数列的概念第二课时教学设计-（人教A版（2019）选择性必修第二册）

《4.1数列的概念（2）》教学设计

（一）教学内容数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系

（二）教材分析

1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》

2.地位与作用数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常

生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此,

数列在高中数学中占有重要位置

（三）学情分析

1.认知基础：学生对数列的概念有一定的认识

2.认知障碍：学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素

又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，有一定的难度。

（四）教学目标

1.知识目标：

@1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.

②会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.

能力目标：通过递推公式与前n项和公式推导通项公式的过程中培养学生的逻辑推理能力

素养目标：提高学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理能力

（五）教学重难点：

1.重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系

2.难点：用数列的前n项和与通项的关系求通项公式

（六）教学思路与方法

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段

（七）课前准备

多媒体

（A）教学过程

教学环节：新课引入

教学内容师生活动设计意图

一、复习旧知

1.数列｛飙｝的通项公式为斯=3（九一1）（〃+1）,

通过课前小测，进步深化学生对数列

概念的理解和运用。发展学生数学抽

贝〃5=（）

用大约3分钟象、数学运算、数学建模的核心素养。

A.10B.12时间让学生自

C.14D.16行完成，老师

展示答案

B解析：由题意，通项公式为〃〃=3（〃-1）（几

+1),则的=；x(5—1)x(5+1)=12.故选B.

2.由数列前四项：彳3，1,539,…，则通

2o8

项公式%=______.

空【详解】由题意，该数列前四项可变为：

245_6_

，，，，•…，

24816

由此可归纳得到数列的通项公式%=妥〃+2.

教学环节：新知探究

教学内容师生活动设计意图

例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯

引导学生观

基三角形，在图中4个大三角形中，着色的察，找图中三

三角形的个数依次构成一个数列的前4项，角形个数与位

置(序号)的

写出这个数列的通项公式关系，让学生

讨论回答

▲A盒

通过具体问题的思考和分析，帮

助学生认识数列中的递推公式。发展

(1)(2)(3)

学生数学抽象和数学建模的核心素

解：在图中(1)(2)(3)(4)中，着色

养。

三角形个数依次为1,3,9,27

即所求数列的前4项都是3的指数累，指数

为序号减1,因此这个数列的通项公式是

an=3"T

换个角度观察图中的4个图形，可以发

现的=1,且每个图形中的着色三角形都在

下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1

个无色小三角形，于是从第2个图形开始，

每个图形中着色三角形的个数都是前一个图

形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中

的数列的前4项满足

=1,Q，2=。3=3a之。4=3a3

由此猜测，这个数列满足公式观察相邻图形

关系，得出结

|1,n=1

论

⑶…几>2

通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映了。与〃之间的关系，即已

n

知n的值，就可代入通项公式求得该项的值

a;递推关系则是间接反映数列的式子，它是

n

数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关强化递推公式推数列的项，培养学生

运算的素养

系，要求。，需将与之联系的各项依次求出.

n

例5.设数列｛aj的首项为4=1,递推公式为

1

=

anl^-----(n>2),

an-l

写出这个数列的前5项让学生自行递

解析:由题意可知推，得出答案

a\-\

。2=1+2=2,

%

113

=H■—=--

2

115

6/4-1+—=-

3

118

45=1+—=T

。245

二、数列的通项与前〃项和

1.数列｛a｝从第1项起到第n项止的各项之

n通过数列的通项与前n项和的认

识，帮助学生理解

和，称为数列｛a｝的前n项和，记作S,即

nn

S-a+Q+…+Q.如果数列｛Q｝的前n项和S

n\2nnn

与它的序号n之间的对应关系可以用一个式通过具体问题引出通项公式与递推

公式之间的关系

子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n

项和公式.

思考：已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+n,你能

求出求数列｛an｝的通项公式吗？

解：=S1=2

22

an=sn—sn_^=n+n-[(n-1)+(n-1)]=2n(n2

2)

并且n=l时，a1=2x1=2,依然成立。

所以数列通项公式为：册=2n(

2°，兀=1，

强调(1)已知数列｛a｝的前〃项和S,求a，一般

nnn

使用公式a=S-S(〃22),

nnn-\

*

但必须注意它成立的条件(〃22且).

(2)由S-S求得的a,若当”=1时,a的值不

nn-1n1

等于s的值，

1强化已知前n项和求通项，帮助学生

则数列的通项公式应采用分段表示，即课堂掌握。

JSi,7l=1,

斯&Sze>2.

2

练习：已知数列｛a｝的前"项和S=〃+2,求

nn

数列｛a｝的通项公式.

n

解:〃=S=1+2=3,①

11

22

而〃22时,〃=S-S=(n+2)-[(n-l)+2]=2n-l.

nnn-1

②

在②中，当〃=1时,2X1-1=1,故〃不适合②式.

1

.:数列｛。｝的通项公式为斯?

教学环节：课堂练习

1.已知数列5，则该数列通过练习巩固本节所学知识，通过

的第3项等于()学生解决问题，发展学生的数学运

135

A.lB.-C.-D.-算、逻辑推理、直观想象、数学建模

448

让学生自行完的核心素养。

解析:〃2=；〃1+；=1,的=；〃2+告=--

222244成，通过展台

答案:C投影展示

2.已知数列{a},a=ma且

nn-1n

a=3,a=5,则实数m等于()

23

A.OB.12C.2

D.5

解析:由题意，得〃=ma+1,即3=5m+1,解得

23

2

m=".

答案:B

2

3.若数列｛Q｝的通项公式为〃=-2n+25〃,则

nn

数列｛a｝的各项中最大项是()

n

A.第4项B.第5项C.第6项

D.第7项

2

解析:因为an--2n+25n--2(n-+罢，且n

GN*,

所以当"=6时，斯的值最大,即最大项是第6

项.

答案:C

4.已知数列｛a｝的前n项和为S,且

nn

*

S=n-5a+23,"GN，则数列｛a｝的通项公式

nnn

a=()

n

A.3x(|)%B.3x(|)Z

C3xOD.3X(A

解析:当n=l时,〃I=1-5QI+23,解得〃i=4.

当n>2时=〃-5Q〃+23-(〃-1-5Q〃-I+23),

51

即an=-anA+-,

即斯故数列｛斯-1｝是以3为首项1

66

为公比的等比数列，

zr\M-1zr\?1-1

则斯-