2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练一、基本技能练1.已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(1，eq\r(3))，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为()A.2 B.eq\f(\r(3),2)C.1 D.eq\r(3)2.已知eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,t)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(4\o(AC,\s\up6(→)),|AC|)，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最大值等于()A.13 B.15C.19 D.213.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则()A.若θ确定，则|a|唯一确定B.若θ确定，则|b|唯一确定C.若|a|确定，则θ唯一确定D.若|b|确定，则θ唯一确定4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形的剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是()A.[6，12] B.[6，16]C.[8，12] D.[8，16]5.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，2\r(2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，2\r(2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2))6.在△ABC中，点D满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，且CD⊥CB，则当角A最大时，cosA的值为()A.－eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5\r(34),34)7.已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\r(3)－1 B.2eq\r(2)－1C.2eq\r(3)－1 D.eq\r(7)－18.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))的最小值为()A.－4 B.4C.无最小值 D.09.在菱形ABCD中，∠BAD＝eq\f(2π,3)，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值为________.10.已知平面向量a，b是单位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝eq\r(5)，则|c＋2a|的取值范围是________.11.若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，则a与a＋b的夹角的取值范围是________.12.在△ABC中，点D满足BD＝eq\f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.二、创新拓展练13.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最大值为()A.18 B.24C.36 D.4814.已知等边△ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为________.15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))的最小值为________.16.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq\r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案C解析由题意可得λa－b＝λ(eq\r(3)，1)－(1，eq\r(3))＝(eq\r(3)λ－1，λ－eq\r(3))，所以，|λa－b|2＝(eq\r(3)λ－1)2＋(λ－eq\r(3))2＝4λ2－4eq\r(3)λ＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋1，故当λ＝eq\f(\r(3),2)时，|λa－b|取得最小值1.2.答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，0))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(4\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，0))＋eq\f(4,t)(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)＝17－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq\r(\f(1,t)·4t)＝13，当且仅当t＝eq\f(1,2)时等号成立，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.3.答案B解析由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，令f(t)＝(b－ta)2，即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，则对于任意实数t，f(t)的最小值为eq\f(4a2·b2－（2a·b）2,4a2)＝eq\f(4a2b2－（2|a||b|cosθ）2,4a2)＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.4.答案C解析eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4，因为|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[2eq\r(3)，4]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是[8，12].5.答案A解析依题意得，△ABC的外接圆半径R＝eq\f(1,2)·eq\f(BC,sin45°)＝eq\r(2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，如图所示，因B为锐角，故A只能在弧A1C上(端点除外)，当A在A2位置时，eq\o(OA2,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，此时eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))有最大值2eq\r(2)，当A在A1位置时，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2，此时为最小值，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，2\r(2))).故选A.6.答案C解析由题意，作出示意图如图所示，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).又eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，CD⊥CB，所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(5,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(5,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(CA,\s\up6(→))|cosA＝0，所以cosA＝eq\f(|\o(CA,\s\up6(→))|2＋\f(1,4)|\o(AB,\s\up6(→))|2,\f(5,4)|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\f(4AC2＋AB2,5AB·AC)≥eq\f(2\r(4AC2·AB2),5AB·AC)＝eq\f(4,5)，当且仅当AB＝2AC时取等号，故选C.7.答案C解析因为|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝12，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，由平面向量模的三角不等式可得|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))|≥||eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))||＝2eq\r(3)－1.8.答案A解析如图所示，建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4，因此，当x＝y＝1时，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))取得最小值为－4.综上，故选A.9.答案eq\f(3,2)解析设eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝t，0≤t≤1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋teq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AD,\s\up6(→)))·[(1－t)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))]＝(1－t)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋teq\o(AD,\s\up6(→))2＋(1＋t－t2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2t2－2t＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)，因为0≤t≤1，所以当t＝eq\f(1,2)时，2t2－2t＋2取得最小值eq\f(3,2)，即eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值为eq\f(3,2).10.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6\r(5),5)，3))解析由题意，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，因为|c－a|＋|c－2b|＝eq\r(5)，即eq\r(（x－1）2＋y2)＋eq\r(x2＋（y－2）2)＝eq\r(5)，所以由几何意义可得，点P(x，y)到点A(1，0)和点B(0，2)的距离之和为eq\r(5).又|AB|＝eq\r(5)，所以点P在线段AB上，且直线AB的方程为2x＋y－2＝0.因为|c＋2a|＝eq\r(（x＋2）2＋y2)表示点P到点M(－2，0)的距离，又点M到直线AB的距离为eq\f(|2×（－2）－2|,\r(1＋4))＝eq\f(6\r(5),5)，此时，点M到直线AB垂线的垂足在线段AB上，|MA|＝3，|MB|＝2eq\r(2)，所以|c＋2a|的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6\r(5),5)，3)).11.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))解析根据题意，设|a＋b|＝t，则|a|＝|b|＝λt，设a与a＋b的夹角为θ，由|a＋b|＝t，得a2＋2a·b＋b2＝t2，又|a|＝|b|，所以a2＋a·b＝eq\f(t2,2)，所以cosθ＝eq\f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq\f(a2＋a·b,λt×t)＝eq\f(\f(t2,2),λt2)＝eq\f(1,2λ).又λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，则eq\f(1,2)≤cosθ≤eq\f(\r(2),2)，又0≤θ≤π，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).12.答案eq\f(9,10)解析如图所示，△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，又点E在线段AD上移动，设eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AD,\s\up6(→))，0≤k≤1，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(k,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3k,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(k,4)，,μ＝\f(3k,4)，))∴t＝(λ－1)2＋μ2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,4)－1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5k2,8)－eq\f(k,2)＋1，0≤k≤1，∴当k＝eq\f(2,5)时，t取到最小值，最小值为eq\f(9,10).二、创新拓展练13.答案C解析骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(－4，0)，B(－2，2eq\r(3))，C(2，2eq\r(3))，圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋eq\r(3)cosα，eq\r(3)sinα)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6，2eq\r(3))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(6＋eq\r(3)cosα，eq\r(3)sinα－2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6(6＋eq\r(3)cosα)＋2eq\r(3)(eq\r(3)sinα－2eq\r(3))＝6eq\r(3)cosα＋6sinα＋24＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα＋\f(\r(3),2)cosα))＋24＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋24，易知当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1时，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最大值36.14.答案－5－2eq\r(3)解析设等边△ABC的边长为a，则面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为M为△ABC的内心，所以点M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，得点N在以M为圆心，1为半径的圆上.设N(x，y)，则x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq\r(3)y－11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)－1)－11＝－5－2eq\r(3).15.答案1eq\f(11,20)解析设BE＝x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq\r(3)x，DC＝1－2x.∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴(2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝4eq\o(BE,\s\up6(→))2＋4eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，∴|2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1.∵(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＝eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)x)2＋0＋0＋(1－2x)·(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,10)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,20)，所以当x＝eq\f(3,10)时，(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))取最小值为eq\f(11,20).16.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq\r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________.答案eq\f(28,29)解析法一设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)，2e1－e2＝(2－x，－y)，故|2e1－e2|＝eq\r(（2－x）2＋y2)≤eq\r(2)，得(x－2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，则(x－2)2＋1－x2≤2，化简，得4x≥3，即x≥eq\f(3,4)，因此eq\f(3,4)≤x≤1.cos2θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a|·|b|)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(（x＋1）（x＋3）＋y2,\r(（x＋1）2＋y2)\r(（x＋3）2＋y2))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(