高考数学一轮总复习 13.5 独立性、二项分布及其应用题组训练 理 苏教版

第5讲独立性、二项分布及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)的值是________．解析P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(5,16).答案eq\f(5,16)2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.答案0.883．(·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他们不去北京旅游的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________．解析设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，又因为A⊆B，所以P(AB)＝P(A)＝0.6，得P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75.答案0.755．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq\f(1,2).质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(5,16).答案eq\f(5,16)6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．解析设该队员每次罚球的命中率为p(0<p<1)，则依题意有1－p2＝eq\f(16,25)，又0<p<1，∴p＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正确与否均有可能，由相互独立事件概率乘法，所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.答案0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗)．依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案0.72二、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解(1)设“购买甲种保险”事件为A，“购买乙种保险”事件为B由已知条件P(A)＝0.5，P(Beq\x\to(A))＝0.3，∴P(B)P(eq\x\to(A))＝0.3，P(B)＝eq\f(0.3,P\x\to(A))＝0.6，因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝0.2.因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为Ceq\o\al(1,3)×0.2×0.82＝0.384.10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：人数0～67～1213～1819～2425～3031人及以上频率0.100.150.250.200.200.10(1)从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？解(1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70，则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为eq\f(1,2)，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，∴P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－Ceq\o\al(0,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))10－Ceq\o\al(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))9＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10－10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝eq\f(1013,1024)>0.9，故该线路需要增加班次．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(eq\f(,C))P(eq\f(,D))＝eq\f(55,64).答案eq\f(55,64)2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取红球，,1，第n次摸取白球，))如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为____________(不必化简)．解析S7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为eq\f(2,3)，摸到白球的概率为eq\f(1,3).故所求概率为P＝Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5.答案Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))53．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2)，则小球落入A袋中的概率为________．解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,4)，从而P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)二、解答题4．(·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3).假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为eq\f(8,27)，以3∶2胜利的概率为eq\f(4,27).(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝