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铸造过程计算机模拟讲义

复习-有限差分法

冒国兵

1第1页主要内容1、差分原理及迫近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理2第2页第一节差分原理及迫近误差/差分原理向前差分

（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）1．差分原理3第3页第一节差分原理及迫近误差/差分原理对一阶差分再作一阶差分，所得到称为二阶差分，记为。以向前差分为例，有

（1-5）4第4页第一节差分原理及迫近误差/差分原理

依这类推，任何阶差分都可由其低一阶差分再作一阶差分得到。比如n阶前差分为

（1-6）5第5页第一节差分原理及迫近误差/差分原理函数差分与自变量差分之比，即为差商。

一阶向前差商为

一阶向后差商为

（1-7）（1-8）6第6页第一节差分原理及迫近误差/差分原理一阶中心差商为或（1-9）（1-10）7第7页第一节差分原理及迫近误差/差分原理二阶差商多取中心式，即

当然，在一些情况下也可取向前或向后二阶差商。

（1-11）8第8页第一节差分原理及迫近误差/差分原理多元函数f(x,y,…)差分与差商也能够类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）9第9页第一节差分原理及迫近误差/迫近误差差商与导数之间误差表明差商迫近导数程度，称为迫近误差。由函数Taylor展开，能够得到迫近误差相对于自变量差分（增量）量级，称为用差商代替导数精度，简称为差商精度。（1-15）2．迫近误差10第10页第一节差分原理及迫近误差/迫近误差一阶向后差商也含有一阶精度。（1-16）同理：11第11页第一节差分原理及迫近误差/迫近误差将与Taylor展开式相减可得

可见一阶中心差商含有二阶精度。（1-17）12第12页第一节差分原理及迫近误差/迫近误差这说明二阶中心差商精度也为二阶。

（1-18）将与Taylor展开式相加可得13第13页第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程假如将微分方程中导数用对应差商近似代替，就可得到有限形式差分方程。现以对流方程为例，列出对应差分方程。（2-1）14第14页图2-1差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程15第15页若时间导数用一阶向前差商近似代替，即

空间导数用一阶中心差商近似代替，即则在点对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程16第16页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差按照前面关于迫近误差分析知道，用时间向前差商代替时间导数时误差为,用空间中心差商代替空间导数时误差为因而对流方程与对应差分方程间也存在一个误差：（2-5）17第17页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差一个与时间相关物理问题，还须给定初始条件，从而形成完整初值问题。对流方程初值问题为：对应差分格式：（2-7）（2-8）18第18页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）19第19页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2-11）FTBS格式20第20页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式21第21页第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差FTCS格式截断误差为

FTFS和FTBS格式截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度。22第22页第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性假如当时，差分方程截断误差某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差角度来看，此差分方程是能用来迫近微分方程，通常称这么差分方程和对应微分方程相容。（2-17）23第23页

第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性只有方程相容，定解条件也相容，即和整个问题才相容。

（2-21）24第24页第三节收敛性与稳定性/收敛性当自变量步长趋于零时，要求差分格式（准确）解趋于微分方程定解问题（准确）解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题解情况为差分格式收敛性。，也是微分问题定解区域上一固定点，设差分格式在此点解为,对应微分问题解为，二者之差为（3-1）更明确地说，对差分网格上任意结点称为离散化误差。25第25页第三节收敛性与稳定性/收敛性假如当、时，离散化误差某种范数趋近于零，即则说明此差分格式是收敛，即此差分格式解收敛于对应微分问题解。（3-2）26第26页第三节收敛性与稳定性/稳定性首先介绍一下差分格式依赖区间、决定区域和影响区域。还是以初值问题

为例。先看FTCS格式，如图3-1（a）,p点解依赖于初值线AB段上全部结点初值，故称AB段上全部结点为p点依赖区间。

（3-17）(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS

图3-1差分格式依赖区间27第27页第三节收敛性与稳定性/稳定性(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS

图3-1差分格式依赖区间又，三角形pAB区域内任一结点依赖区间都包含在AB之内，即该区域内任一结点上解都由AB段上一些结点初值所决定，而与AB以外结点初值无关

，故称此三角形区域为AB区间所决定区域。28第28页第三节收敛性与稳定性/稳定性全部受p点函数值影响结点总和为p点影响区域，如图3-2中阴影所表示区域。FTCS格式

(b)FTFS格式

(c)FTBS格式图3-2 差分格式影响区域29第29页第三节收敛性与稳定性/稳定性比如微分问题

其解为零，即若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即（3-18）（3-19）30第30页第三节收敛性与稳定性/稳定性假设在第k层上第j点，因为计算误差得到不妨设k=0,j=0,

即相当于FTBS格式写成（3-20）31第31页第三节收敛性与稳定性/稳定性现分别取和2，列表计算以下：（1）400001161438141163000018383818020000141214001000012120000000010000i-4-3-2-101234n32第32页第三节收敛性与稳定性/稳定性（2）n40000000013000000010200000010010000010000000010000i-4-3-2-10123433第33页第三节收敛性与稳定性/稳定性（3）n400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000I-4-3-2-10123434第34页第三节收敛性与稳定性/稳定性这个例子首先显示了该格式影响区域，另首先还显示了当值不一样时，计算误差所产生影响在数值上有很大不一样。当