1823正方形课件人教版八年级数学下册

18.2.3正方形第十八章平行四边形导入新课正方形思考

正方形和矩形有什么关系？1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．探究新知思考正方形有哪些性质？

正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有4条对称轴.邻边相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一个角是直角正方形∟正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.知识归纳正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的性质1.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.ABCD练习2.如何从一块长方形木板中裁出一个最大的正方形木板呢？解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。ABCD探究新知正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？思考矩形菱形正方形平行四边形邻边相等有一个直角一组邻边相等有一个直角做一做

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形矩形正方形一组邻边相等或对角线互相垂直矩形满足怎样条件的矩形是正方形？如何判定一个四边形是正方形呢？探究新知已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,

AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO做一做

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角或对角线相等菱形已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO求证：对角线相等的菱形是正方形.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.证明：知识归纳正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角正方形常见的判定方法先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形平行四边形如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，（m）练习连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），AC===40（m）S正方形ABCD=BC2=

（20）2

=800（m2）所以正方形的对角线长40m，面积为800m2.例题与练习例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。ABCDO证明：∵四边形ABCD是正方形。∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.图中共有多少个等腰直角三角形？例2如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．例题与练习练习1．教材P60练习第3题．2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(

)A．14B．15C．16D．17C3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是______．45°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．解：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，由(1)，得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)课堂小结1.四个角都是直角2.四条边都相