利用图形计算器研究复合函数的单调性教案

-PAGE1-利用图形计算器研究复合函数的单调性教案海口市琼山中学冯芳弟一、复习引入师：我们已经学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数及其性质，那么如何判断这些函数的单调性？生：图象法和定义法。问题1：指出下列函数的单调性。（1）；（2）；（3）。生：函数在上是增函数；函数在上是增函数；函数在上是增函数。问题2：讨论函数的单调性。师：函数是否是指数函数？生：不是。师：能否用学习过的图象法或定义法判断此函数的单调性？生：……………师：显然利用常规的尺规作图很难作出它们的图象，用定义法作差后也很难进行因式分解比较大小。下面借助我们手中的图形计算器画出它们的图象，并观察它们具有怎样的单调性。生：函数图象上升说明在定义域内是增函数。师：我们来观察函数的结构特征：指数位置是一个一次函数，若把它当一个整体作为原函数的一个变量，则原函数就是一个指数函数。显然函数可以看成是由一个一次函数和一个指数函数复合而成的，这不是我们学过的基本初等函数。今天我们就来研究此类函数的单调性。二、新课讲解师：指出构成函数的两个初等函数和的定义域和值域及单调性。生：函数的定义域为，值域为，在定义域内单调递增。函数的定义域为，值域为，在定义域内也单调递增。师：函数的值域与函数的定义域有何关系？生：函数的值域与函数的定义域相同。问题3：观察函数的结构特征并讨论它的单调性。生：若令，则，显然函数可以看成是由函数和对数函数复合而成的。利用图形计算器作出函数的图象，根据图象可知函数在定义内是增函数。师：指出构成函数的两个初等函数和的定义域和值域及单调性。生：函数的定义域为，值域为，在定义域内单调递增。函数的定义域为，值域为，在定义域内也单调递增。师：函数的值域与函数的定义域有何关系？生：函数的值域是函数的定义域的子集。师：上述两个函数、都是由两个初等函数复合而成的，象这样由两个基本初等函数复合而成的函数我们就叫做复合函数。一般地，设的定义域为A，的值域为B，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，通常把叫做内层函数，叫做外层函数，叫做中间变量。例如：复合函数的内层函数是，外层函数是。师：指出复合函数的内层函数与外层函数。生：复合函数的内层函数是，外层函数是。师：为便于观察，把对两个函数的分析归纳为如下表格：复合函数内层函数内层函数单调性外层函数外层函数单调性复合函数单调性递增递增递增递增递增递增师：根据上表，你能得到复合函数的单调性与它们的内、外层函数单调性之间的什么关系？生：当复合函数的内层函数是增函数，外层函数也是增函数时，复合函数是增函数；性质1：已知函数。若在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，那么，原复合函数在区间上是增函数。师：今天这节课主要以探究为主，课后回去大家用定义证明此性质。问题4：指出函数的结构特征并讨论它的单调性。生：函数是由与构成的复合函数，其中内层函数在定上是减函数，此时函数的值域为，而外层函数在上是增函数。生：利用图形计算器作出函数的图象，根据图象可知函数在上是减函数。师：当复合函数的内层函数是减函数，外层函数是增函数时，复合函数是减函数。请同学们仿照性质1给出一般性的结论。性质2：已知函数。若在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，那么，原复合函数在区间上是减函数。问题5：指出函数的结构特征并讨论它的单调性。生：函数是由与构成的一个复合函数，其中对数函数在定义域上是减函数，而一次函数在上是减函数。师：请大家利用图形计算器画出函数的图象，并指出函数的单调区间。生：函数在上单调递增。师：由于图形计算器的窗口太小，我们借助几何画板作出函数的图象如图。从图中我们可以看到，函数的图象向右是无限靠近直线而不会与它相交。所以函数的单调递增区间为。为什么会出现这种情况呢？生：对数中的真数要大于零才能使对数有意义，只有才能保证对数的真数大于零。师：非常好。我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了。所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做？生：求函数的定义域。师：请一位同学把这道题的解法完整的说一下。生：设，。由解得原复合函数的定义域为。当时，为减函数，此时，它的值域为，而在上为减函数，所以是复合函数的单调增区间。师：函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？生：函数的单调区间是函数的定义域相同。师：当复合函数的内层函数是减函数，外层函数是减函数时，复合函数是增函数；性质3：已知函数。若在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，那么，原复合函数在区间上是增函数。问题6：指出函数的结构特征并讨论它的单调性。生：设，。由解得原复合函数的定义域为。当时，为增函数，此时，它的值域为，而在上为减函数，所以是复合函数的单调减区间。师：请同学们利用图形计算器画出函数的图象验证上述结论。师：当复合函数的内层函数是增函数，外层函数也是减函数时，复合函数是减函数。性质4：已知函数。若在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，那么，原复合函数在区间上是减函数。师：为了记忆方便，我们把四个性质总结成一个图表：若则增函数增函数增函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数师：同学们能上表中找出一些规律吗？生：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数是减函数。师：；（口诀：“同增异减”）例求函数的单调区间。师：请同学们指出函数的内层函数与外层函数及其原函数的定义域。生：内层函数为，外层函数为，原函数的定义域为R。师：利用图形计算器画出函数的图象，并指出函数的单调区间。生；是原函数的单调递减区间；是原函数的单调递增区间。师：为什么这个函数会有两个单调区间？生：因为内层函数是一个二次函数，它在内有两个单调区间，分别在对称轴两侧。师：请一位同学把这道题的解法完整的说一下。生：设，。当时，为减函数，而为增函数，所以是复合函数的单调减区间；当时，为增函数，而为增函数，所以是复合函数的单调增区间。师：函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？生：函数的单调区间是函数的定义域的子集。练习求函数的单调区间。师：请同学们指出函数的内层函数与外层函数，如何求原函数的定义域？生：复合函数的内层函数为，外层函数为。生：利用图形计算器画出函数的图象，易知函数的图象与轴的交点坐标为和，要使恒成立，只需或即可。解：设，。由解得原复合函数的定义域为。当时，为减函数，而为增函数，所以是复合函数的单调减区间；当时，为增函数，而为增函数，所以是复合函数的单调增区间。师：请同学们利用图形计算器画出函数的图象验证上述结论。师：函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？生：函数的单调区间是函数的定义域的子集。三、课时小结本节课学习了复合函数的单调性。大家注意：单调区间必须