,...

（2）（2021-辽宁抚顺•高二期末）（多选）下列说法错误的有（）

A.若a,b,c成等差数列，贝I/,bz,/成等差数列

B.若a,b,c成等差数列，则log?”，log*,k）g2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列，则a+2,〃+2,c+2成等差数列

D.若a,b,c成等差数列，则乃，2J2。成等差数列

【题型专练】

I.（2021•全国高二专题练习）（多选）下列数列中，是等差数列的是（）

A.1,4,7,10B.1g2,1g4,lg8,1g16

C.25,24,2\22D.10,8,6,4,2

2.（2021•全国高二课时练习）如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5,则下列说法正确的是（）

A.该数列一定是等差数列B.该数列一定不是等差数列

C.该数列不一定是等差数列D.以上结论都不正确

3.（2021•全国高二专题练习）判断下列数列是否为等差数列.

（1）在数列｛”“｝中a“=3"+2；

2

（2）在数列｛a0｝中an=n+n.

题型二等差数列的基本量

【例2-1]（2021•全国高二专题练习）等差数列：an｝中，

（1）已知为=-2,4=3,求的值；

⑵若生=11,a,,-\,d=-2,求〃的值.

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【例2-2]（2021•全国高二课时练习）已知等差数列：a,,｝：3,7,11,15,....

（1）求〔对｝的通项公式.

（2）135,4W+19（/M=N"）是数列！a,,｝中的项吗？如果是，是第几项？

（3）若明,a,（，"1=N"）是数列！a,.｝中的项，那么2a“+3q,是数列：a,,｝中的项吗？如果是，是第几项？

【题型专练】

1.（2021•全国高二专题练习）2000是等差数列4,6,8,…的（）

A.第998项B.第999项C.第1001项D.第1000项

2.（2021•全国）已知｛“1｝,｛瓦｝是两个等差数列，其中ai=3,bi=-3,且so—历0=6,那么aio—Aio的

值为（）

A.-6B.6C.0D.10

3.（2021•苏州市苏州高新区第一中学）在等差数列：cin｝中,

（1）若％=15,《7=39,试判断91是否为此数列中的项.

（2）若生=11，4=5,求.

4.（2021•全国高二课时练习）已知数列：an｝为等差数列，且公差为d.

（1）若/5=8,44）=20,求《05的值；

（2）若生++。4+。5=34,a2a5=52,求公差d.

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5.（2021•全国高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.

6.（2021•全国高二课时练习）已知等差数列｛为｝中满足ai=1,%=虚—4,求通项公式a”.

题型三等差数列的中项性质

（2021•全国高二课时练习）已知a=不:b,b=-百二八，则。，6的等差中项为（）

[例3](1)

B.万C.5D.击

A.Ji

（2）（2021•全国）在等差数列｛»｝中，”3+公=10,则m+“7等于（）

A.5B.8C.10D.14

⑶2021•辽宁阜新•高二期末）在等差数列！a,,｝中，。,+3%+23=120,则加一的值为（）

A.6B.12

C.24D.48

【题型专练】

（2021•全国）已知等差数列｛。”｝的公差为4（分0）,且°3+。6+aio+ai3=32,若am~S,则m为（）

A.12B.8C.6D.4

2.（2021•全国高二课时练习）己知机和2〃的等差中项是4,2机和”的等差中项是5,则机和〃的等差中

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项是（）

A.8B.6C.4.5D.3

3（2021・全国）在等差数列仅“｝中，a\+a4+^7=58,az+«5+a8=44,则④+%+金的值为（）

A.30B.27C.24D.21

题型四等差数列的证明

[例4]（2021•全国高二课时练习）已知数列｛斯｝中，0=?,a“+i='*"fiU（"GM）.

（1）

（1）求证：（卜是等差数列：

\a„-1J

（2）求数列｛〃“｝的通项公式.

【题型专练】

（2。2>全国高二专题练习）在数列所中，…，当论2时，,=e.求证：数列⑷是等差数列.

2.（2021•全国高二专题练习）已知数列恳qj满足：4=2,%=3q+3"“-2",设勿=三二，求证：数

列恳〃｝为等差数列，并求恳公的通项公式.

3.（2021•全国高二课时练习）已知数列恳的通项公式4=pn2+qg<7=R）.

（1）当P和q满足什么条件时，数列恳〃“｝是等差数列？

（2）求证：对任意实数。和9,数列恳”,+「%｝是等差数列.

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题型五等差数列的单调性

[例5]（1）（2021•河北邢台•高三月考）在等差数列恳4｝中，”2=1，3</<5,则为的取值范围是（）

A.（6,11）B.（5,11）C.（6,12）D.（5,10）

（2）（2021•全国高二课时练习）设等差数列｛。,,｝的公差为d,若数列｛2"皿｝为递减数列，则（）

A.J<0B.d>0C.a\d<0D.aid>0

（3）.（2021•全国高二课时练习）首项为-21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围

是（）

A.d>3B.d<—C.3<d<-D.

22y

【题型专练】

1.（2021•辽宁丹东・）己知等差数列恳应｝的公差为d,若恳〃“｝为递增数列，则（）

A.d>0B.d<0C.a[d>0D.axd<0

2.（2021•全国高二课时练习）（多选）已知等差数列恳满足q>0,且q+生+%+…+。皿=0，贝U（）

A.q+。⑼>0B.q+al01<0

C.a3+aw=0D.a5[<a5Q

3.（2021.全国高二课时练习）已知等差数列｛为｝的公差d为整数，首项为13,从第五项开始为负，则d等

于

A.-4B.-3C.-2D.-1

4（2021.全国高二课时练习）已知等差数列｛凡｝是递增数列，且4+生+%共3,共8,则为的取值范

围为___________

4.2.2等差数列的前n项和公式

题型一等差数列基本量计算

【例1】（2021•全国高二课时练习）已知等差数列｛&,｝中，

（1）=士，d=-2，=-15,求〃及4；

（2）%=1,%=-512,5〃=-1022,求d.

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【题型专练】

1.(2021•全国高二课时练习)在等差数列：a,,｝中.

(1)a,=~,a=--,S„=-5,求”和d；

62

(2)q=4,$8=172,求〃8和d;

(3)已知d=2,«„=11,S„=35,求力和〃.

(4)已知$7=42,5„=510,见小=45,求〃.

2.(2021•全国高二专题练习)已知等差数列｛〃〃｝中，

(1)%=:，s4=20,求又；

(2)4=1,a„=-512,S,=-1022,求d.

3.(2021•全国)已知：%｝是等差数列，5“是其前”项和.

(1)若〃2=-1，S[5=75,求〃〃与S“；

(2)若〃]+々2+43+%=124,4〃+a〃・i+〃〃.2+a”.3=156,S„=210,求项数〃.

题型二等差数列前n项和与中项性质

[例2]（1）（2021•全国高二课时练习）在等差数列｛小｝中，若Si（）=120,则0+00的值是（）

A.12B.24

C.36D.48

（2）（2021•全国高二专题练习）设Si是等差数列｛〃”｝的前〃项和，59=18,^-4=30（«>9）,已知S.二336,

则〃的值为（）

A.18B.19C.20D.21

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【题型专练】

1.（2021・湖南高二学业考试）等差数列：%｝中，6+%=6,则［4｝的前9项和等于（）

A.-18B.27C.18D.-27

2.（2021•全国高二课时练习）己知等差数列｛6｝中，d+4+2%&=9，且”“<0，则0。为（）

A.-9B.-11

C.-13D.-15

3.（2021•六盘山高级中学高二月考（理））设等差数列【an｝的前〃项和为S“，若&，4是方程f-6x+5=0

的两根，则&3=（）

A.39B.52C.45D.72

4.（2021•全国高二课时练习）已知等差数列：2｝的前.”项和为S,.若m>1,且+%=0,52„.,=38,

则机=（）

A.38B.20C.10D.9

5.（2021•广东潮阳•高二期末）已知等差数列［4｝的前”项和为S“，«,=1,若%+%+%/=18,且£,=28,

则”的值为（）

A.7B.8C.14D.16

题型三等差数列前n项和的最值

【例3】（1）（2021•全国高二课时练习）己知｛”“｝为等差数列，m+。3+。5=105,。2+久+。6=99,以S,

表示｛““｝的前”项和，则使得&达到最大值的”是（）

A.21B.20C.19D.18

（2）（2021•全国高二课时练习）设等差数列｛如｝的前〃项和为Sn,若。「。8=3,Sll-S8=3,则使加>0的最

小正整数〃的值是（）

A.8B.9C.10D.11

（3）（2021•全国高二单元测试）在等差数列｛。〃｝中，。8>0，04+010<09则数列｛〃"｝的前〃项和S〃中最小

的是（）

A.SAB.SiC.S（）D.Si

【题型专练】

I.（2021•全国高二课时练习）已知｛。“｝是等差数列，小=-26,以+。13=5,当他“｝的前〃项和S,取最小

值时，〃的值为（）

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A.8B.9C.10D.11

2.（2021•全国高二专题练习）已知，为等差数列｛凡｝的前〃项和，S,<0,2S21+S25=0,则，取最小值时，

n的值为（）

A.11B.12C.13D.14

3.（2021•全国高二专题练习）数列｛〃〃｝的前〃项和S.=3〃-2〃2,则当〃...2时，下列不等式成立的是（）

A.Sn>na｝>na„B.Sn>nan>na