6节-高斯求积公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

§6高斯求积公式1第1页

1.普通理论

求积公式含有个待定参数当为等距节点时得到插值求积公式其代数精度最少为次.2第2页为含有普通性，研究带权积分这里为权函数，求积公式为为不依赖于求积系数.为求积节点，适当选取使其含有最高次代数精度3第3页

定理n+1个节点插值型求积公式代数精度不超出2n+1.证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)24第4页

定义若n+1个互异节点插值型求积公式代数精度到达2n+1次，则称此n+1个互异节点为高斯点，此求积公式为高斯型求积公式。5第5页依据定义要使求积公式含有次代数精度，只要对当给定权函数，求出右端积分，则可解得令准确成立，6第6页

例5

解令公式(5.3)对于准确成立，试结构以下积分高斯求积公式：得7第7页

由此解出从而8第8页这么，高斯公式是因为非线性方程组较复杂，通常就极难求解.故普通不经过解方程求，而从分析高斯点特征来结构高斯求积公式.9第9页

定理5是高斯点充分必要条件是以这些节点为零点多项式与任何次数不超出多项式带权正交，

证实即插值型求积公式节点必要性.设则10第10页是高斯点，所以，假如因即有故成立.准确成立，则求积公式对于充分性.用除，记商为余式为即,其中.对于

11第11页因为求积公式是插值型，它对于是准确，即再注意到知从而有12第12页可见求积公式对一切次数不超出多项式均精确成立.所以，为高斯点.定理表明在上带权次正交多项式零点就是求积公式高斯点.有了求积节点，再利用对成立，解此方程则得线性方程.则得到一组关于求积系数13第13页下面讨论高斯求积公式余项.利用在节点埃尔米特插值于是也可直接由插值多项式求出求积系数即14第14页两端乘，并由到积分，则得其中右端第一项积分对次多项式准确成立，故因为由积分中值定理得为关于高斯求积公式稳定性与收敛性，有15第15页

定理6

证实它是次多项式，因而是次多项式，注意到高斯求积公式求积系数全是正.考查故高斯求积公式对于它能准确成立，即有上式右端实际上即等于从而有16第16页由本定理及定理2，则得以下推论.

推论

定理7定理得证.高斯求积公式是稳定.即设则高斯求积公式收敛，17第17页

2高斯-勒让德求积公式

在高斯求积公式中，因为勒让德多项式是区间上正交多项式，所以，勒让德多项式零点就是求积公式高斯点.这类高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.区间为则得公式若取权函数18第18页令它对准确成立，即可定出这么结构出一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.若取零点作为节点结构求积公式再取两个零点结构求积公式19第19页令它对都准确成立，有由此解出三点高斯-勒让德公式形式是表4-7列出了高斯-勒让德求积公式节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式20第20页21第21页这里是最高项系数为1勒让德多项式.

余项22第22页得当时，有它比区间上辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值.当积分区间不是，而是普通区间时，只要做变换23第23页可将化为,对等式右端积分即可使用高斯-勒让德求积公式.这时24第24页

例6用4点()高斯-勒让德求积公式计算

解先将区间化为，依据表4-7中节点及系数值可求得有25第25页

3高斯-切比雪夫求积公式若且取权函数则所建立高斯公式为称为高斯-切比雪夫求积公式.26第26页因为区间上关于权函数正交多项式是切比雪夫多式，所以求积公式高斯点是次切比雪夫多项式零点，即为系数使用时将个节点公式改为个节点，于是高斯-切比雪夫