31-一维波动方程初值问题省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

Autumn

Instructor:Y.Huang

ylhuang@

Room721,ShangxianBuilding

SchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquations第1页§3.1

一维波动方程初值问题无界弦自由振动波传输无界弦受迫振动和齐次化原理半界弦振动和延拓法端点固定有界弦振动解先验预计第2页1.一维波动方程初值问题基本思绪：无界弦自由振动(

)：经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解，代入初始条件得特解（达朗贝尔公式）；无界弦受迫振动(

)：由叠加原理分解为：齐次问题+零初值非齐次问题（由齐次化原理得解）；半界弦振动(

)：以某种方式延拓f

及初始函数，转成无界弦振动问题，求出解后限制在半界区域上。第3页1.1无界弦自由振动在弦微小横振动问题中，假如弦未受到任何外力作用，而且只研究其中一小段，那么在不太长时间里，两端影响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”，则可提出以下定解问题其中分别表示初始位移和初始速度。第4页(1)泛定方程通解由泛定方程可得其特征方程为即特征线满足方程故特征线为作变换则第5页代入泛定方程可得标准型两边依次关于积分，得通解其中F,G为两个可微任意单变量函数。代回原变量，得泛定方程通解第6页(2)定解问题特解——达朗贝尔公式利用初始条件来确定通解中任意函数F和G：则其中为任意一点，c

为常数。故有第7页则得初值问题特解称为达朗贝尔公式(D’Alembert),或无界弦自由振动问题达朗贝尔解.例1.求解初值问题第8页解.此时，故由D’Alembert公式有注：有些例子即使不能直接应用由D’Alembert公式，但可利用与推导D’Alembert公式相同方法求解。例2.求解初值问题第9页解.泛定方程特征方程为即特征线满足方程故特征线为作变换则原方程可化为其通解为第10页即故有即所以可得初值问题特解为利用初始条件可得第11页例3.求解有阻尼波动方程初值问题解.泛定方程含有阻尼项，不能直接用D’Alembert公式，但可将阻尼作用表示为其解中带一个随时间成指数衰减因子。即令为待定常数，于是有第12页代入泛定方程得取原定解问题化为由D’Alembert

公式可得第13页从而原问题解为注：当时，由D’Alembert公式(3.3)定义函数u(x,t)

称为初值问题(3.1)古典解。当不满足该条件时，由公式(3.3)定义函数u(x,t)

常称为初值问题(3.1)广义解。第14页(3)达朗贝尔解适定性Th3.1

假设，则对任意给定T

>

0，初值问题(3.1)D’Alembert解在区域上是适定。证.从D’Alembert

公式推导可见，只要，

D’Alembert解是满足初值问题(3.1)，即D’Alembert解是存在。唯一性.若有含有相同初始条件，则满足零初始条件下初值问题(3.1)(即取

)，进而由D’Alembert

公式可得第15页稳定性.设有两组初始条件且它们相差很小实际上，由D’Alembert公式，有只要记表示对应于这两组初始条件解，要证：在有限时间内，当初始条件有了微小改变时，其解也只有微小改变。第16页例4.求解初值问题其中解.此时下求广义解。由D’Alembert公式，有计算可得其解详细情况以下：第17页(1)当时，有第18页(2)当时，有第19页(3)当时，有注：例4中所以D’Alembert解u(x,t)不是一个古典解，仅是形式解。第20页1.2波传输(1)达朗贝尔解物理意义为方便起见，记显然都是方程解，且首先考查给定t

不一样值，就得到弦在各时刻振动状态。当t=0

时，对应是初始状态；第21页因时间段内波形右移了距离了故a为波移动速度。这种形如解所描述弦振动规律称为右传输波或右行波。经时间之后，表明在(x,u)平面上时刻波形相对于初始时刻波形向右平移了距离伴随时间推移，波形继续向右移动，而形状保持不变。第22页所以，D’Alembert解(3.3)表明初值问题(3.1)解是由和确定左、右行波叠加(其中是一个原函数)。这就是D’Alembert解(3.3)物理意义。这种结构解方法称为行波法。类似地，保持波形F(x)以速度a向左移动，称为左传输波或左行波。注：行波法基于波动特点，引入了坐标变换简化方程；优点：求解方式易于了解，求解波动方程十分方便；缺点：通解不易求，有不足。第23页由D’Alembert

公式得例5.（初始位移引发波动）一根无限长弦初始位移为从静止开始运动，求其在任意时刻位移。解.定解问题为第24页例6.（初始速度引发波动）一根无限长弦初始位移为0,以初始速度开始振动，求其在任意时刻位移。解.定解问题为其中由D’Alembert

公式得第25页其中第26页(2)依赖区域、决定区域、影响区域由D’Alembert

公式可知，初值问题解u在点值由函数在点和值以及函数在区间上值唯一确定。区间称为点依赖区间。第27页在x

轴上任取一区间[c,d],过点(c,0)和(d,0)分别作直线x=c+at

和x=d-at,组成一个三角形区域K。K内任一点(x,t)依赖区间都落在[c,d]内，故u(x,t)在K内任一点(x,t)值都完全由初值函数和在区间[c,d]上值来确定，而与此区间外数据无关。这个区域K称为区间[c,d]决定区域。即在区间[c,d]上给定初值和，就能够确定解在决定区域K内值。第28页过点(c,0)和(d,0)分别作直线x=c-at

和x=d+at。经过t

时刻后，受到区间[c,d]上初值扰动影响区域是此区域内任一点(x,t)依赖区域都全部或有一部分落在[c,d]内，故解在这种点值与初始函数在区间[c,d]上值相关。此区域外任一点依赖区间都不会和区间[c,d]相交，故解在这种点值与初始函数在区间[c,d]上值无关。第29页注：两条直线(常数)对一维波动方程解起着主要作用，这两条直线称为波动方程特征线，所以行波法又称为特征线法。这个区域D

称为区间[c,d]上影响区域。简言之，影响区域是那些使得解值受到区间[c,d]上初始函数值影响点所组成集合。第30页1.3无界弦受迫振动和齐次化原理当弦受到外力f(x,t)

作用而产生振动时，有以下非齐次方程初值问题由线性叠加原理可知，若v(x,t),

w(x,t)

分别为初值问题第31页解，则u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

是初值问题(3.4)解。初值问题(3.5)解可由D’Alembert

公式(3.3)直接给出，所以，为求解(3.4)

,只需求解(3.6)。对问题(3.6),若能设法将非齐次项消除，即将方程变为齐次方程，便可一样由D’Alembert

公式(3.3)得到解。第32页1.3.1冲量原理(齐次化原理)对问题(3.6)中是单位质量弦上所受外力，这是从初始时刻t

=0一直延续到时刻t

连续作用力。由线性叠加原理，可将连续作用力f(x,t)

所引发振动(即初值问题(3.6)解)，视为一系列前后相继瞬时作用力所引发振动叠加，即第33页我们先来分析瞬时作用力所引发振动。从物理角度考虑，力对系统作用对于时间累积是给系统一定冲量。所以在短时间间隔内对系统作用可表示为冲量，这个冲量使得系统动量有一改变量(因是单位质量弦所受外力，故动量改变量在数值上等于速度改变量)。若将时间内得到速度改变量看成是在时刻一瞬间集中得到，而在其余时间则认为没有冲量作用(即没有外力作用)，则在时间内，瞬时力所引发振动定解问题可表示为第34页为便于求解，设则有由上述分析可看出，欲求解问题(3.6),只需求解(3.7)，而即第35页这种用瞬时冲量叠加代替连续作用力来处理定解问题(3.6)方法，称为冲量原理，可归结为以下定理。定理1.(齐次化原理)设若是初值问题(3.7)解，则由积分(3.8)所定义函数w(x,t)是初值问题(3.6)解，其中是参数。证.由(3.8)和含参变量积分求导公式，有

第36页代入(3.6)中泛定方程和定解条件均满足。注：变限积分求导公式若f

(x,y)及其偏导数都在上连续，为定义在[a,b]上其值域含于[c,d]中可微函数，则函数在[a,b]上可微，且第37页1.3.2纯受迫振动解对于问题(3.7),令则有由D’Alembert

公式(3.3)有第38页注:(3.10)被积函数区域为平面上过点(x,t)向下两特征线与s

轴所围三角形区域。代入(3.8)有——纯受迫振动(3.6)解第39页例1.求解初值问题解.此处a

=2,f(x,t)=2x,由(3.10)有第40页1.3.3普通受迫振动解定理2.

假设函数则初值问题(3.4)存在唯一解——一维非齐次波动方程初值问题解Kirchhoff

公式深入地，对于任意T>0,(3.4)解在区域上是稳定。第41页例2.求解初值问题解.第42页命题1.

假设函数且关于变量x

是偶/奇/周期为T

函数，则初值问题(3.4)解u(x,t)关于x

也是偶/奇/周期为T

函数。证.只对奇函数给出证实，其它情形类似可证。设u(x,t)是初值问题(3.4)解，定义w(x,t)=-u(-x,t),则有从而有第43页即w(x,t)满足初值问题(3.4)中泛定方程。又即w(x,t)满足初值问题(3.4)中初始条件。再由定理2关于解唯一性，得w(x,t)=u(x,t)，即-u(-x,t)=u(x,t)，u(x,t)为奇函数。第44页例3.求解初值问题解.由Kirchhoff

公式得第45页1.4半界弦振动和延拓法1.4.1端点固定情况(1)齐次端点条件考虑定解问题为了利用D’Alembert

公式求解，把初始条件和f

延拓到第46页设此时定解问题为则在上，有其中，对有第47页问题是，对x<0,怎样定义或者说，怎样把延拓到x<0,使得u(0,t)=0?由微积分知，若一个连续函数g(x)在上是奇函数，则必有g(0)=0。故要使得解u(x,t)满足u(0,t)=0，只要u(x,t)是

x

奇函数即可。而由命题1知，只要是x

奇函数。为此，只需要对关于x

作奇延拓。第48页经过奇延拓，得到定解问题(3.13)解U(x,t)。问题(3.12)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即第49页当时，有当时，有第50页(2)非齐次端点条件考虑定解问题可令则满足此时端点条件已化为齐次形式,利用前述方法可得解,从而第51页例4.求解初值问题解.把关于x

奇延拓到第52页得到新定解问题解限制在上，得到：当时，有当时，有第53页例5.求解初值问题解.当时，有当时，有注意到此时满足第54页1.4.2端点自由情况(1)齐次端点条件考虑定解问题类似地，因为可把偶延拓，即令第55页则在上是偶函数。由命题1可知，初值问题(3.13)解关于x

是偶函数。问题(3.14)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即当时，有第56页当时，有第57页(2)非齐次端点条件考虑定解问题可令化为齐次端点问题。第58页例6.求解初值问题解.当时，有当时，有第59页1.5端点固定有界弦振动因为波在边界处不停反射，有界弦振动问题相比于无界弦负责得多。考查长为l

端点固定弦振动问题：由前面讨论可知，泛定方程通解为第60页代入初始条件，得解得所