高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其意义教材分析与教学建议（图片版含答案）

一元函数的导数及其应用

教材分析与教学建议

各位老师好！很荣幸有这次机会和老师们在一块交流学习。我发言的题目是:

选择性必修第二册第5章《一元函数的导数及其应用》的教材分析及教学建议,

不当之处，还望各位老师批评指正。我将从以下4个方面和大家交流分享：

1、本章地位及作用；2、本章编写特点；3、本章内容介绍及主要变化（引例、

概念、公式、例题的表述、习题等）；4、本章思考与个人教学建议。

首先，谈一下本章的地位和作用。导数是进一步学习数学和其他自然学科的

基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。通过本章的学习，重点提升学生的

数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理的基本素养。本章内容较

为丰富，主栗包含：导数的概念与意义、导数的运算以及导数在研究函数中的应

用。本章是对函数性质进一步的研究、补充和完善，通过对本章的学习，学生将

理解导数是一种借助极限的运算，会更好的认识函数的单调性、极值最值等基本

性质。同时，将导数运用到不等式、数列等体系中，让学生认识到导数的地位和

作用。在解决函数的单调性和极值最值时，要让学生进一步体会并掌握分类讨论、

数形结合等重要数学思想。这也正是本章的重难点，要有针对性的强化练习。

其次，说一下本章的编写特点。

1.注重了内容的整体性，体现了内容之间的有机衔接,使本章的整体性更强。

比如5.1导数的概念及其意义这一节，课本通过高台跳水运动员的速度、抛物线

/。）=好切线的斜率这两个典型的变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变

化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法结果

形式上的共同特征，并用这种方法研究一般函数y=于（x）从平均变化率过渡到瞬

时变化率的过程，最终抽象出导数的概念。在此基础上，通过研究从曲线的割线

过渡到切线、从割线的斜率过渡到切线斜率的过程，给出导数的几何意义，让学

生再一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。

2.强调了“逼近”过程，不断渗透极限思想。这是和老教材相比较改动比较

大的地方。由于高中阶段不专门讲授极限的具体知识，因此极限的思想和方法必

须结合具体内容的展开加以渗透。教科书抓住一切机会渗透极限思想，把“体会

极限思想”落到实处。这些都是原教材不具备的。例如，在求高台跳水运动员在

t=1时的瞬时速度时，通过列表，对于At的一系列值，给出对应的平均速度丫的

值，观察当At趋近于0时，平均速度G变化趋势，直观感受极限过程，体会极

限思想：

公探究

乘时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在，=1S时的瞬

时速度吗？

设运动员在/0时刻附近某一时间段内的平均速度是V.

可以想象.如果不断缩短这一时间段的尺度.那么U将越来

越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.

当&<0时.在时间段［1+Ar.1］内当Af»时.在时间段［1.1+Af］内

-/|(1)-A(14-A/)

as-------------------=----------------------

1一(1+&)

口-9(a)'+5&Z_-1.9-5Z

-Z位

=-4.9N—5=—4.9N—5

当avo时，在时间段口+1,1］内当7>0时.在时间段［1.1+1］内

-0.01-4.9510.01-5.049

-0.001-4・99510.001一5・0049

-0.0001-4.999510.0001-5.00049

-0.00001一4.9999510.00001-5.000019

-0.000001一4.999510.000001-5.0000049

••••••・・・♦・・

◎观察

给出&更多的值.利用计算工具计算对应的平均速度b的值.当N无限趋近于

0时，平均速度E有什么变化趋势？

我们发现.当△/无限趋近于0,即无论，从小于I的一边，还是从大于I的一边无限

趋近于1时.平均速度V都无限趋近于一5.

进一步地，从解析式的角度观察平均速度S的变化趋势，从解析式的角度,

更为理性地感受极限过程，体会极限思想：

事实上，由己=然言仁誓=一4.9&-5可以发现，当2无限趋近于0时,

（1十-1

-4.91也无限趋近于0.所以。无限趋近于一5.这与前面得到的结论一致.数学中,我

Afl4-A/\—八《1〉

们把一5叫做“当4无限趋近于。时，V/黑'的极限”.记为

从物理的角度看，当时间间隔|加|无限趋近于。时，平均速度看就无限趋近于，=1

时的瞬时速度.因此，运动员在［=1S时的瞬时速度u（D=-5m/s.

相比之下，老教材对极限的讲解略加肤浅，前期没有铺垫就给出了极限的表

达式：

我们发现，当△，趋近于O时，即无论2从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于

2时.平均速度都趋近于一个确定的值一13.1.

从物理的角度看，时间间隔171无限变小时，平均速度切就无

限趋近于』=2时的瞬时速度.因此，运动员在£=2时的瞬时速度是

O我们称确

—13.1m/s.定便—13.1是

为了表述方便，我们用/K2+&）一

lim五（2+”）一九（­=一13.1O当2趟.近于O时

的极限.

表示“当上=2,趋近于。时，平均速度可趋近于确定值―13.1”.

接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，求运动员在其他时

刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后将上述过程与方法一般

化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与

方法的认识：

K?)思考

(1)求运动员在，=2s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻/o的瞬时速度？

与求高台跳水运动员在t=1时的瞬时速度的研究过程和方法一样，对于抛物

线/(%)=必在点P(1,1)处的斜率，教科书也做类似处理，帮助学生感受极限

过程，体会极限思想：

引入导数概念后，教科书在巩固导数概念的3个例题中，直接利用定义求函

数在一点处的导数；在5.2利用导函数的定义求6个常用的具体函数的导函数,

通过这些具体实例渗透极限思想：

5.2.1基本初等函数的导数

根据导致的定义，求函数＞=的导数.就是求出当Ar~O时.好无限趋近的那

个定值.下面我们求几个常用函敷的导数.

因为

若＞=r（图5.2-1）表示路程关于时间的函数，则可以

解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.

若y-h（图5.2-2）表示路程关于时间的函数，则y'=l可以

解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.

因为

Ay_/《N+AX》一/《工〉_Cr+Ax）*一

2AxAx

尸+2工・+Cdr）’一

=2工+Ar•

所以

y•Iim+AJT

A*-*＜t\T

表示函数jy0M的图象（图5.2-3）上点《工，》）处切

线的斜率为2工.说明随着了的变化，切线的斜率也在变化.另一方

面,从导数作为函数在二点的瞬时变化率来看，/=一表明，当

hV。时.随着工的增加，1/1越来越小，＞=工2减少得越来越慢,

当工＞0时，随着工的增加，1/1域来殖大.y=H2增加得越来越

快.若丁一工"表示路程关于时间的函数，则/=2工可以解存为某物

体做变速运动，它在时刻工的腕时速度为2x.

因为

—八工+Ar)—/XJT)_(3+Ax一工'

ArAxAr

工―2•AX+3H・&尸+(梃尸一工s

一Ar

，-3xf4-3x•Ar+(Ar〉”.

所以

yflim竽=Lm[3—+3工•^x4-(Ar)z]=3xy.

AA,QCJkJZTA»-H)

J=3xZ表示函数＞=工3的图象（图5.2Y）上点Cz,y）处切

3.从具体到抽象，适度进行“规则”的抽象概括。由于高中阶段不专门介绍

极限的有关知识，因此不可能通过严格的逻辑推理的方式，推导出基本初等函数

的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，以及导数与函数单调

性之间关系等公式与“规贝Vo这样，如何以适当的方式给出这些“规则”，就

成了教科书需栗着重思考的问题之一。教科书基于高中学生的认知规律，结合“规

则”的具体特点，从具体实例出发，从具体到抽象、从特殊到一般地给出“规则”，

使得过程自然、合理，不突兀。例如，在“基本初等函数的导数公式”中，首

先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，在此基础上，从特殊到一般地

给出基本初等函数的导数公式：

函数y=/（1）=C的导数6.函Uy-/《工）一的导致

因为

2.函数N=f（i）=j的导数

竺/(1+3J工+%—G

N2Ax

3.函数、=/（工）=工2的导数

4.函数y=/Cr）=z'的导数

1

5.函数v=/Cr>=」的导数Zr+Ax+Zr

工所以y-lim竽=lim\】——=—^=..

2-0Ax+G2/x

又如，在“导数的四则运算法则”中，对于两个可导函数和、差的导数运算

法则，设计了从特殊到一般得出法则的过程：

合探究

设/（±）=工2,g（H）=H,计算［/（H）+g（Z）］'与［/（工）-g（7）了.它们与

/'（工）和g'（Z）有什么关系？再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗？由此你能想

到什么？

E/（j-）+g（x）］z=/'（l）+/（工）.

同样地.对于上述函数,［/（1）-=

一般地•对于两个函数/Cr）和g（.r）的和（或差）的导数.我们有如下法则：

再如，在“简单复合函数的导数”中，从两个角度研究,=5抽2%的导数:

先从两个角度研究具体函数jfin2x:

•第一个角度，对sin2x进行恒等变形，得产2sinxcosx,进而直接利用,

两个函数的积的导数运算法则求出它的导数必'；"

•第二个角度，利用函数户sin2x是由产sinu,u=2x复合而成的，猜想《

函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu,u=2x的导数有关，进而求出“

并考察yx'，y»',Ux，之间的关系，得到yx'-yjuj：e

再从特殊到一般，给出复合函数的求导法则：

一般地,对于由函数、=/(〃)和〃=«(])复合而成的函数、=/(«(]))・它的导数

与函数＞=/(〃)，〃==«(/)的导数间的关系为

tit

y^=y.,“八

即y对l的导数等于y对“的导数与“对工的导数的乘积.

4.加强了形与数的融合，意在培养学生直观想象素养。由于高中阶段没有

建立完整的微积分知识体系，因此，只能通过直观的方式，尤其是几何直观的方

式，认识微积分的一些重要思想方法，“获得”一些“法则”。本章注重形与数

的融合，帮助学生利用图形直观，理解一些重栗的思想方法和“法则”。例如，

通过研究导数的几何意义，从“形”的角度加深对导数概念的理解：

观察函数1y=/《])的图象(图5.1-3).平

均变化率

Ay/(Ho+&r)­/(十。)

Ar-M

表示什么？瞬时变化率

/，(j*o)=[im•=lim/(Xo+Ar)—/(Xp)

/X-T*Ar

表示什么？

进一步地，通过将点P附近的曲线不断放大，发现点P附近的曲线越来越接

近于直线，即在点P附近，曲线y=/(x)可以用点P处的切线PT近似代替，从

而帮助学生初步感受微积分的重要思想方法——以直代曲

继续观察图5.1-4,可以发现点P.处的切线PnT比任

何一条割线更贴近点P“附近的曲线.进一步地,利用信息

❶数学上常用商单的

技术工具将点P。附近的曲线不断放大(如图5.1-5),可以对象*复杂的对配.例

发现点P,附近的曲线越来越接近于直线.因此.在点P附如.用有压敷3.1116近

似代检无理数x.iXX.

近•曲线U)可以用点Po处的切线P0T近似代替.•

5.强调利用导数研究函数的性质。单调性是函数最主栗的性质，也是研究函

数其他性质的基础。课本从具体实例抽象概括出函数/(x)的单调性与导函数

/'(x)的正负之间关系，进而用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，

并讨论一些函数的增减快慢问题。具体体现为：

1,采用了从具体到抽象，从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函

数极值点特征，并利用函数导数的正负与函数单调性的关系，用导数求函数的极

值、最值和实际问题的最值，并综合研究函数的图像和性质。

2,注意提炼研究函数性质的通性通法。例如，总结出利用导数研究函数单

调性、极值、最值的步骤。

第三，说一下本章的内容和主要变化。

1.本章知识结构框图新旧教材对比

新教材知识结构如下：

导数的概念导数在研究函

导数的运算

数中的应用

j及其意义

导基

导

简

导

导

最

函

函

数

本

数

数

单

数

数

数

大

公

初

的

的

复

的

的

(的

式

等

概

几

四

合

单

极

小

函

念

何

则

函

调

)值

数

意

运

数

性

与

值

的

义

算

的

法

导

则

数

言教不不知识结眄如「:

2.对本章的课时安排如下:

学习内容学习要求课时安排

导数的概念及其意义理解4

第五章导数的运算掌握3

导数及其应用导数在研究函数中的应用掌握5

导数的综合应用掌握2

小结2

背景

平均速度~瞬时速度

导数的概念*导数的几何意义

割线斜率一切线斜率

匕有

在必修笫一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函

数单调性等知识定性地研究了一次函数，指数函数、对数函

数增长速度的差异,知道“对数增长”是越来越慢的.“指

数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地,能否精确定量

地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.

变化率与导致

对于5.1.1变化率问题这一节，新教材用高台跳水和抛物线切线的斜率这两

个例子，结合“两个思考、两个观察、四个探究”深入浅出地让学生弄清平均速

度与瞬时速度的关系、割线与切线的关系，体会极限思想，感受极限力量；而老

教材只是通过两个问题给出了平均变化率的概念，之后对平均变化率取极限得出

导数的概念。相比较来说新教材对探究对象的研究更具体，更加符合学生的认知

规律。另外，新教材在第61页和64页增加了5道练习，意在让学生会用极限表

达式求瞬时速度和切线的斜率，而老教材是没有相应的练习的。

练习

1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5S时的瞬时速度.

2-火箭发射rs后，其高度(单位；m)为八")=。.》'.求；

(2)发豺后第1。s时,火箭爬高的瞬时速度.

3一一个小球从5m的高处自由下落,其运动方程为y")=-4.9r'.求t=lB时小球的瞬时速度.

练习

1.你认为应该怎样定义做物线〃工)一工'在息(x..X.1)处的切线，试求施物战"幻=/在点(-1.D

处切就的斜拿.

2,求施密线/(工)=*'+】在点(0.1)处的切线方程.

给出了函数y=/(x)在x=x()处的导数概念，与上一节衔接自然；在分析例2、

例3两个实际问题的基础上，通过比较、综合，舍弃背景，从思想方法和表达形

式上归纳出共性，并用于描述一般函数y=于(x)从平均变化率过渡到瞬时变化率

的过程，进而抽象出导数的概念一导数是瞬时变化率的数学表达。对于导数的

几何意义，新教材先设置了一个思考栏目，意在利用图像直观探究导数的几何意

义，而老教材是没有的；关于切线的定义，新教材仍从“形”的角度，多次、反

复经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，感受“运动变化的观点”“在局部小

范围内以不变代变、以直代曲”等基本思想，并体会“极限思想”。与新教材相

比，老教材对上述基本思想体现的不够直接、完美：

，思考

观察的改《广〉的图象(图5.1

均受化隼

表示什么？琢时变化率

利M付居机火工具.

演示915.14+P.P的动

后充化跳泉,fit一做.4

T!

与同JH2中她初线的割线和切线之间的关系类似，容易如逋,例线汽P的斜率

了一小

记Atfr..当点P沿着曲线yo/Gr）无限趋近于点九时.即当Ar7时，A无限型

Bif*元■效的导数及其再用07

第一章导数及其应用第一漳

如图1.1-2,当点P”（H“./（，“））（”=1，2,3,4）沿着曲线

/行）趋近于点/＞（“，，,/（・“））时，割线•PP”的变化趋势是什么？

利用信息技

术工具，演示困

1.1-2中PP”的

动态变化效果.

做一做，看一看！

本节例题和习题变化如下:

内容原教材（道）新教材（道）

例题34

课后练习题313

课后习题912

思考栏目13

探究栏目24

观察与归纳栏目12

新教材在在保留并改进原题的同时，也增加了像习题第5、7题等，意在考

察导数的几何意义和瞬时变化率的表达：

5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中国交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行

独.与以上事件窈合得最好的图象是（）.

电学校的跑离4距学校的走离更学校的距离距学校的电离

(A),,(B)(O(D)

7.求曲线y=}/-2在点（1,一方）处的切线的懊斜角.

4.5.2导数的运算

本节知识结构框图：

重点：求简单函数的导数

难点：求简单复合函数的导数

对于5.2.1基本初等函数的导数这一节，虽然增加了的导数求解，也就是由

旧教材5个常用函数的导数增加到了6个常用函数的导数，但学习要求没有任何

变化，仍然是让学生进一步的理解导数的概念，理解求函数的导数是一种借助于

极限的运算体会极限思想o但教学时要有意识的将导数和导数的几何意义联系起

来，使学生深刻认识导数的内涵。另外，将通货膨胀率问题调整到了第一课时，

同时增加了1个具体的求函数导数的例题。课后也有了配套的练习题，这样的调

整使学习目标更加明确，避免了旧教材的杂乱无章：

例1求下列函数的导数:

21.求下列函数的导数:

3

(1)y=^;(2)j/=log2^.⑴V=占；(2)

(3))=3工；

(1)•/=(金；-__32%-;y.

解：（4）j=;⑸y=log4N；⑹y=loga:.

o±1

12.求下列函数在给定点的导数：

（2）y—(logx)5

zx\n2*(1)y=x在2=3处的导数；

9

(2)y=ln2在n=w处的导数；

(3)j/=sinx在z=27r处的导数；

(4)»=］在l=0处的导数.

3.求余弦曲线kCOSH在点管，0）处的切线方程.

4-求曲线在点（4,2）处的切线方程.

对于5.2.2导数的四则运算法则这一节，新教材以上节例2为引导，通过“探

究”栏目，采用由特殊到一般的方法，先通过具体函数的求导使学生对运算法则

有一个直观的认识，然后再一般化的给出函数和、差的导数，从具体到抽象，适

度进行“规则”的抽象概括，从而降低了运算法则的抽象性，使得过程自然、合

理，不突兀：

探究

设/'（2）=工2,g（H）=H,计算"（N）+g（N）了与E/（X）—g（X）JZ,它们与

f'（z）和g'（H）有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想

到什么？

同样地，对于函数积、商的导数的探究，也设置了一个思考题目，探究的过

程也是完全一样的。

设”工）=工2,g（x）=x,计算"（H）g（z）了与f'（z）g'（z）,它们是否相等？

/（工）与g（z）商的导数是否等于它们导数的商呢？

而老教材仅是简单通过一句话生硬地给出了求导法则:

g（E）=l.05,乘积的导数•下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、

乘、除的求导问题.

导数运算法则

1.[/（工）士g（i）1'=/（/）士g’（z）;

2.g（/）1'=r（1）8（7）+/'（]）『（1）；

3.源晦募言）.

Lg（z）」[g（z）1z...

从法则2可以得出一

[c/（J7）]，=?/（^）+c/（JC）=c/，（J7）,

也就是说，常数与里数咆积的导数」色于常磬如数的导数]艮1

'---------1'艮

和掌握：

例3求下列函数的导数：

(1)y=JT3—工+3；(2)y—2,^+cosx.

例4求下列函数的导数：

2sinx

(1)y=2''e';(2)y=—•

-nr

2,求下列函数在给定点的导效】

（1）yqjr"在工=3处的导致;

对于5.2.3简单复合函数的导数这一节来说，新旧教材都先通过“思考”栏

目引入，但函数表达式由“y=ln(x+2)”改为“y=ln(2x—1))"，这样学生更

容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数

通过加减乘除运算得到的。更为重要的是，新教材通过细致研究y=sin2x的导

数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则，而老教材直接给出了求导公式。

相比之下，新教材的设计过程更自然、合理，不突兀，符合学生的认知规律：

如何求复合函数的导数窕？我们先来研究y="的导数.

一个合理的猜想是，函数.y=sin27的导数一定与函数y=sinu.”=21的导数有关.

下面我们就来研究这种关系.

以y：表示y对工的导数，y：表示》对U的导数，/表示对工的导数.一方面，

2x)，=(2sinJTCDS工)’

=2[(sinJCY•cosx+sinx•(cosJT〉']

=2[cosx•cosx+sinx♦(—sinx)]

=2(COS2X-sin1x)

=2cos2x.

另一方面，》：=(sinu)'=cosu,u；=(2x)'=2.

可以发现,4=2cos2JT=COSU•2=yi•ut.

一般地，对于由函数》=/3)和"=8(工)复合而成的函数3=/(g(H)),它的导数

与函数y=/(u),u=g(H)的导数间的关系为

/1I/

即y对工的导数等于y对u的导致与“对上的导致的乘积.

一般地.对于两个色数k/(“)和”=g(z),如果通过变量“，y可以表示成工的函

数*那么称这个函数为函数》=/(“)和“=g(z)的复合函数(compositefunction),记作

y=/(g(了)).

复合函数》=/(gCr))的导数和函数、=/(“)，u=g(z)的导数间的关系为

%'二%'•。

即y对z的导数等于)，对〃的导数与〃对z的导数的乘积.

由此可得，_y=ln(3z+2)对z的导数等于，=ln“对"的导数与"=3工+2对工的导

数的乘积.即

另外，新教材还增加了弹簧振子的位移问题，体现了复合函数求导的实际应

用：

例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间”单位：s）之间的关

系为y=18sin停广，求函数，在Z=3s时的导数，并解释它的实际意义.

一一一\J一乙_/______________一一・,,,我11-

出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数

的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于/（依+3的形式即可。

本节例题和习题变化如下：

内容原教材（道）新教材（道）

例题47

课后练习题210

课后习题1113

思考栏目22

探究栏目22

新教材增加的第6题是比较典型的一类题目，意在让学生意识到，导数值是

一个常数。

病综合运用

I

I

•6.已知函数/Gr）满足/（/）=/'工一8§工，求f（工）在处的导数.

5.5.3导数在研究函数中的应用

本节知识结构框图：

—函数的单调性

用导数研究函数的性质卜-

一函数的极值与最大（小）值

重点：利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间

难点：用导数求函数的极值与最大(小)值

对于5.3导数在研究函数中的应用这一节，新老教材在知识点的引入上大同

小异，但新教材增加了“思考”栏目，给学生明确了需要思考的问题，进而由高

台跳水这一特殊例子推广到一般。相比较于老教材，新教材这样处理更加过渡自

然，水到渠成：

我们看到，函数九。)的单调性与，(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由

♦(t)的正负来判断函数八(t)的单调性呢？

既然是研究函数的性质，那么就需要看多种函数结构，所以在例题和课后练

习上，新教材选取了多种类型的函数，然后借助导数，从多种角度深入地研究函

数，让导数在研究函数的性质上绽放出绚丽光芒。具体表现为：

-'利用导致判断下列函数的单调性：

(1)/(工)=工’+3工；(2)/(x)=sinx-x»xG(0»n)；

x-1

(3)f-------.

x

例3求函数/(①)=).1'——2k+1的单调区间.

O乙

例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间:'

(1)/(x)=x34-3x；(2)f(jc)=jc2—2x—3；

(3)j)=sinx—z,76(0,Jt)；(4)f(x}=2x3-\-3x2—24z+l.

另外，通过例3,新教材还总结出判断函数单调性的步骤：

一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数,一"工)的单调性；

第1步,确定函数的定义域；

第2步.求出导数/'(工)的零点；

第3步，用/(幻的零点将fCr)的定义域划分为若干个区间，列表给出/'(H)在各

区间上的正负,由此得出函数jr/Gr)在定义域内的单调性.

公探究机..I—一..；

研究对数函数》=ln］与界函数y=/在区间(0,+oo)上增长快慢的情况.

例■»设.r>0,/（r）=In1，=两个函数的图象如图5.3-8所示.判断

/（.r）,gU）的图象与Ci.C2之间的对应关系・

一般地，求函数y”（工）在区间仃上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数y=f（x）在区间（a.6）上的极值；

（2）将函数y=fQ）的各极值与端点处的函数值八a）,八6）比核.其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值.

了当x>0时，l-Lvln%这一■比较重要的不等式。

x

例4设/>0./Cr）=ln/.g（x）=l-p两个函数的图象如图5.3-8所示.判断

八］）.g<x）的图象与G.C?之间的对应关系.

解：因为/（«r）=lng（x）=l——.所以

x

/'（工）=—.g,（T）=—；.

XX

当上=1时./'（工）=g'Cr）=h

，，

当0<rVl时,K（J-）>/（J-）>1,

当了>1时，OVg'Cr）V/'Gr）Vl.

所以./（X）.K（X）在（0.+8）上都是增函数.在

区间（0.1）上，g（x）的图象比/