广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

（文科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合人={（x,y）|x,y为实数，且x?+y2=l},B={（x,y）|x,y为实数，且

y=x},则AcB的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,

（0,1,1）,（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则

得到正视图可以为（）

3.圆（x+2）2+y2=4与圆（X-2）2+（y-1）2=9的位置关系为（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

4.下列命题中正确的有（）个.

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.

②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形.

④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.

A.1B.2C.3D.4

5.已知过点A（-2,m）和B（m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为

A.0B.-8C.2D.10

x-y>0

'x+y<2

6.已知x,y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）

ky>0

A.1B.2C.3D.4

7.直三棱柱ABC-A[B]Ci中，若/BAC=9()°,AB=AC=AA”则异面直线BA1与AC]

所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.如果直线1经过圆x2+y2-2x-4y=0的圆心，且直线1不通过第四象限，那么直线1

的斜率的取值范围是（）

A.[0,2]B.[0,1]C.[0,mD.[0,刍

9.过点A（a,a）可作圆x?+y2-2ax+a?+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为

（）

A.2<-3或1<@<,B.C.a<-3D.-3<a<l或a>，

10.已知A,B是球O的球面上两点，NAOB=90。，C为该球面上的动点，若三棱锥O

-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）

A.367TB.64nC.144nD.256n

11.己知矩形ABCD,AB=1,BC=&.将4ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行

翻折，在翻折过程中（）

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，三对直线"AC与BD","AB与CD","AD与BC"均不垂直

在平面直角坐标系中，两点间的距离"定义为

12.P|（Xpyi）,P2（X2,y2）"L-|P]P2l=|X]

则平面内与轴上两个不同的定点的距离"之和等于定值（大

-x2l+lyi-y2l.XFi，F2"L-

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知两直线h：ax-2y+l=0,b：x-ay-2=0.当a=时，IJb.

14.若圆心在x轴上、半径为&的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O

的方程是.

15.已知x?+y2=4x,则x?+y2的取值范围是

16.设mGR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点

P（x,y）.则|PA|・|PB|的最大值是.

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°.

（1）求BC的长；

（2）求sin2c的值.

18.Sn为数列｛a"的前n项和，己知an>2,且an2+4n=4Sn+l.

（1）求证：｛aQ为等差数列;

(2)设bn==1-，求数列｛%｝的前n项和.

anan+l

19.如图，在三棱柱ABC-AiBQi中，NBAC=90。，AB=AC=2,AA[=4,A]在底面

ABC的射影为BC的中点E,D是B]C]的中点.

(1)证明：A]D_L平面A]BC；

(2)求点B到平面A]ACC]的距离.

20.圆C过点M(-2,0)及原点，且圆心C在直线x+y=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)定点A(1,3),由圆C外一点P(a,b)向圆C引切线PQ,切点为Q,且满足

|PQI=|PA|.

①求IPQI的最小值及此刻点P的坐标；

②求||PC|-|PA||的最大值.

21.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C]：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+

(y-5)2=4

(1)若直线1过点A(4,0),且被圆C,截得的弦长为求直线1的方程

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线h和12,它们

分别与圆C1和C2相交，且直线11被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相

等，求所有满足条件的点P的坐标.

参考答案

一、单项选择题

I.C2.A.3,B.4.C.5.B.6.D.7.C.

8.A.9.A.10.C.11.B12.A.

二、填空题

13.解：♦・•两直线I］：ax-2y+l=0,I2：x-ay-2=0相互垂直,

Aaxl-(-2)(-a)=0,

解得a=0

故答案为：0

|a+lXO|r

14.解：设圆心为(a,0)(a<0),则门卬2,解得a=-2.

圆的方程是(x+2)2+y2=2.

故答案为：(x+2)2+y2=2.

15.解：Vx2+y2=4x,(x-2)2+y2=4,

故令x-2=2cos0,y=2sin0,

/.x2+y2=(2+2cos0)2+(2sin0)2

=4+8cos0+4cos20+4sin26

=8+8cos0,

Vcos0e[-1,1],

A8+8cosee[0,16]

故答案为：[0,16]

16.解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(l,3),

注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点,

则有PA1PB,.\|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

故|PA|・|PB|J空「2；哪」工5(当且仅当|PA|二|PB|二遍时取"=")

故答案为：5

三、解答题

17.解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB«ACcosA=4+9-2x2x3x-=7,

2

所以BC="

(2)由正弦定理可得：丝,二巴,则sinC噂・sinA&i甲匕=乂亘，

sinCsinABCV77

VAB<BC,・・・C为锐角，

则cosC=V1-sin2C=^1-

因此sin2c=2sinCcosC=2x2^I2近=..^?/^.

777

18.(1)证明：由a*4n=4Sn+L①

可得a：+i+4（n+1）=4Sn+1+1,②

②-①得a*]-a%4=4an+r

即（a4-2）2=a2,

n*ln

•api>2,••@n+1-2—,

即

an+i-an=2,

・••｛an｝为等差数列.

（2）解:由已知得a/+4=4a]+l,

即aj-4a[+3=0，

解得a1=l（舍）或ai=3,

an=3+2（n-1）=2n+1,

..1__1Jfi__L_）

'•113/同（2nH）（2n+3）22nH2n+3'

二数列｛瓦｝的前n项和Tn：1（4-T）+（卷-"1）（）]

235572。士n+l-2n+3

」（1_1）

232n+3

_____n

-3（2n+3）'

19.证明：（1）设E为BC的中点，由题意得A]E,平面ABC,...AiELAE.

VAB=AC,.\AE±BC.

又A]EnBC=E,A,E>BCU平面A]BC

故AEJ_平面A]BC.…

由D,E分别为BQ]、BC的中点，得DE〃B]B,且DE=B1B,

又AA1〃BE,AA]=BE

从而DE〃A]A,且DE=A1A,A〔AED为平行四边形.

故A]D〃AE,...

又,.,AE_L平面A〔BC,平面A]BC....

(2)，”叫平面ABC,BCU平面ABC,AA^IBC

又E为BC的中点，，AiC=AiB...

,?ZBAC=90°,E为BC中点，/.AE=BE,

/.RtAA]EARtAiEB,A[B=AA]=4,A|C=4...

.•.△AiAC中AC边上的高为-(华)2=742-12=^15-

S,2，

•■•AA1AC^2V15=V15'

2222=

MSAABC^AC-AB=-1-2-2=2>AtE=A/AIB-EB=V4-(V2)V14-

设B到平面A|ACC)的距离为d

由VARABC二VB-A^AC

A!E'SAABC2-V142V210

得S-A-A-.--A-C--=Vr1?5=i1c5>

AB到平面A|ACCi的距离为当誓.…

20.解：(1)VM(-2,0),...线段OM的垂直平分线方程为x=-1,

x=-1(x=-1

又圆心C在直线x+y=O上，联立《，得，

、x+y=O1y=l

圆心C的坐标为(-1,1),则半径m|OC|=加,

...圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=2；

(2)①设P(a,b),连结PC,CQ,

为切点，，PQJ_CQ,

由勾股定理得：|PQ|2=|PC|2-ICQI2,

V|PQ|=|PA|,二(a+1)2+(b-1)2-2=(a-1)2+(b-3)2,

化简得2a+2b-5=0；

22

.••|PQ|=|PA|=V(a-l)+(b-3)(a-l)+(匕券-3)

二当"时，|田|»*乎，

此时p点坐标为(3,4)；

②设C关于直线1：2x+2y-5=0的对称点为C(m,n),

X(-1)=-1

，解得

ID-1八+1「八Y//

2X——+2X-2il-5=0吨

.,.IIPCI-|PA||=||PCZI-IPAIKIC'A|=^(I--|)2+(3--^)2=Y

故IIPCI-|PA||的最大值为*.

21.解：(1)由于直线x=4与圆Cl不相交；

...直线1的斜率存在，设1方程为：y=k(x-4)

圆Ci的圆心到直线1的距离为d,被。C］截得的弦长为2M

・"=正2-(6)2=1

二直线1的方程为：y=0或7x+24y-28=0

(2)设点P(a,b)满足条件，

由题意分析可得直线1］＞12的斜率均存在且不为0,

不妨设直线1］的方程为y-b=k(x-a)