中考数学-整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(附答案)

中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(附答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(

x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：

x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）(x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．2．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1，图2中阴影部分的面积为S2。（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。（2）当S1+3S2=b²时，求a：b的值。3．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题。在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形。（1）【理解应用】观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式。（2）【拓展升华】利用(1)中的等式解决下列问题：①已知a²+b²=10，a+b=6，求ab的值。②已知(2021-c)(c-2019)=2020，求(2021-c)²+(c-2019)²的值。4．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为________.②计算：20192﹣2020×2018.________（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.5．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x=________时，代数式x2-6x+12的最小值是________；（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”）（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是

（请选择正确的一个）A.a2-b2=（a+b）（a-b）B.a2-2ab+b2=（a-b）2C.a2+ab=a（a+b）（2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值；（3）计算：．7．若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2的值；解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，所以（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．8．提出问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”探究发现：如图所示，小敏用4个完全相同的、邻边长度分别为a、b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形（其中a、b的和不变，但a、b的数值及两者的大小关系都可以变化）.仔细观察拼图，我们发现，如果右图中间有空白图形F，那么它一定是正方形（1）空白图形F的边长为________；（2）通过计算左右两个图形的面积，我们发现（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间存在一个等量关系式.①这个关系式是________；②已知数x、y满足：x+y＝6，xy＝，则x﹣y＝________；问题解决：问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”①对于周长一定的长方形，设周长是20，则长a和宽b的和是________面积S＝ab的最大值为________，此时a、b的关系是________；②对于周长为L的长方形，面积的最大值为________.活动经验：周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足________时面积最大.9．已知A=2a-7，B=a2-4a+3，C=a2+6a-28，其中．（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）阅读对B因式分解的方法：解：B=a2-4a+3=a2-4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.请完成下面的两个问题：①仿照上述方法分解因式：x2-4x-96；②指出A与C哪个大？并说明你的理由．10．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即

，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．解：原式﹒（1）【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒11．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）=________．（2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：________（3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2．你画的图中需要B类卡片________张；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有________．（填写正确选项的序号）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m212．阅读下面材料:通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：例如：要验证结论方法1：几何图形验证：如下图，我们可以将一个边长为（a+b）的正方形上裁去一个边长为(a-b)的小正方形则剩余图形的面积为4ab,验证该结论正确。方法2：代数法验证：等式左边=，所以，左边=右边，结论成立。观察下列各式：（1）按规律，请写出第n个等式________；（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）-11（2）63.5（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a=a+3=0∴a=-3．解析：（1）-11（2）63.5（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a=a+3=0∴a=-3．（4）2021．【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得(

x+6)(2x+3)(5x-4)二次项系数是：．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．2．（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²S2=b²-(a-b)2=2ab-a2（2）解：∵S1+3S2=72b²，∴3a2-8ab+6b2+3(解析：（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²S2=b²-(a-b)2=2ab-a2（2）解：∵S1+3S2=b²，∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)=b2化简得：5b2=4ab，∵b≠0，∴两边同除以b，得：5b=4a，∴a：b=5：4【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是(2b-a)，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；（2）根据（1）的计算结果，由S1+3S2=b²列出方程，化简即可得出答案.3．（1）解：x²+y²=(x+y)²-2xy（2）解：①由题意得：ab=把a²+b²=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由题意得：(2021-c)²+(c-2019)解析：（1）解：x²+y²=(x+y)²-2xy（2）解：①由题意得：ab=把a²+b²=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由题意得：(2021-c)²+(c-2019)²=(2021-c+c-2019)²-2(2021-c)(c-2019)=22-2×2020=-4036【解析】【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积x2＋y2，方法二是间接求出阴影部分面积，即（x＋y）为边的正方形面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积，即（x＋y）2−2xy,进而根据用两个不同的算式表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出等式；（2）①根据等式的性质将（1）所得的等式变形后将a2＋b2＝10，a＋b＝6代入即可解决问题；②根据完全平方公式的恒等变形，a2+b2=（a+b）2-2ab，可以将2021−c看作a，将c−2019看作b，整体代入就可算出答案.4．（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）3；解：20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20解析：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）3；解：20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1（3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.（2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2∴2m﹣n＝3故答案为3.【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；应用：①利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；②可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值.5．（1）3；3（2）1；-2（3）解：∵-x2+3x+y+5=0，∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6，∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时，y+x的最小值为解析：（1）3；3（2）1；-2（3）解：∵-x2+3x+y+5=0，∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6，∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时，y+x的最小值为-6．【解析】【解答】解：(1)∵x2-6x+12=(x-3)2+3，∴当x=3时，有最小值3：(2)∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2，∴当x=1时有最大值-2【分析】（1）把代数式x2-6x+12根据完全平方公式配方，由配方的结果：(x-3)2+3，得(x-3)2≥0，当(x-3)2=0，即x=3时，求得x2-6x+12最小值为3；（2）把y=-x2+2x-3配方，由配方的结果：-(x-1)2-2，得-(x-1)2≤0，则当-(x-1)2=0，即x=1时，y有最大值为-2；（3）首先移项，求出y+x的表达式，再把此表达式配方，根据配方的结果，因为(x-1)2≥0，得出x=1,

y+x有最小值-6即可.6．（1）A（2）解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8，∴x-y=2（3）解：==

==10102019【解析】【解答】解：（1）根解析：（1）A（2）解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8，∴x-y=2（3）解：==

==【解析】【解答】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），∴上述操作能验证的等式是a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：A【分析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），验证平方差公式即可；（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．7．（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=1解析：（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17；（2）解：∵正方形ABCD的边长为x，∴DE=x-2，DF=x-4，设x-2=a，x-4=b，则S正方形EMFD=ab=63，a-b=（x-2）-（x-4）=2，那么（a+b）2=（a-b）2+4ab=256，得a+b=16，∴（x-2）2-（x-4）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=32．即阴影部分的面积是32．【解析】【【分析】（1）设（9-x）=a，（x-4）=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．8．（1）a﹣b（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；116L2；a＝b【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b，故答案为：a﹣b；解析：（1）a﹣b（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；L2；a＝b【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）①左图形的面积为：2a×2b＝4ab，右图形的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，即：62﹣（x﹣y）2＝4×，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5，故答案为：5或﹣5；问题解决：解：①∵长方形的周长是20，∴2（a+b）＝20，∴a+b＝10，则b＝10﹣a，∴面积S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25，∴a＝5时，S＝ab的最大值为25，此时a、b的关系是a＝b，故答案为：10，25，a＝b；②对于周长为L的长方形，设一边长为a，则邻边长为﹣a，∴面积；∴面积的最大值为L2；故答案为：L2；活动经验：解：周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足a＝b时面积最大；故答案为：a＝b.【分析】探究发现（1）由图可知：空白图形F的边长为：a-b；（2）①由矩形的性质得出左图形的面积为：2a×2b=4ab，由正方形的性质得出右图形的面积为：（a+b）2-（a-b）2，即可得出答案；②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；问题解决①由长方形的性质得出a+b=10，面积S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函数的性质即可得出答案；②由长方形的性质得出面积；由二次函数的性质即可得出答案；活动经验根据前面的问题即可得出结论.9．（1）解：B-A=a2-4a+3-2a+7=a2-6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2-4x-96=x2-4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+1解析：（1）解：B-A=a2-4a+3-2a+7=a2-6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（2）解：①x2-4x-96=x2-4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+10）（x-2-10）=（x+8）（x-12）；②C-A=a2+6a-28-2a+7=a2+4a-21=（a+7）（a-3）．因为a＞2，所以a+7＞0，从而当2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C【解析】【分析】（1）根据题意B-A=（a-3）2+1＞0，得到A与B的大小关系是B＞A；（2）根据完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2和平方差公式a2