广东省实验中学2023-2024学年高三上学期大湾区数学冲刺卷四（新高考1）试卷含答案解析

广东省实验中学2023-2024高三数学大湾区冲刺卷四数学（新高考I卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（本题5分）（2023·新疆·校联考一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（

）A． B． C． D．2．（本题5分）（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（本题5分）（2024·河南郑州·统考一模）已知，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（本题5分）（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（

）A． B． C． D．5．（本题5分）（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．6．（本题5分）（2023上·辽宁大连·高一期末）生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（

）（参考数据：，）A．14 B．15 C．16 D．177．（本题5分）（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．（本题5分）（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（

）A．2 B． C． D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（本题5分）（2023上·全国·高三专题练习）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效”D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大10．（本题5分）（2023上·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（

）A．等差数列，若，则B．等比数列，若，则C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列11．（本题5分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（

）

A．若平面，则点与点重合B．设，则动点的轨迹长度为C．平面与平面的夹角的余弦值为D．若，则平面截正方体所得截面的面积为12．（本题5分）（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（本题5分）（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知展开式的常数项为60，则实数的值为.14．（本题5分）（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为.15．（本题5分）（2023上·四川成都·高二校联考期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为（写成集合或区间形式）．16．（本题5分）（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知函数，当时，，则实数的取值范围为.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（本题10分）（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.18．（本题12分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.19．（本题12分）（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）如图，是三棱柱的高，，，E是对角线和的交点．(1)证明：//平面；(2)若二面角的正切为，，，，求直线与平面所成角的正弦值．20．（本题12分）（2024上·黑龙江·高二校联考期末）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：月份123456带货金额万元25435445495416542054(1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程，其中，样本相关系数；参考数据：.21．（本题12分）（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围.22．（本题12分）（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．(1)求抛物线的方程及点M的坐标；(2)证明：为定值；(3)过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值．广东省实验中学2023-2024高三数学大湾区冲刺卷四全解全析数学（新高考I卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（本题5分）已知复数满足，其中是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】因为，则，故.故选：B.2．（本题5分）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故选：C3．（本题5分）已知，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可.【详解】向量在向量方向上的投影向量为.故选：D.4．（本题5分）在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义，由，有，利用两角差的正弦公式化简得，由两角差的正切公式结合基本不等式求的最大值，再由倍角公式求的值.【详解】由，有，即，则有，得，，当且仅当时等号成立，是锐角，所以当最大时，，则.故选：B.5．（本题5分）数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可得，再由，都有恒成立，可得对，都有恒成立，令，求出数列的最大项即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以数列是等差数列，首项为，公差为，所以，，又因为，都有恒成立，所以，都有恒成立，令，则，所以=，所以当时，，；当时，，；所以在数列中，第8项最大，且，所以，故的最小值为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键点有2个：一是将已知条件变形得数列是等差数列，首项为，公差为；二是判断出在数列中，第8项最大.6．（本题5分）生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（

）（参考数据：，）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可.【详解】由题意可得，，所以，即，所以，当，时，，即，所以，由给定数据.故选：B7．（本题5分）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，，然后在、中分别运用勾股定理、余弦定理可得，从而可求得球的表面积.【详解】如图，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，所以.取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即.因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是准确画出图形然后根据找到外接球心的位置，最终根据解三角形知识确定球的半径即可顺利求解.8．（本题5分）已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积.【详解】设，则，设，，圆的方程为①，圆：的圆心为，半径为，圆的方程可化为②，由①②得直线的方程为，即，是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大，当到直线的距离为，当且仅当时等号成立.当当到直线的距离取最小值时，，所以.故选：A

【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解.二、多选题（共20分）9．（本题5分）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效”D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大【答案】AD【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；【详解】因为，即，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，故在犯错误的概率不超过的前提下，认为药物有效，故BC错误．而根据统计量的意义，可得其值越大，则判断与有关系的把握程度越大，故D正确.故选：AD．10．（本题5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（

）A．等差数列，若，则B．等比数列，若，则C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列【答案】AC【分析】利用等差数列下标和性质判断A；举例说明判断B；利用等差数列定义判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，由等差数列下标和性质知，A正确；对于B，取，显然数列成等比数列，且，而，B错误；对于C，等差数列的公差为，，，有，因此成等差数列，C正确；对于D，当等比数列的公比，为正偶数时，，显然不成等比数列，D错误.故选：AC11．（本题5分）如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（

）

A．若平面，则点与点重合B．设，则动点的轨迹长度为C．平面与平面的夹角的余弦值为D．若，则平面截正方体所得截面的面积为【答案】ABD【分析】假设点不与重合，根据平面，平面，可得，而，故假设不成立，A正确；根据已知判断出动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，，进而判断选项B；建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角余弦值即可判断选项C；根据已知条件做出图形，即可求出面积判断选项D.【详解】由正方体的性质知，平面，若点不与重合，因为平面，则，与矛盾，故当平面时，点与重合，故A正确；因为，所以点在平面上，因为，所以，则动点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆的，故其长度为，故B正确；对于C，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则得，令，，所以，同理结合得，因为，所以平面与平面的夹角的余弦值为，故C错误；对于D，过的直线分别交的延长线于点，然后再分别连接，交侧棱于点，交侧棱于点，连接和，如图所示：

则得截面为五边形，易求，，故，所以，，所以五边形的面积，故D正确.故选：ABD12．（本题5分）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先根据条件分析出的周期性对称性，再得到的周期性的对称性，最后由求导得到和的周期性和对称性，代入求解即可.【详解】由题意得，所以，两式相减可得①，所以关于点中心对称，又因为为奇函数，所以②，即，所以关于点中心对称，而定义域为，所以，A正确；②式两边对求导可得，所以是偶函数，以替换①中的可得，所以，所以是最小正周期为4的周期函数，因为，所以也是最小正周期为4的周期函数，即，两边求导可得，所以也是最小正周期为4的周期函数，所以不恒成立，B错误；由①得，令，解得，所以③，即关于直线对称，以替换③中的可得，由②可知，所以④，所以，所以C正确；由上可知关于点中心对称，所以又因为是偶函数，所以又因为是最小正周期为4的周期函数，所以，由条件可得，所以，由④知，所以，D正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.第II卷（非选择题）三、填空题（共20分）13．（本题5分）已知展开式的常数项为60，则实数的值为.【答案】【分析】根据二项式定理得到通项公式，进而得到方程，求出，根据常数项得到方程，求出.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，解得.故答案为：14．（本题5分）已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为.【答案】－/【分析】根据三角恒等变换整理的解析式，再结合图象变换求的解析式，最后根据正弦函数的对称性运算求解.【详解】其中，因为把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，当时，，因为，是关于x的方程在内的两根，所以有，因此，故答案为：15．（本题5分）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为（写成集合或区间形式）．【答案】【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围.【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为，，故，所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，①圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径，，即，，方程两边同除以得，，解得，故，②若，，解得，综上，的取值范围为．故答案为：.【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).16．（本题5分）已知函数，当时，，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将不等式等价变形成在上恒成立，构造函数，利用放缩可得，化简后可得，即可求出实数的取值范围.【详解】根据题意可知，由可得，两边同时取对数可得，即在上恒成立，令，则只需即可；又，因为，当且仅当时等号成立，利用可得，当且仅当时等号成立，所以，当有解时等号成立；令，则，即在上单调递增，由可得使得，所以可得，即，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分离参数和放缩法，借助导数研究函数单调性和最值，从而解决恒成立问题求解参数范围.四、解答题（共70分）17．（本题10分）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得，根据最小正周期公式即得.（2）由（1）得，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果.【详解】（1），的最小正周期；（2）由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圆的半径.18．（本题12分）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列为等差数列，即可求出数列的通项公式，将数列的通项公式代入，计算即可得结论；（2）利用数列的通项公式即可得数列的通项公式；（3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值.【详解】（1）当时，，解得；当时，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以数列为等差数列，因为，所以数列的公差为，所以.设，则，因为（常数），所以数列是等差数列；（2）设数列的公比为，结合（1）及已知得，解得，所以；（3）由（1）（2）得，，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.设，则，故，因为，故恒成立，知单调递减，故的最大值为，则，即的取值范围为.19．（本题12分）如图，是三棱柱的高，，，E是对角线和的交点．(1)证明：//平面；(2)若二面角的正切为，，，，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，依题意可得面，进而得到，则有，为的中点，再根据线面平行的判定定理进行证明即可.（2）根据已知条件求出各边长，以，的正方向分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，利用进行求解.【详解】（1）取中点，连接，，连接BO并延长交AC于点M，连接.

因为，所以.因为是三棱柱的高，所以面，又面，所以.因为，面，面，所以面，因为面，所以.因为，所以，故为的中点.因为为的中点，所以，又，平所以平面.（2）由（1）可知，为二面角的平面角，因为且二面角的正切为，所以.在中，，所以，则在中，，因为，且根据最小角定理，，，所以，，所以，，，.如图以，的正方向分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，所以所以设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为；又，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.20．（本题12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：月份123456带货金额万元25435445495416542054(1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程，其中，样本相关系数；参考数据：.【答案】(1)，与相关程度较强，且正相关；(2)，预测2023年10月份该公司的直播带货金额为3443万元.【分析】（1）直接代入相关系数方程即可.（2）求出线性回归方程，再将代入计算即可.【详解】（1）由已知可得.又，所以，则样本相关系数因为样本相关系数，所以与相关程度较强，且正相关.（2）设关于的经验回归方程为，其中，，所以关于的经验回归方程为.把代入得（万元）.所以预测2023年10月份该公司的直播带货金额为3443万元.21．（本题12分）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为