3.2.2函数的奇偶性课件高一上学期数学

第3章函数的概念与性质函数的奇偶性湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的概念.2.结合具体函数理解奇函数、偶函数的几何意义.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一奇、偶函数的图象特征1.如果F(x)的图象是以

为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数.2.如果F(x)的图象是以

为中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数.名师点睛奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.y轴原点过关自诊1.如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?2.若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上?提示

f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.提示

若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图象上.

知识点二奇、偶函数的定义偶函数①对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义②

奇函数①对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义是对定义域的要求,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件②

F(-x)=F(x)F(-x)=-F(x)名师点睛对函数奇偶性定义的理解函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个非空子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.过关自诊根据定义,判断下列函数的奇偶性:解

(1)依题意知函数f(x)=-2x5的定义域为R,且对任意的x∈R,有f(-x)=-2(-x)5=2x5,-f(x)=-(-2x5)=2x5,即f(-x)=-f(x).所以函数f(x)=-2x5是奇函数.(2)依题意知函数g(x)=x4+2的定义域为R,且对任意的x∈R,有g(-x)=(-x)4+2=x4+2,即g(-x)=g(x).所以函数g(x)=x4+2是偶函数.(4)根据定义知,如果一个函数是奇函数或偶函数,它的定义域是关于原点对称的.重难探究·能力素养速提升探究点一判断函数的奇偶性【例1】

判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=x3-2x;解

函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解

函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=±f(1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.解

函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.规律方法

判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:变式训练1判断下列函数的奇偶性:(4)f(x)=|x+2|+|x-2|.即函数的定义域为[-1,1),不关于原点对称,既不是奇函数也不是偶函数.解

f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.探究点二利用函数的奇偶性求解析式【例2】

已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解

(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解

当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,规律方法

利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.探究点三奇、偶函数性质的应用1.奇、偶函数的图象性质【例3】

已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解

(1)由题意作出函数图象如图,(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).规律方法

由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题.变式训练2已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(

)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2C解析

由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.2.利用奇、偶函数的性质求解析式中的参数【例4】

若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=

.

规律方法

利用奇偶性求参数的方法(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.变式训练3函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m=

.

±1解析

根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.学以致用·随堂检测促达标123451.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(

)A.-1 B.1

C.0 D.2A解析

因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.123452.(多选题)[2024甘肃酒泉高一统考期末]设函数f(x)=x|x|-2x,则f(x)(

)A.是奇函数 B.是偶函数C.在区间(-1,1)上单调递减 D.在区间(-∞,-1)上单调递减AC解析

函数f(x)=x|x|-2x的定义域为R,f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),则f(x)是奇函数,不是偶函数,故A正确,B错误;对于C,当-1<x≤0时,f(x)=-x2-2x在区间(-1,0]上单调递减,f(0)=0,当0≤x<1时,f(x)=x2-2x在区间[0,1)上单调递减,f(0)=0,因此f(x)在区间(-1,1)上单调递减,故C正确;对于D,当x<-1时,f(x)=-x2-2x在区间(-∞,-1)上单调递增,故D错误.故选AC.12345C123454.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=

.

4解析

f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.123455.已