高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 事件的相互独立性（解析版）

第04讲10.2事件的相互独立性课程标准学习目标①理解两个事件相互独立的概念。②能进行一些与事件独立有关的概念的计算。③通过对实例的分析，会进行简单的应用。1.数学抽象：两个事件相互独立的概念；2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算；知识点01：相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，【即学即练1】知识点02：相互独立事件概率的求法已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有事件表示概率，同时发生，都不发生，恰有一个发生，中至少有一个发生或，中至多有一个发生或知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即概率公式事件与相互独立等价于事件与互斥，则题型01相互独立事件的判断【典例1】（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）设、是两个事件，以下说法正确的是（

）．A．若，则事件与事件对立B．若，则事件与事件互斥C．若，则事件与事件互斥且不对立D．若，则事件与事件相互独立【答案】D【详解】对于A和B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“出现偶数点”，事件为“出现1点或2点或3点”，则，，，但事件，既不互斥也不对立，故A和B错误；对于C，在不同的试验下，即使，也不能说明事件与事件一定互斥，故C错误；对于D，根据相互独立事件的定义可知，若，则事件与事件相互独立，故D正确；故选：D【典例2】（多选）（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（

）A．A与D相互独立. B．A与B相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立【答案】BCD【详解】不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，则，，，，，，，所以，所以A与D不相互独立；，所以A与B相互独立；，所以B与D相互独立；，所以A与C相互独立；故选：BCD【典例3】（多选）（2024上·广东佛山·高二统考期末）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】ABC【详解】由题意可知，，，记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、，用表示两次取球的号码，则事件包含的基本事件有：、、、、，则，事件包含的基本事件有：、、，则，事件包含的基本事件有：、、，则，事件包含的基本事件有：，则，事件包含的基本事件有：，则，对于A选项，，则与相互独立，A对；对于B选项，，所以，与相互独立，B对；对于C选项，，所以，与相互独立，C对；对于D选项，，所以，与不相互独立，D错.故选：ABC.【变式1】（多选）（2024上·辽宁大连·高一期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立【答案】BCD【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况，所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况，所以；；对于A，，故甲与丙不相互独立，错误；对于B，，故甲与丁相互独立，正确；对于C，，故乙与丙不相互独立，正确；对于D，，故丙与丁不相互独立，正确.故选：BCD.【变式2】（多选）（2024上·江西吉安·高一统考期末）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与不相互独立 D．与不相互独立【答案】ACD【详解】由题意知，，，．对A：∵，∴与相互独立，故A正确．对B：∵，∴与不相互独立，故B错误．对C：∵，∴与不相互独立，故C正确．对D：∵，∴与不相互独立，故D正确．故选：ACD.【变式3】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知事件与事件相互独立，且，，则.【答案】/【详解】因为事件与事件相互独立，所以，即.故答案为：.题型02相互独立事件与互斥事件【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立【答案】C【详解】由可得，因为，则与不互斥，不对立，由可得，因为，所以与相互独立故选：C【典例2】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】对于①，若互斥，则，又，，不相互独立，①正确；对于②，，；扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”，则，，，满足，但不是对立事件，②错误；对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”，则，，，，，满足，此时，事件不相互独立，③错误；对于④，，事件与互斥，，又，，即，事件相互独立，④正确.故选：B.【典例3】（多选）（2023下·高一单元测试）下列四个命题中错误的是（

）A．若事件A，B相互独立，则满足B．若事件A，B，C两两独立，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件【答案】BCD【详解】若事件A，B相互独立，则满足，A说法正确；举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，事件B：第二个骰子点数为奇数，事件C：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以，B说法错误；举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，事件B：第二次骰子点数为2，事件C：第三次骰子点数为3，则事件A，B，C被此互斥，则，C说法错误；举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足，但A，B不是对立事件，D说法错误.故选：BCD【变式1】（2023·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【答案】A【详解】由题意得，，所以.所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.故选：A.【变式2】（2023上·高二单元测试）若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【答案】C【详解】由，，，可得，所以，所以事件与相互独立、事件与不互斥，则事件与不对立．故选：C【变式3】（2023下·高一单元测试）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.【答案】（1）0.42；（2）0.46.【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，由题意可知，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥所以.题型03独立事件的乘法公式【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为.【答案】【详解】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为，由题意，，，，，所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是故答案为：．【典例2】（2024上·江西上饶·高一校考阶段练习）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【答案】(1)，(2)【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，“丙家庭回答正确这道题”为事件C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；（2）有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为：，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【典例3】（2023下·全国·高一校联考开学考试）甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；(2)求甲没有通过面试的概率；(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.【答案】(1)(2)(3).【详解】（1）由题意得，乙3道题都回答且通过面试的概率为.（2）设事件表示“甲最终通过面试”，则，∴甲没有通过面试的概率为，（3）设事件表示“乙最终通过面试”，则，设事件表示“甲、乙两人恰有一人通过面试”，则，∵与为互斥事件，与，与相互独立，∴，∴甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为.【变式1】（2024上·湖北十堰·高二统考期末）甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．(1)若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；(2)当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．（2）这三人都没答对该试题的概率，当且仅当时，等号成立，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率．【变式2】（2024上·江西赣州·高一统考期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间则设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”则则则．（2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立由（1）知记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，则易知事件，两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得．【变式3】（2023上·河南安阳·高一校联考期末）甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为，两人同时中奖的概率为．(1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率；(2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率【答案】(1)(2)．【详解】（1）设表示甲在一轮抽奖中中奖的事件，则由条件可知，两轮抽奖中中奖一次的情况为：第一轮中奖，第二轮未中奖；第一轮未中奖，第二轮中奖，故概率为．（2）设表示乙在一轮抽奖中中奖的事件，由已知可得，所以．两人在两轮抽奖中，共有三次中奖，分两种情况：第一种情况，其中一轮甲中奖乙未中奖，另一轮两人间时中奖，概率为．第二种情况，其中一轮乙中类甲未中奖，另一轮两人同时中奖，概率为．故所求概率为．题型04独立事件的实际应用【典例1】（2024上·全国·高三期末）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，所以，则.由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，法一：，且两两互互斥，则.法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，则.故选：B.【典例2】（2024上·北京石景山·高一统考期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，由题意可知，，，，则，,所以丙投篮命中的概率为；（2）甲和乙命中，丙不中为事件，则，所以甲和乙命中，丙不中的概率为；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，则,【典例3】（2023下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.【答案】(1)(2)甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.【详解】（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为.所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为.（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为.若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为.若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果.因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.【变式1】（2024上·上海·高二同济大学第一附属中学校考期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．【答案】/【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立，且，两个题都选错为事件，则.故答案为：【变式2】（2024上·上海·高二上海中学校考期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】(1)；(2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：.（2）事件A与事件B不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为，故至少收到一个正确信号的概率为；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件A与事件B不互相独立.【变式3】（2023上·广东清远·高二校考阶段练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打个球甲赢的概率；(2)求该局打个球结束的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，，，∴，∴，∴该局打4个球甲赢的概率为．（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，∴，，∴，∴该局打5个球结束的概率为．题型05相互独立事件的综合应用【典例1】（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．以上命题中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，由题意得，，，．因为，故事件相互独立，①正确；因为，故事件相互独立，②正确；因为，故事件相互独立，③正确．故选：D【典例2】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，则；电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，所以整个电路不发生故障的概率为，故选：D【典例3】（2023上·河南新乡·高二河南师大附中校考阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【详解】依题意可得P(甲)，P(乙)，两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，则P(丙)，两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，共6种情况，则P(丁)，对于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A错误；对于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正确；对于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C错误；对于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D错误．故选：B．【变式1】（2023上·湖北·高二宜昌市一中校联考阶段练习）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】由题意，，，，，所以事件与相互独立，则与也相互独立，.故选：A.【变式2】（2023上·北京·高三北京八中校考期中）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（

）A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较【答案】A【详解】设三门考试课程考试通过的事件为，相应的概率为，则考试三门课程，至少有两门及格的事件为，其概率为，设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为，则,又由，所以，即用方案一的概率大于用方案二的概率.故选：A.【变式3】（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（

）

A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828【答案】A【详解】设能听到声音为事件，则,所以听不到声音的概率.故选：AA夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）天气预报元旦假期甲地下雪的概率为0.6，乙地下雪的概率为0.3，假定这段时间内两地是否下雪相互独立，则这段时间甲、乙两地至少有一个下雪的概率为（

）A．0.18 B．0.72 C．0.28 D．0.12【答案】B【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】甲、乙两地至少有一个下雪的概率为.故选：B2．（2024上·广东清远·高二统考期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，所求概率．故选：A．3．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知事件与事件互斥，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据事件概率的基本运算法则直接计算求解.【详解】对于A，由于不清楚事件与事件是否相互独立，所以无法计算，故A错误；对于B，因为事件与事件互斥，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B4．（2024上·上海·高二校考期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（

）A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得.【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误；显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误.故选：B5．（2024上·全国·高三专题练习）若，，，则事件A与的关系是（

）A．事件A与互斥 B．事件A与对立C．事件A与相互独立 D．事件A与既互斥又相互独立【答案】C【分析】计算出，即可得出结论.【详解】由题意，，，，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C.6．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中2个白球，2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球．记事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”（

）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立C．事件A与事件B对立 D．事件C包含事件【答案】D【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项判断即得.【详解】两个白球记为，两个红球记为，不放回依次取出两球的试验的样本空间，共12个样本点，事件，，，，由，得事件A与事件B不互斥，不对立，AC错误；，显然，事件A与事件B不独立，B错误；显然，D正确.故选：D7．（2024上·山东淄博·高二校考期末）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可.【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况:一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.故选；D.8．（2024上·广东汕尾·高二统考期末）若事件满足，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合概率的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，由，所以，所以D正确.故选：B.二、多选题9．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（

）A．A与D相互独立. B．A与B相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立【答案】BCD【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，则，，，，，，，所以，所以A与D不相互独立；，所以A与B相互独立；，所以B与D相互独立；，所以A与C相互独立；故选：BCD10．（2024上·河南焦作·高一统考期末）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（

）A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件C．“摸出的球颜色相同”的概率为D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立【答案】ABC【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足.【详解】2个红球为，3个白球为，则任意摸出2个球有，共10种，“摸到2个红球”有，“摸到2个白球”有，“至少摸到1个红球”有，“摸出的球颜色相同”有，“摸出的球中有白球”有，“摸出的球颜色不相同”有，A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；D：设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知，，，显然，故，不相互独立，故D错误.故选：ABC三、填空题11．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为.【答案】/0.4【分析】甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，由此求得甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率.【详解】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.故答案为：12．（2024上·江西赣州·高一统考期末）已知，是相互独立事件，但不是互斥事件，若，，则事件的概率为．【答案】/【分析】利用相互独立事件的概率公式求出，再利用概率的性质计算即得.【详解】由事件，相互独立，，，得，所以事件的概率为.故答案为：四、解答题13．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：(1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数；(2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由.【答案】(1)年龄的平均数为，第百分位数为；(2)事件、相互独立，理由见解析【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果；（2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论.【详解】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、，年龄的平均数为；该公司共有名员工，因为，故该公司员工年龄的第百分位数为.（2）解：由茎叶图可知，，，事件为“抽取员工的年龄为岁”，则，所以，，所以，事件、相互独立.14．（2024上·上海·高二统考期末）（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；①单次掷一颗骰子，观察点数；②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；（2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由.【答案】（1）；②；（2）相互独立，理由见解析【分析】（1）列举法即可求解，（2）根据乘法公式验证即可判定是否独立.【详解】（1）①；②.（2），，则事件是相互独立的.B能力提升1．（2024上·四川成都·高二统考期末）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.(1)求部件正常工作的概率；(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？【答案】(1)(2)方案三，理由见解析【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.则.（2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，则.所以；同理得：；.又因为，，所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大.2．（2024上·广东珠海·高二统考期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖30分、奖0分、扣30分、扣60分、根据大数据