沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）（附答案）

沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）一、预备定理1．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE=12，则DF等于（）.A．3 B．4 C．6 D．82．如图，由边长为1的小正方形组成的虚线网格中，点A、B、C、D为格点(即小正方形的顶点)，AB、CD相交于点P，则PC的长为．3．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则OAOB=4．如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（）A．75 B．125 C．355．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.（1）如图1，若点E为AB的中点，且BC=3CD，求EFFD（2）如图2，若BC=CD，AE=EF，且∠BED=60°，求BE与CF的数量关系；（3）如图3，若CD=2BC=4，BE=2AE，且∠BED=23∠ACB=60°二、两角分别相等(AA)6．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=6，AD=4，CE=1．

（1）求证：△AFD∽△DCE．（2）计算点A到直线DE的距离为．7．如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边CB、AC的延长线上，且∠DAB=∠EBC，EB的延长线交AD于点F．

（1）求证：△DBF∽△EBC；（2）如果AB=BC，求证：EC8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．9．如图，在△ABC中，D是边AB上一点.（1）当∠ACD=∠B时，①求证：△ABC∽△ACD；②若AD=1，BD=3，求AC的长；已知AB=2AC=2AD，若CD=2，求10．如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点上，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G．

（1）求证：△DFG∽△FAD；（2）若菱形ABCD的边长为5，AF=3，求BE的长．三、两边成比例且夹角相等（SAS）11．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB12．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.已知AE=3，13．如图，∠ABD=∠BCD=90°，BD平分∠ADC，点M为AD的中点，连接CM交BD于点N．（1）求证：B（2）求证：BM（3）若CD=6，AD=8，求MN的长．四、相似综合判定14．如图，ΔABC中，∠C=80∘，AC=4，BC=6.将A．①②③ B．②③④ C．①② D．④15．如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD=∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACGC．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE16．如图，正方形ABCD的边长为12，点E为BC边上一点，BE=4，点F为CD边上一动点，连接BF、DE交于点G，连接AG，当AG=BG时，则FG的长为（）A．92 B．103 C．13217．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一动点，下列条件中，能得到△ABP与△ECP相似的是（）A．ABCE=BPCP B．P是BC的中点 C．18．如图所示，G是△ABC的重心，有下列结论：①DGGB=12；②AEAB=EDBC；五、折叠问题（相似综合）19．如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=23，点E、F分别在AD、BC上，把纸片按如图所示的方式沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接AA'并延长交线段CD于点G，G为线段CD中点，则线段20．如图，一张矩形纸片ABCD中，BCAB=m（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且CPCD21．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．（1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则GEGD=（2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；（3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．六、阅读理解型（相似相关）22．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH=ℎ，AB=c，若内接正方形DEFG的边长是x，则ℎ、c、x的数量关系为（）x2+ℎ2=c² B．123．从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图②，在△ABC中，AC=3，BC=3，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD24．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，

∴AD∥BC，CE=12BC，

∴△ADF∽△CEF，

∴EFDF=CEAD=12，

∴12−DFDF=2．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得：

CD=12+22=5

由图可知，点E是CD的中点

∴EC=12CD=52，BE=32

∵AC∥BE

∴△APC~△BPE

3．【答案】4【解析】【解答】延长CD交网格线于点E，如图所示：

∵AC//BE，

∴△AOC∽△BOD，

∴OAOB=ACBE=45，

故答案为：4．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，

∴OM∥AB∥CD，

∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，

∴OMAB=CMCB，OMCD=BMBC，

∴OMAB+OMCD=CM+BMBC=1

∵AB=4，CD=6，

∴OM=125，

∵EF⊥BC，

∴EG∥AB∥CD，

∵点E是BD的中点，

∴BE=DE，

∴BG=CG，

∴CF=AF，

则EC=5．【答案】（1）解：作EG∥AC交BC于G∴BEEA∵AE=BE，∴BG=CG=1∵BC=3CD，即CD=1∴（2）解：作CM∥AB交DE于M，MN⊥AC于N，∵AE=EF，且∠BED=60°，∴∠A=∠AFE=30°，∠MFC=∠AFE=30°∵CM∥AB，∴∠MCF=∠A=30°，∴∠MFC=∠MCF=30°，∴CN=FN=3MN，MC=2MN，∴CF=3∵BC=CD，CM∥AB，∴BECM∴CF（3）3【解析】【解答】解：（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，∵∠BED=2∴∠ACB=90°，∴EG∥AC，∴CGBG∵CD=2BC=4，∴BC=2，CG=23，BG=4设GE=b，AE=a，则BE=2a，∵∠BED=60°，∴BH=3tanD=EGDGDH=14b2+(解得，a2=21±2496∵EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴EGAC∴AC=33【分析】（1）作EG∥AC交BC于G，根据平行线分线段成比例先得出BG=CG=12EFFD=GCCD，据此即得结论；

（2）作CM∥AB交DE于M，MN⊥AC于N，证得∠MFC=∠MCF=30°，根据直角三角形的性质得出CN=FN=3MN，MC=2MN，从而得出CF=3CM，继而得出结论；

（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，根据平行线分线段成比例看额求出BC、CG、BG、DG的长，设GE=b，AE=a，则得出EGAC6．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=6，BC=AD=4，

∴DE=CD2+CE2=37，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD=∠C=90°，

∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠CDE=90°，（2）24【解析】【解答】解：（2）∵矩形ABCD，AB=6，

∴DC=AB=6，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得：DE=DC2+CE2=17，

∵△ADF∽△DCE，

∴AFDC=ADDE，

∴AF6=417，

∴AF=2417=7．【答案】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ABC、∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，

∴∠ABC=∠DAB+∠D，∠ACB=∠EBC+∠E，

∵∠DAB=∠EBC，

∴∠D=∠E．

又∠DBF=∠EBC，

∴△DBF∽△EBC．（2）证明：∵∠DBF=∠EBC，∠DAB=∠EBC，

∴∠DBF=∠DAB．

∵∠D=∠D，

∴△DBF∽△DAB，

∴DBDA=DFDB，

即DB2=DA⋅DF．

在△ADB和△BEC中，

∠D=∠E∠DAB=∠EBCAB=BC，

【解析】【分析】（1）根据三角形的外角求出∠ABC=∠DAB+∠D，∠ACB=∠EBC+∠E，再利用相似三角形的判定方法证明求解即可；

（2）根据题意先求出△DBF∽△DAB，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。8．【答案】证明：∵BE=BC∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵∠ABC=90°，∴∠D=∠ABC，∴△ADE∽△ABC．【解析】【分析】先求出∠C=∠BEC，再求出∠D=∠ABC，最后证明求解即可。9．【答案】（1）.解：①证明：∵∠ABC=∠ACD，∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD；②∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=ABAC，即A（2）解：由题意，∵AB=2AC=2AD，∴ABAC=∴△ABC∽△ACD，∴ABAC=BCCD=2.【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。

（1）根据∠ABC=∠ACD和∠BAC=∠CAD可知△ABC∽△ACD；②根据△ABC∽△ACD得ACAD=ABAC，可知AC长；

（2）根据AB=2AC=2AD得ABAC=ACAD10．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠A=∠BCD，

由对称知，∠DFG=∠BCD，

∴∠A=∠DFG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB//CD，

∴∠AFD=∠FDG，

∴△DFG∽（2）解：由翻折知：DC=DF=5，

∵△DFG∽△FAD，

∴DGDF=DFAF=FGAD，即DG5=53=FG5，

∴DG=253=FG，

∴CG=DG−DC=103，

∵AB=5，AF=3，

∴BF=2，

∵CG//【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出CD∥AB，∠A=∠BCD，根据折叠的性质可得∠DFG=∠BCD则∠A=∠DFG，根据平行线的性质可得∠AFD=∠FDG，即可得证；

（2）根据相似三角形的性质求得CG，进而根据CE=511．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；

B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；

C、∵∠A=∠A，APAB=ABAC，

∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；

D、∵∠A=∠A，APAB=【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.12．【答案】解：∵AE=3，EC=1，AD=2，BD=4，

∴AC=4，AB=6，

∴AEAB=12，【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，由相似三角形对应角平分线的比等于相似比可得AFAG13．【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴∴BD（2）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠MDB=∠BDC，∵∠ABD=90°，M为AD中点∴BM=DM，∴∠MBD=∠MDB，∴∠MBD=∠BDC，∴MB∥CD（3）解：∵BM∥CD∴∠MBD=∠BDC∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°∴BM=MD，∠MAB=∠MBA∴BM=MD=AM=4∵BD2=AD⋅CD，且CD=6∴BD∴B∴M∴MC=2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴BMCD∴MN=4【解析】【分析】（1）根据角平分线求出∠ADB=∠CDB，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；

（2）根据角平分线求出∠MDB=∠BDC，再求出BM=DM，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；

（3）根据平行线的性质求出∠MBD=∠BDC，再求出BD14．【答案】A【解析】【解答】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．故答案为：A．【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．15．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，故A不符合题意；∵AG平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAG．∵∠AED=∠CAG+∠ACD，∠AGC=∠DAE+∠B，∴∠AED=∠AGC，∴△ADE∽△ACG，故B不符合题意；∵∠CAE=∠BAG，∠ACD=∠B，∴△ACE∽△ABG，故C不符合题意；在△ADE和△CGE中只有∠AED=∠CEG，不能证明△ADE∽△CGE，故D符合题意．故答案为：D．

【分析】由∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，可证△ACD∽△ABC；由角平分线的定义可得∠DAE=∠CAG，再利用三角形外角的性质可推出∠AED=∠AGC，根据两角分别相等可证△ADE∽△ACG；由∠CAE=∠BAG，∠ACD=∠B，根据两角分别相等可证△ACE∽△ABG，继而判断即可.16．【答案】D【解析】【解答】解：过点G作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N，

∵AG=BG，

∴M是AB的中点，

∴AM=12AB=6=DN，EC=BC−BE=8，

∵MN⊥DC，BC⊥CD，

∴MN//BC，

∴△DGN∽△DEC，

∴GNEC=DNDC，

∴GN8=612，

∴GN=4，

∵MN//BC，

∴△FGN∽△FBC，

∴FNFC=GN17．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵ABCE=BPCP，∴△ABP∽△ECP，∴A符合题意；

B、∵正方形ABCD，P是BC的中点，E是CD的中点，∴PB=PC=CE，∴△PCE是等腰直角三角形，△ABP不是等腰直角三角形，∴△ABP与△ECP不相似，∴B不符合题意；

C、∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵∠BAP=∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∴C符合题意；

D、∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=90°，∵AB：BP=3：2，∴设AB=3a，则BP=2a，PC=a，CE=1.5a，∴ABBP18．【答案】①②③【解析】【解答】解：∵点G是△ABC的重心，

∴BG=2DG，CG=2DG，

∴DGGB=EGGC=12，故①正确；

∵DGGB=EGGC=12，∠EGD=∠CGB，

∴△BCG∽△DEG，故③正确；

∴∠BCE=∠DEC，

∴ED∥BC，

∴△AED∽△ABC，

∴AEAB=EDBC，故②正确；故答案为：①②③.【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得DGGB=EGGC=12，结合∠EGD=∠CGB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCG∽△DEG，由相似三角形对应角相等得∠BCE=∠DEC，推出ED∥BC，再根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得AE19．【答案】57【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，设AG与EF交于点M，如图，

在矩形ABCD中，AB=23，G是CD的中点，

∴DG=12CD=12AB=3，

在Rt△ADG中，AD=4，

∴AG=AD2+DG2=42+32=19，

∵折叠，

∴AG⊥EF，

∴∠AEM+∠DAG=∠AGD+∠DAG=90°，

∴∠AEM=∠AGD，

在△FEH和△AGD中，

∠FEH=∠AGD∠FHE=∠ADG=90°

∴△FEH∽△AGD，

∴EF20．【答案】2【解析】【解答】解：∵CPCD=14，矩形ABCD，

∴设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵点H是BC的中点，

∴BC=2CH=2BH，

∵将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．

∴∴∠CPH=∠BHE，

∴△CPH∽△BHE，

∴CHBE=CPBH即12BCBE=x12BC

解之：BC2=4xBE，

∵AE=AB-BE，AE=EH=4x-BE，

在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2，

∴（4x-BE）2=BE2+（12BC）2，

∴（4x-BE）2=BE2故答案为：23【分析】利用已知条件，设CP=x，则CD=AB=4x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，利用线段中点的定义可证得BC=2CH=2BH；利用折叠的性质可证得∠EHM=90°，AE=EH，利用余角的性质可得到∠CPH=∠BHE，由此可推出△CPH∽△BHE，利用相似三角形的性质可表示出BC2，同时可表示出AE的长；再利用勾股定理可表示出BE，BC的长；然后求出m的值.21．【答案】（1）2（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，∴∠PCD=∠B，∵∠CPD=∠BPC，∴△CPD∽△BPC，∴DPCP设DP=5k，CP=8k，∵CP2=PD•PB，∴64k2=5k（5k+5），∴k=2539∴PD=5k=125（3）解：①如图③-a，当∠FMD=90°时，∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，∴△FDM∽△BAC，∴DFAB∴510∴DM=3，∴CM=CD-DM=2，∵∠ECM=∠B，∴∠CME=∠ACB=90°，∴△CEM∽△BAC，∴CEAB∴CE10∴CE=52∴BE=112如图③b，当∠FDM=90°时，∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，∴∠CEM=∠FDM=90°，∴∠FED=∠BED=45°，作DH⊥BC于H，则△BDH∽△BAC，∴DBBA∴510∴DH=3，BH=4，∴EH=DH=3，∴BE=3+4=7．综上所述，BE=112【解析】【解答】（1）解：连接CD，∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，∴AB=82∵点D是AB边上的中点，∴CD=BD=12∴∠DCB=∠B，∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴∠F=∠B，EF=EB=2，∵∠CGD=∠FGE，∴△CDG∽△FEG，∴EGDG故答案为：25

【分析】（1）连接CD，由勾股定理求出AB=10，由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD=12AB=5，利用等边对等角可得∠DCB=∠B，由折叠可得∠F=∠B，EF=EB=2，证△CDG∽△FEG，利用相似三角形的性质即可求解；

（2）证明△CPD∽△BPC，可得DPCP=CPBP=CDBC=522．【答案】D【解析】【解答】解：设CH交GF于点M，由题意可得：

GF∥DE，∠GDE=∠DGF=90°

∴△CGF~△CAB

∴GFAB=CMCH

∵CH⊥AB

∴∠DHM=90°

∴四边形DHMG是矩形

∴DG=MH

∵CH=h，AB=x，正方形DEFG的边长是x

∴MH=x

∴CM=CH-MH=h-x

∴xc=ℎ−xℎ

∴xc=1−23．【答案】（1）证明：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∴∠AC