概率论与数理统计考试题库及答案（四）

《概率论与数理统计》复习试题(后面带答案)

一、填空题

1.设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件

1)A、B、C至少有一个发生

2)A、B、C中恰有一个发生

3)A、B、C不多于一个发生

2.设A、B为随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8o则P(BA)=_

3.若事件A和事件B相互独立-P(A)=a,P(B)=0.3,P(AB)=0.7,贝!|a=

4.、将C,C,E,E,I,N,S甯R个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词

SCIENCE的概率为

5.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已

知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为X=«=5A(1、2)化(•则

A-

+"0<x<1

7.已知随机变量X的密度为/U)=且P{x>l/2}=5/8,则

10,其它

h=________

8.设X〜NQ,/),且P{2<x<4}=0.3,则P{x<0}=

on

9.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为罢，则该

81

射手的命中率为一

10.若随机变量J在(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+Jx+l=0有实根的概率

是__________

34

11.设P{X20,yN0}=1,P{X>O}=P{y>O}=y,则P{max{X,y}N0}=

12.用(X,y)的联合分布函数F(x,y)表示P{aWXKb,y<c}=

13.用(X,y)的联合分布函数F(x,y)表示P{X<a,y<b}=

14.设平面区域D由y=x,y=0和x=2所围成，二维随机变量(x,y)在区

域D上服从均匀分布，则(x,y)关于X的边缘概率密度在x=1处的值

为-

15.已知X~N(—LOT),则E(X+3)2=

16.设X~N(10,0.6),y~N(l,2),且X与丫相互独立，则O(3X—丫)=

17.设X的概率密度为/(x)=1则D(X)=___________________

18.设随机变量X”X2,X：,相互独立，其中左在［0,6］上服从均匀分布，X2服从

正态分布N(0,22),Xs服从参数为4=3的泊松分布，记Y=X1-2XZ+3X3,则D(Y)

19.设D(X)=25,£>(/)=36,分=04，则D(X+Y)=

20.设X「X2,…,X”,…是独立同分布的随机变量序歹!I,且均值为〃，方差为人,那

么当〃充分大时，近似有刀〜或〃工二幺〜o特别是，当

(J

同为正态分布时，对于任意的〃，都精确有又〜或

册〜〜.

(T

21.设X1,Xz，…,X“，…是独立同分布的随机变量序列，且，

DX,=a2(z=l,2,---)那么依概率收敛于.

n,=i

22.设X,,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令

222

丫=(X1+X2)+(X3-X4),则当C=时CY〜/(2)O

23.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本

均值=，样本方差=

24.设AXZ,…X0为来自正态总体X的一个简单随机样本，则样本均值

X=-fXj服从

二'选择题

1.设A,B为两随机事件，且BuA,则下列式子正确的是

(A)P(A+B)=P(A);(B)P(AB)=P(A);

(C)P(8|A)=P(B);(D)P(B-A)=P(5)-P(A)

2.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件了为

(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；(B)“甲、乙两种产品均畅销”

(C)“甲种产品滞销”；(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次

从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

(A)1/5(B)2/5(C)3/5(D)4/5

4.对于事件A,B,下列命题正确的是

(A)若A,B互不相容，则入与否也互不相容。

(B)若A,B相容，那么了与否也相容。

(C)若A,B互不相容，且概率都大于零，则A,B也相互独立。

(D)若A,B相互独立，那么久与方也相互独立。

5.若P(叫A)=l,那么下列命题中正确的是

(A)Au6(B)BuA(C)A-B=0(D)P(A-8)=0

6.设X〜NJ,"),那么当增大时，P{|X—4<<T}=

A)增大B)减少C)不变D)增减不定。

7.设X的密度函数为〃x),分布函数为f(x),且/(x)=f(-x)。那么对任意给

定的a都有____________

ra、1ra

A)/(-«)=1-[f{x}dxB)F(-a)=—(f(x)dx

jo2Jo

C)F(«)=F(-a)D)F(-a)=2F(«)-l

8.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是

A)F(x)=1+—B)F(x)=—+—arctanx

x~271

、一(1-e、)，x>0、rx.p+oo

C)F(x)=<2D)F(x)=[f⑴dt,其中[fQ)dt=l

J—00J—GO

0,x<0

9.假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分

布函数，则下列各式中正确的是—

A)F(x)=F(-x);B)F(x)=-F(-x);

C)f(x)=f(-x);D)f(x)=-f(-x).

Ap-xX>2

10.已知随机变量X的密度函数f(x)='一(A>O,A为常数)，则概率

0,x</l

P{A<X<A+a}(a>0)的值_____________

A)与a无关，随X的增大而增大B)与a无关，随X的增大而减小

C)与X无关，随a的增大而增大D)与X无关，随a的增大而减小

11.X1,X2独立，且分布率为(i=1,2),那么下列结论正确

的是__________

A)X,=X2B)P[Xt=X2}=1C)P{X}=X2}=^

正确(X,y)|(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

12.设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律/「11/61/91/181/3aP

且X,y相互独立，则

A)。=2/9,尸=1/9B)e=l/9,4=2/9

C)a=l/6,〃=l/6D)&=8/15,夕=1/18

13.若x〜(从,端)，y〜(〃2，&)那么(x,y)的联合分布为

A)二维正态，且夕=0B)二维正态，且0不定

C)未必是二维正态D)以上都不对

14.设X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为R(x),F、(y),

则Z=max{X,Y}的分布函数是

A)Fz(z)=max{Fx(x),FY(y)};B)Fz(z)=max{|Fx(x)|,|Fy(y)|)

0Fz(z)=Fx(x)•Fv(y)D)都不是

15.下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

,、cosx,<x<—,0KyK1

A)f(x,y)={22)

1°,其他

v/、cosx,--x<—,0<y一

B)g(x,y)={2K2>42

1其他

cosx,0<x<^,0<y<l

C)(p(x,y)=<

0,其他

、rcosx,0<x<^,0<y<1—

D)h(x,y)[2

1°,其他

16.掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A)50B)100C)120D)150

17.设X,,X2,X3相互独立同服从参数2=3的泊松分布，令丫=」(X1+X2+X3),

则

£(r2)=______________

A)1.B)9.C)10.D)6.

18.对于任意两个随机变量x和y,若E(xy)=E(x>E(y),则

A)z)(xy)=D(x)z)(y)B)o(x+y)=z)(x)+r>(y)

ox和y独立D)x和y不独立

19.设XP(2)(Poissio〃分布)，且E[(X-1)(X—2)]=1,则丸=

A)1,B)2,C)3,D)0

20.设随机变量x和Y的方差存在且不等于0,则。(x+y)=o(x)+z)(y)是x

和Y的______

A)不相关的充分条件，但不是必要条件；B)独立的必要条件，但不

是充分条件；

C)不相关的充分必要条件；D)独立的充分必要条件

21.设X〜N(〃,『)其中〃已知，/未知，x「X2，X3样本，则下列选项中不是

统计量的是

3X2

A)X1+X2+X3B)C)gTD)X,-//

i=ib

22.设X〜〃(l,p),X”X2,…,X,，是来自X的样本，那么下列选项中不正确的

是_______

A)当〃充分大时，近似有又〜N(p,」若包)

B)P[X=k}=Cy(l-p)n-k,k=0,l,2,-,n

—k

C)P{X=—}=C；p“l一p)i，攵=0,1,2,〃

n

kk

D)P{Xi=k}=C^P(l-p)"-,l<i<n

23.若X〜《〃)那么/〜

A)F(l,n)B)F(n,l)C)/2(n)D)«〃)

24.设X1,X2,…X,为来自正态总体N(〃,/)简单随机样本，又是样本均值，记

1n_]"_1n

s；=S(x「xy,s；=—X(x,-x)2,s”—3(Xj-〃)2,

2

(X,.-A),则服从自由度为〃-1的/分布的随机变量是

A)t=X~^_B)t=-X^=C)t=*二7D)f=*二3

S"J〃一1S2/VH-1S3IS4/yJn

25.设X1,X2,…Xn，Xn”…,Xw是来自正态总体N(0,/)的容量为n+m的样本，

"力X；

则统计量丫=-^—服从的分布是

i=n+\

A)F(m,n)B)—1)C)F(n,m)D)F(m-1,«-1)

三、解答题

1.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列

事件的概率。

1)3本一套放在一起。

2)两套各自放在一起。

3)两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD的占20%

其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD占10%,购买电脑和DVD占5%,

三种电器都购买占2%。求下列事件的概率。

1)至少购买一种电器的；

2)至多购买一种电器的；

3)三种电器都没购买的；

4.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、

丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为

1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5.一箱产品，A,B两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。

现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6.有标号1』的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子

中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依

次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被

抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分

布率。(1)放回(2)不放回

8.设随机变量X的密度函数为/(x)=AeTN(YO<X<”)，

求(1)系数A,

(2)P{O<x<l}

(3)分布函数/(x)。

9.对球的直径作测量，设其值均匀地分布在内。求体积的密度函数。

10.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5,问需要进行多少次实验，

才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设

男子的身高XN(168,72),问车门的高度应如何确定？

12.设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-8<x<+8).

求：(1)系数A与B；

(2)X落在(-1,1)内的概率；

(3)X的分布密度。

13.把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，丫表示正、反两面

次数差的绝对值，求(x,y)的联合分布律与边缘分布。

14.设二维连续型随机变量(X,y)的联合分布函数为

F(x,y)=A(B+arctan-1)(C+arctany)

求(1)AB、C的值，(2)(X,y)的联合密度，(3)判断X、y的

独立性。

15.设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为

0,其他

求(1)系数A；(2)落在区域D：{0<x«l,0<”2}的概率。

16.设(X,F)的联合密度为f(x,y)=Ay(l-x),0<x<l,O<^<x,

(1)求系数A,(2)求(X,Y)的联合分布函数。

17.上题条件下：(1)求关于X及丫的边缘密度。(2)X与丫是否相互独立？

18.在第16)题条件下，求和/(乂丫)。

19.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数

X的数学期望E(X)和方差O(X)o

20.有一物品的重量为1克，2克，・・・，10克是等概率的，为用天平称此

物品的重量准备了三组祛码，甲组有五个祛码分别为1,2,2,5,10克，乙组

为1,1,2,5,10克，丙组为1,2,3,4,10克，只准用一组祛码放在天平的

一个称盘里称重量，问哪一组祛码称重物时所用的祛码数平均最少？

21.公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时

间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望(准确到

秒)。

22.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A,B在每

场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23.一袋中有〃张卡片，分别记为1,2,•••,〃，从中有放回地抽取出左张

来，以X表示所得号码之和，求E(X),£>(X)。

24.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f

求：①常数k,②E(XY)及。(XY).

25.设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开

闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数

在6800到7200之间的概率。

26.一系统是由〃个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为

0.9,且必须至少由80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问〃至少为多

大时，才能使系统正常工作的概率不低于0.95?

27.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此

相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于

1%O

28.设总体X服从正态分布，又设又与S?分别为样本均值和样本方差，又设

xrt+1且与XI,X2,…,X“相互独立，求统计量x--x巨2的

SV〃+1

分布。

29.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正

态分布N(a,0；2,若以耳，表示〃次称量结果的算术平均值，为使

P(匿“_《＜().1)20.95成立，求〃的最小值应不小于的自然数？

30.证明题设A,B是两个事件，满足P(B|A)=P(平)，证明事件A,B相互独

立。

31.证明题设随即变量X的参数为2的指数分布，证明y=l-e-2x在区间(0,

1)上服从均匀分布。

〈数理统计〉试题

一、填空题

1.设X"X2,…,X|6是来自总体X~N(4,b2)的简单随机样本，/已知，令

x=^-Yxi,则统计量把二也服从分布为_____________(必须写出分布的参

16,=1。

数)。

2.设X~N(〃Q2),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本，

则〃的矩估计值为。

3.设X~。[aJ,X],…,X”是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计

为o

4.已知心।(8,20)=2,贝七9(2。，8)=。

5.6和8都是参数a的无偏估计，如果有成立，则称。是比8有

效的估计。

6.设样本的频数分布为

X0123

4

频数1321

2

则样本方差S2=o

7.设总体X~N(u,d),xi,X2,…，Xn为来自总体X的样本，又为样本

均值，则D(1)=。

8.设总体X服从正态分布N(u,d),其中u未知，xi,X2,…，Xn为其

2

样本。若假设检验问题为H°：<T=1^H1：Mwl,则采用的检验统计量应

9.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时，样本值(xl,x2,…，

xn)落入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为

_________________________________________O

10.设样本XI,X2,…，Xn来自正态总体N(u,1),假设检验问题为：

Ho：—则在H0成立的条件下，对显著水平a,拒绝域

W应为O

11.设总体服从正态分布N(〃，D,且〃未知，设％,为来自该总体的一个

样本，记一〃白'，则〃的置信水平为1-々的置信区间公式是；若

已知1-。=0.95,则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2,则样本容量n至

少要取o

12.设…,X〃为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数〃

x^-Yxe2=Y(x,.-x)2„

和〃均未知，记i,海，则假设“。：〃=°的r检

验使用的统计量是______o(用刀和°表示)

13.设总体且〃已知、/未知，设X1,X2，Xa是来自该总体的一

12

个样本，则5(*+X2+X3)+b,Xi+2^X2+3aX39X：+X；+X”〃,X“)+2〃

中是统计量的有。

14.设总体X的分布函数尸(%),设…,X”为来自该总体的一个简单随机

样本，则X1，X2,…,X〃的联合分布函数。

15.设总体X服从参数为2的两点分布，P(°<〃<1)未知。设X，，X”是

fX,,£(X,-又)2,X-6,max{XJ,X.+pXt

来自该总体的一个样本，则M占团“中是统

计量的有。

16.设总体服从正态分布N(〃,D,且〃未知，设X，，X”为来自该总体的一个

样本，记〃白'，则〃的置信水平为的置信区间公式是0

17.设X〜N"用竣,y~N(〃”；)，且X与y相互独立，设X|，，x,“为来自

总体x的一个样本；设小，匕为来自总体y的一个样本；s；和W分别是其无

s；/一

偏样本方差，则服从的分布是。

18.设X〜NJ,。1),餐量〃=9,均值又=5,则未知参数〃的置信度为0.95

的置信区间是(查表Z0o25=L96)

19.设总体X〜％(〃,〃)，x”X2,…，X”为来自总体X的样本，又为样本均值,

则D(1)=o

20.设总体X服从正态分布N(口，。2),其中口未知，X”X2,…，X”为其样

本。若假设检验问题为H。：标=1一小：^2片］,则采用的检验统计量应

___________________________________________O

21.设X"X2,…,X”是来自正态总体"(〃,〃)的简单随机样本，〃和〃均未知，

记文,^2=£(X,.-X)2,则假设“。：〃=0的f检验使用统计量T

几/=1i=\

O

_1in____1n

22.设X=—£X,和y=—Z工分别来自两个正态总体N(从，必2)和N(〃,,b,2)的

m,=in/=|

样本均值，参数月，出未知，两正态总体相互独立，欲检验,应

用检验法，其检验统计量是。

23.设总体X〜N(〃,")，为未知参数，从X中抽取的容量为〃的样本均

值记为歹，修正样本标准差为S：,在显著性水平a下，检验假设“。：〃=80,

M：〃工80的拒绝域为,在显著性水平a下，检验假设4：人二5/

2

(a0已知)，M:b尸cr0的拒绝域为o

24.设总体X〜伏〃,p),0<p<l,X1,X2,…,X”为其子样，〃及p的矩估计分别

是o

25.设总体X〜。［0,句,(乂,乂2,…,X〃)是来自X的样本，则e的最大似然估计量

是O

26.设总体X〜N(〃,0.92),X1,Xz，…,Xg是容量为9的简单随机样本，均值7=5,

则未知参数4的置信水平为0.95的置信区间是o

27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下：

+2,+1,-2,+3，+2,+4,-2,+5，+3，+4

则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28.设X,,X2,X3,是来自正态总体N(0,2b的样本，令

22

y=(X1+x2)+(x3-x4),则当c=时cy〜/⑵。

29.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本

均值=，样本方差=

30.设％,Xz,…X0为来自正态总体XN(〃Q2)的一个简单随机样本，则样本均

值X=，£X：服从

〃,=i

二、选择题

1.X,,X2,---,XI6是来自总体X~N(0,l)的一部分样本，设：

7

Z=X：+…+X；Y=X"..+X：6，则()

(A)N(0,l)(B)t(16)©£(16)(。)F(8,8)

2.已知天/2,…,X,是来自总体的样本，则下列是统计量的是()

-1"_1_____

(A)X+X+A(B)——VX.2(C)X+a+10(D)-X+aX,+5

仁13

3.设…,X$和匕,…,。分别来自两个相互独立的正态总体N(-1,2?)和N(2,5)

的样本，S；和分别是其样本方差，则下列服从尸(7,9)的统计量是()

25：5s255：

⑷5SJ©祟(O)

，J22sf

1〃一

4.设总体*~^〃。2),X1,…,X”为抽取样本，则一£(Xj-乂)2是()

«,=1

(A)〃的无偏估计(8)/的无偏估计(C)〃的矩估计(O)的矩估计

5、设X「…,X“是来自总体X的样本，且EX=〃，则下列是〃的无偏估计的是

()

|zi-l1n|n1H-I

(A)—ZX,(B)--2^-⑹―(D)-

〃i=i〃-1j=]nj=2〃-1»=i

6.设Xl，X2,…,X”为来自正态总体N(〃,/)的一个样本，若进行假设检验，当

时，一般采用统计量一S7n

⑷〃未知，检验标=0-；⑻〃已知，检验■:

(C)b未知，检验〃=〃()⑴)cr~i_L知，检验〃=〃()

7.在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为外的

样本，则下列说法正确的是______

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等

(B)方差分析中的假设检验是双边检验

■(Xi)

(C)方差分析中<='>=>.包含了随机误差外,还包含效应间的差异

SA尔%-9了

(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8.在一次假设检验中，下列说法正确的是

(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

9.对总体的均值〃和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，

意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值(B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值(D)有95%的机会的机会含〃的值

10.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率a的意义是()

(A)在H。不成立的条件下，经检验H。被拒绝的概率

(B)在H。不成立的条件下，经检验H。被接受的概率

(C)在H。。成立的条件下，经检验H。被拒绝的概率

(D)在H。成立的条件下，经检验H。被接受的概率

11.设总体X服从正态分布NJ。”"》?，，X“是来自X的样本，则/的最

大似然估计为

2

(A)，f(X「又f(B)-L^(X;-X)(C)，£x；(D)

n,=i«-1,=i«,=i

X2

12.X服从正态分布，EX=-\,EX2=5,(Xi，…,X”)是来自总体*的一个样

n

本，则/=1服从的分布为。

(A)M-1,5/n)(B)M-1,4/n)(C)M-1/n,5/n)

(D)M-l/n,4/n)

13.设X1，X2,…,X”为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，

U二又一*

当时，一般采用统计量b7n

⑷〃未知，检验4=5；⑻〃已知，检验

⑹人未知，检验〃=〃o(D)/已知，检验〃=4

14.在单因子方差分析中，设因子力有r个水平，每个水平测得一个容量为犯的

样本，则下列说法正确的是

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等

(B)方差分析中的假设检验是双边检验

卜A

(C)方差分析中‘H闫"包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中I包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15.在一次假设检验中，下列说法正确的是

(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错

误

(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

16.设』是未知参数夕的一个估计量，若,则。是夕的

(A)极大似然估计(B)矩法估计(C)相合估计(D)有偏估计

17.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H。成立时，样本值(X、X"…，

xn)落入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为。

(A)0.1(B)0.15(C)0.2(D)0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

2

(A)，检验法(B)〃检验法(C)尸检验法(D)力检验法

19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

(A)样本值与样本容量(B)显著性水平a(C)检验统计量(D)A,B,C

同时成立

20.对正态总体的数学期望〃进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受

"o：〃=〃o,那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

(A)必须接受儿(B)可能接受，也可能拒绝“°

(C)必拒绝儿(D)不接受，也不拒绝儿

21.设七》2,…,X”是取自总体X的一个简单样本，则E(X?)的矩估计是

产

cos；+x-(D)S2+x

22.总体X〜N(〃,")，4已知，„>时，才能使总体均值〃的置信水平

为0.95的置信区间长不大于L

(A)15(T2/£2(B)15.3664(T2/L2(C)16CT2/A2(D)16

23.设X「X2,…,X”为总体X的一个随机样本，E(X)=JU,D(X)=(J2,

2/I-1

夕=cX(X*-Xj2为/的无偏估计，c=

/=1

(A)\/n(B)\/n-\(C)l/2(n-l)(D)1/〃—2

24.设总体X服从正态分布N(〃Q2),X,X2，,X”是来自X的样本，则〃的最

大似然估计为

(d)

(A)山(X「町2⑻e一到©挣;

11Z=1

X2

25.设X〜仪l,p),X1,X2,…,X”,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

(A)当〃充分大时，近似有五〜N(p,四片包)

(B)P[X=k]=Cpk(l-p尸,k=0,l,2,--,n

-k

(C)P[X=-}^C^pk(l-py-k,k=0,l,2,-,n

n

(D)P{X,=%}=C：pk(1-py-k,i<i<n

26.若X~t(n)那么%2~

(A)E(L")(B)"〃』)(C)/(〃)(D)«〃)

27.设X，X2,…X,为来自正态总体N(〃Q2)简单随机样本，又是样本均值，记

S；=-(X,「X)2,S；=，£(X,—X)2,S；=；£(X..—〃)2,

n-1,=In,=ln-1,=l

则服从自由度为〃_］的f分布的随机变量是

(A)t=.(B)t=(C)t=三淮(D)

SjJ〃一1S2/VH-1S3/Vn

t-I^L

SJ^n

28.设X„Xz,…Xn，Xe,…,Xm是来自正态总体N(0,/)的容量为n+m的样本，则

〃这X；

统计量V=1思一服从的分布是

心X；

i=n+\

(A)F(m,n)(B)F(n-l,m-V)(C)F(n,m)(D)

29.设x~N出吟，其中〃已知，,未知，X-X2，X3，X4为其样本，下列各

项不是统计量的是

_14

(A)又(B)X1+X「2〃

4i=i

14_14

(C)K='£(Xj-又)2(D)52=i£(X,.-X)

o/=i3/=i

30.设j~N(〃,b2)，其中〃已知，『未知，X「X,,X3为其样本，下列各项

不是

统计量的是()

(A)4(X：+X；+X；)(B)X1+3〃

(J

(C)max(X1,X2,X3)(吗&+X2+X3)

三'计算题

1.已知某随机变量X服从参数为X的指数分布，设X1,X2,…,X,是子样观察值，

求4的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.615.1

14.914.815.215.1已知原来直径服从N（%0.06）,求：该天生产的滚

珠直径的置信区间。给定（a=0.05,Z005=1.645,Z0025=1.96）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布N（〃,42）。现在随机抽取16个包装袋，算

得平均包装袋重为1=900,样本均方差为S2=2,试检查今天包装机所包物品

重量的方差是否有变化？（a=0.05）（Zo.975（15）=6.262,公025a5）=27.488）（8

分）

4.设某随机变量X的密度函数为求久的极大似然估

计。

（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方

差为=0.04,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米,

试对a=0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）

（Z（）.o5=1-645,Z0025-L96）

6.某种动物的体重服从正态分布N（〃,9）,今抽取9个动物考察，测得平均体重为

51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（a=0.05）（8分）

(Z005=1.645Z0025=1.96)

7.设总体X的密度函数为：/•（%）=卜+1口“设七,…,X”是

0其他

X的样本，求。的矩估计量和极大似然估计。（10分）

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样

算得S=0.2,求。的置信区间（。=0.1,%（11）=19.68,（11）=4.57）（8

-1--

22

分）

9.某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单

位：cm）后算得1=175.9,y=172.0；sf=11.3,=9.10假设两市新生

2

身高分别服从正态分布X-N（u“o）,Y-N（U2＞。2）其中未知。试求

u-L的置信度为0.95的置信区间。（t0.025（9）=2.2622,t0,025（ll）=2.2010）

10.（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得了=20（分

钟），无偏方差的标准差s=3。若假设此样本来自正态总体N（〃，〃），其中〃。2

均未知，试求。的置信水平为0.95的置信下限。

11.（10分）设总体服从正态分布N（〃，。2）,且〃与人都未知，设，”为

来自总体的一个样本，其观测值为仆，龙"，设〃片，〃汩o

求〃和。的极大似然估计量。

12.（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数123456

次数X2020202040一%

若我们使用/检验，则x取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水

平a=0.05下被接受？

13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N（〃Q2）正态分布，

规定每袋标准重量为〃=1kg,方差^《（）.022。某天开工后，为检验其机器工作

是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数

y（x-Y）2=0.008192

据为：均值为亍=。998,无偏标准差为s=0。32,G。

问⑴在显著性水平。=0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准

有显著差异？

（2）在显著性水平。=0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的

标准？

（3）你觉得该天包装机工作是否正常？

14.（8分）设总体X有概率分布

123

取值X,

概率Pi26(1-6)(IS

现在观察到一个容量为3的样本，X=l,々=2,七=1。求。的极大似然估计值?

15.（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和

腐蚀深度丫（毫米）的数据见下表：

X551020304050606590120

Y4681316171925252946

假设y与x之间符合一元线回归模型Y=0O+0\X+£

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平a=O.（）l下，检验"。：氏=°

16.（7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其

五天的日产量

机器IIIIII

138163155

H144148144

产135152159

,SL

里149146141

143157153

现把上述数据汇总成方差分析表如下

方差来源平方和自由度均方和尸比

4352.933

e12

T893.73314

17.（10分）设总体X在（°，。）（6>°）上服从均匀分布，X],…,X〃为其一个

样本，设X（〃）=max{X],…,X”}

⑴X（〃）的概率密度函数P，，（x）⑵求仇'（"J

18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N（〃Q2）正态分布，规定

每袋标准重量为〃=1kg,方差〃某天开工后，为检验其机器工作是否

正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：

0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数

据为：均值为宠=0.998,无偏标准差为s=0.032,在显著性水平a=0.05下，这

天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

19.（10分）设总体X服从正态分布N（〃，〃），X，，X”是来自该总体的一个

_1k

，求统计量%+「3

样本，记k,=1的分布。

20.某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高

（单位：cm）后算得x=175.9,y=172.0；s；=11.3,s；=9.1。假设两市新生

2

身高分别服从正态分布X-N（u,a）,Y-N（u2,/）其中。2未知。试求d

一口2的置信度为。95的置信区间。（to.。25⑼=2.2622,to,期（1D=2.2010）

〈概率论》试题参考答案

一、填空题

1.(1)AU8UC(2)ABC\JABC\JABC

(3)BC\JAC\JAB或ABCUABCUABCUABC

2.0.7,3.3/7,4.4/7!=1/1260,5.0.75,6.1/5