高三-高考理科数学真题

1.设集合”=卜,-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则4n8=

2.设O+i)x=l+W,其中x,尸实数，贝胪+我|=

A.1

B.72

C.拈

D.2

3.已知等差数列也}前9项的和为27,%=8,则%0=

A.100

B.99

C.98

D.97

4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到

达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不

超过10分钟的概率是

D.J

5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为

m+n3m-n

4,则刀的取值范围是

A.(1,3)

B.(-L@

C.(0,3)

D.(o,>/3)

6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

垂直的半径.若该几何体的体积是等，则它的表面积是

A.17兀

B.1既

C.20万

D.284

7.函数卜=”一朋在［-2,2］的图像大致为

8.若a>6>L0<c<l,则

A.ac<be

B.abc<ba

C.alog,c<61ogac

D.logfl<<loghc

9.执行右面的程序框图，如果输入的x0,y=\,〃=1,则输出X,P的值满

足

I开:]

输入*J,"，/

|n=n+l|LX+了，y^ny

解束

A.y=2x

B.y=3r

C.J=4x

D.y=5x

10.以抛物线。的顶点为圆心的圆交。于/、方两点,交。的准线于A

£两点.已知I四|=4c，|应7及5则。的焦点到准线的距离为

11.平面a过正方体/a7匕4«。〃的顶点A,a〃平面CBD,al平面

ABCS平面ABBA=n,则勿、〃所成角的正弦值为

B.当

C,皂

D.

12.已知函数/（外=8皿标+以0＞。,闸4|^》=-?为/（x）的零点，x=:为

”/⑴图像的对称轴，且〃x）在径，当单调，则。的最大值为

A.11

B.9

C.7

D.5

填空题（本大题共4小题，每小题一

分，共一分。）

13.设向量3=5,1）,炉（1,2）,且I（3+引三|a|2+|*,则2ZF.

14.3+6）5的展开式中，发的系数是—.（用数字填写答案）

15.设等比数列｛4｝满足a+a=10,a+&=5,则aa…a的最大值为.

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生

产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件

产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A

的利润为2100元生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材

料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、

产品B的利润之和的最大值为一元.

简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题

分，共一分。）

A/tffC的内角A,B,。的对边分别为a,b,C,已知2cosc(acos8+6cosZ)=c.

17.求C：

18.若c=",A/<5C的面积为竽，求口处的周长.

如图，在以4氏歹为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，A芹2FD,

4F£)=90。，且二面角万石与二面角已册分都是60。.

19.证明：平面/跳KL平面笈叨C；

20.求二面角E-BC-A的余弦值.

某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易

损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.

在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购

买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机

器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零

件数发生的概率，记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃

表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

21.求x的分布列;

22.若要求P(X4〃)N0.5,确定〃的最小值;

23.以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在M=19与〃=20之中

选其一，应选用哪个？

设圆》2+/+标-15=0的圆心为4直线/过点B(1,0)且与X轴不重

合，/交圆/于C〃两点,过方作/C的平行线交加于点E.

24.证明的|+|班为定值,并写出点£的轨迹方程；

25.设点片的轨迹为曲线C,直线/交G于"N两点，过月且与/垂直的

直线与圆力交于A0两点,学.科网求四边形/仍图面积的取值范围.

已知函数/(x)=(x-2)/+a(x—l)2有两个零点.

26.求a的取值范围；

27.设木,X,是/(X)的两个零点，证明：阳十三<2.

请考生在以下3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,

做答时请写清题号

【选修4T：几何证明选讲】(请回答28、29题)

如图，△如夕是等腰三角形，//娇120°.以。为圆心，;如为半径作圆.

【选修4—4：坐标系与参数方程】(请回答30、31题)

在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为(方为参数,a>

0).

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G夕二4

cosO.

【选修4—5：不等式选讲】(请回答32、33题)

已知函数〃力=|1+1卜|2*-3].

28.证明：直线48与口。相切；

29.点在。。上，且4瓦C〃四点共圆，证明：AB//CD.

30.说明G是哪一种曲线,并将。的方程化为极坐标方程；

31.直线G的极坐标方程为。=4,其中％满足tana°=2,若曲线。与C的

公共点都在G上,求a.

32.在答题卡第(24)题图中画出y=/(1)的图像；

33.求不等式|/卜)|〉1的解集.

答案

单选题

1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.D8.C

9.C10.B11.A12.B

填空题

13.

14.

io

15.

64

16.

216000

简答题

17.

18.

5+y/l

19.

见解析

20.

2则

19

21.

16Q17。18。19。20。21。22。

0.20.08

PP0.04P。。

0.160.240.24~30.04c

22.

19

23.

w=19

24.

—+—=i(y*o)

43

25.

[12,84)

26.

(0,+oo)；

27.

见证明。

28.

见解析

29.

见解析

圆，p-2〃0口。+1-。=0

31.

1

32.

|||||||F|||||||

|口；_|

33.

（9,加。，3）U（5,+a））

解析

单选题

1.

试题分析：因为介付，-4x+3<。｝=卜|1<*<3卜8=.中>|>，所以

A^\B=|xl<x<310,x|x>1-l=1x||-

<x<3，，故选D。

2.

因为x(“O=l+yi,所以x+xi=l+Wi=ly=x=l,|x+W|=|l+i|=Vi,故选B.

3.

试题分析：由已知，产二^了,所以4=_]/=],/0=4+9%=_1+99=98,故

选C.

4.

试题分析：如图所示，画出时间轴：

7:307:407:508:008:108:208:30

ACDB

小明到达的时间会随机落在途中线段加中，而当他的到达时间线段

公或少时，才能办证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，

所求概率尸=曙弓，故选B.

5.

22

试题分析：~4--------9=1表示双曲线，贝1」(*4〃乂3*_")>()

222

-m<n<3m,由双曲线性质知:c=(H2+n)+(3/n2-n)=4m2,其中c是半

焦距

；・焦距为=2-2网=4,解得网=1,/.-l<n<3,故选A.

6.

试题分析：该几何体直观图如图所示:

是一个球被切掉左上角的;，设球的半径为R,则v=3*R3=等，解得

R=2,所以它的表面积是:的球面面积和三个扇形面积之和

O

S1x4)x2?+3x,〃x22=17乃故选A.

84

7.

试题分析：函数〃幻=汇-/在卜2,2］上是偶函数，其图像关于了轴对称,

因为/⑵=8-e2,0<8-e?<l,所以排除45选项；当xe［0,2］时，/=4x-/有

一零点，设为不，当xe(0,x°)时，/(x)为减函数，当xe(%,2)时，f(x)为

增函数.故选D.

8.

试题分析：用特殊值法，令"3,6=2,c=g得3；>2；，选项A错误，

3x2：>2>:3；，选项B错误，310g2；<21呜2,选项C正确，log3|>log2i,选

项D错误，故选C.〜

9.

试题分析：当x=o,y=l,〃=l时，x=0+—,J=1X1=1,不满足，+/236；

2_]]一口j3_]3

zi=2,x=C+-----=—,y=2x1=2,不满足x2>36；”=3/=F------=—,y=2x3=6,

22222

满足，“、36；输出x=|,y=6,则输出的XJ的值满足y=4x,故选C.

10.

试题魁析：如图，设抛物线方程为/=2px,四普交x轴于q尸点，则

AC=2&A2>/2A-OC=-

,即点纵坐标为，则点横坐标为〃，即J省勾股

221222122

DF+OF=DO=rAC+OC=AO=r（后+（守=（2扬?+（_）

定理知=4,，即2P,

解得〃一，即。的焦点到准线的距离为4,故选B.

11.

试题分析：如图，设平面C4〃n平面/BCD=M,平面C%An平面〜4

二〃因为a〃平面C4A,所以m//M,〃〃才,则风〃所成的角等于田”所

成的角，延长过4作。也/图。，连接。区5四，则a为力，同理郎;

为〃而BD//CE，M〃AB,则所成的角即为48,即所成的角，即为

60。，故凡〃所成角的正弦值为半，选A.

2

12.

4/=?为/⑶图像的对称轴，所以

----()=—vkl——=------T=---0=42+1("犷)，(x)

4----44，即2「,所以，又因为

n5万乃乃

在而与­=­a)<12。

单调，所以3618—12功，即,由此的最大值为9.

故选B.

填空题

13.

试题分析:由|“+奸=|。『+|。『,得示口，所以mxl+lx2=0,解得m=-2.

14.

试题分析：(2x+6y的展开式通项为C；(2x)"y(Jxy1=0,12…5)，

令5->3得r=4,所以V的系数是2c=10.

15.

试题分析：设等比数列的公比为小由卜得卜0解得

=5[qqQ+g)=5

%=8"1)1j7

•1.所以心…。小片夕―=8"x(3丁=22'2",于是当〃=3或4时，

[^=22

4勺…4取得最大值26=64.

16.

试题分析：设生产产品4、产品3分别为X、n件，利润之和为z元,那

么

15x+Q5a5Q

x+0.3y<9Q,

-5x+3y<60Q,①

y>0.

目标函数z=2100x+900y.

二元一次不等式组①等价于

3x+y<300,

10x+3y<900,

.5x+3yW600,②

x>0,

y>0.

作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.

iy

京5x+3y=600

o

3x♦尸38

2100x+90(h=z

110/3产900

将z=2100x+900y变形,得y=_*+急，平行直线丁=-彳，当直线蚱一白+会

经过点M时，z取得最大值.

解方程组膘卓瑞\得”的坐标(6。,】。。).

所以当工=60,”100时，Zin„=2100x60+900x100=216000.

故生产产品八产品3的利润之和的最大值为216000元.

简答题

17.

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要

掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

2cosc(acos8+bcos4)=c

由正弦定理得：2cosC(sin/l-cos5+sin/J-cos/l)sinC

2cosc•sin(/I♦8)=sinC

*/4+B+C二方,A、"、CG(O,n)

sin(J+B)=sinC>0

，2cosc=1,'cosC=2-

*/CG(0,元)

••・唱

18.

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要

掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

由余弦定理得：c?=，+/一2如8sC

7=，+62-2ab--

2

(a+b>-3必二7

人sinc&*

242

二•ab—6

.二(4+6)2-18=7

a^b=5

/SJIBC周长为a+b+c=5+，7

19.

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌

握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由已知可得AFIDF,AF_FE,所以AF1平面EFDC.

又AFu平面ABEF,故平面ABEF_L平面EFDC.

20.

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌

握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

过D作DG_LEF,垂足为G,由（I）知DGJ.平面ABEF.

以G为坐标原点，而的方向为x轴正方向，|词为单位长度,建立如图所

示的空间直角坐标系G-斗.

由(I)矢口/DFE为二面角D-AF-E的平面角，故NDFE=60,，贝lJ|DF|=2,

10Gl=3,可得A(L4,O),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(O,O,G).

由已知，AB//EF,所以AB//平面EFDC.

又平面ABCDfl平面EFDC=DC,故AB//CD,CD//EF.

由BE〃AF,可得BE_L平面EFDC,所以NCEF为二面角C-BE-F的平面角,

ZCEF=6l)°.从而可得C(-2,0,^).

所以反=卜,0,6),EB=(O,4,O),公=(-3,工#)，AB=(-4,O,O).

设”(x,y,z)是平面BCE的法向量，则

日京=0x+后z=0

亦丽=0’4y=0

所以可取为=（3,0,力）.

旦m-AC=0

设m平面ABCD的法向量，财

m-AB=0

003

同理可取而=（。，3,4）.则〈沆玩〉=向病=一4^・

故二面角E-BC-A的余弦值为—呼.

21.

试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考

查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单

题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件4为第一台机器3年内换掉i+7个零件（i=I23,4）

记事件”为第二台机器3年内换掉i+7个零件（i=123,4）

由题知P（4）=P（4）=P（4）=P（4）=P（%）=P（4）=0.2,尸（%）=p（%）=04

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为％,则x的可能的取

值为16,17,18,19,20,21,22

P[X=16）=尸（4）P（4）=02x0.2=0.04

P（X=17）=尸（4）尸（5j+P（4）尸（4）=02x04+04x02=016

P（X=18）=P（4）尸（瑞）+P（4）P（鸟）+P（4）P（4）=02X0.2+0.2x0.2+0.4x0.4=0.24

P（X=19）=P（4）尸（乙）+尸（4）尸（叫）+尸（4）P（fiJ+P（4）尸（4）=02x0.2+0.2x0.2+04x02

10.2x0.4=0.24

P（X=20）=P（4）P（氏）+尸（4）P（用）+尸（4）尸（叫）=04x0-2+0一2x04+0.2x0.2=02

P（x=21）=尸（4）尸（也）+尸（4）尸（属）=0.2x0.2+02x0.2=008

尸（X=22）=P（4）尸（纥）=0.2x0.2=0.04

所以X的分布列为

16「17~18。1%20~2222。

0.20.08

尸20.040.16p0.240.24—0.04，

。。3

22.

试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考

查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单

题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

由(I)知P(X<18)=0.44,P(XK19)=0.68,故〃的最小值为19.

23.

试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考

查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单

题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当〃=19时，Er=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+09x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

当〃=20时,

EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

可知当“19时所需费用的期望值小于〃=20时所需费用的期望值,故应

选〃=19.

24.

试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易

得分，解析如下：

因为|叫冒4。|,EB〃AC,故ZEBD=ZACD=AADC,

所以|知HE0,故|以|+|网耳"HEDH3I.

又圆/的标准方程为(xMy+/=16,从而［4。|=4,所以|M+|即=4.

由题设得次TO),B(1,O),|4B|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

—+—=i(y*o).

43

25.

试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易

得分，解析如下：

当/与X轴不垂直时，设」的方程为歹=%0-1)(h0),乂)，NG，yJ.

y=k(x-l)

由｛x?/得(4/+3)--8A巳+4〃-12=0.

---+---=1

143

同X+X-工工一*12

川玉2-破+3,咕―4必+3,

所以|A/N|="|x1Tzi=第¥.

4K+3

过点次助且与/垂直的直线叫y=Y(x-l),4到m的距离为《;所以

k41

母子.故四边形MW0的面积

S=；|砌|尸0|=12b+岛.

乙丫*TA.I"J

可得当/与X轴不垂直时，四边形面积的取值范围为口2,8。).

当/与x轴垂直时,其方程为“1,|9|=3,|尸0|=8,四边形的面积为

12.

综上，四边形MW。面积的取值范围为口2,8力).

26.

试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分,

解析如下：

(I)yW=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-lXex+2a).

(i)设30,则〃x)=(x-2育，/Q)只有一个零点.

(ii)设4>0,贝|J当xe(Y),l)时，八x)<0；当xe(l,中»)时，「(x)>0.所以

/(x)在(田,1)上单调递减,在(1,内)上单调递增.

又/(1)=Y,/(2)=%取6满足b<0且b<ln],则

/(6)>^(i-2)+a(6-l)2=a(62-^6)>0,

故/(x)存在两个零点.

(iii)设。<0,由/3=。得x=l或x=hi(-2a).

若°2-|,则ln(-2a)Wl,故当xe。-吐/⑺>0,因此在(L+®)上单调递

增.又当xKl时，〃x)<0,所以/(x)不存在两个零点.

若。<一],则ln(-2a)>l,故当xe(l,ln(-2a))时，/«)<0；当xe(ln(-2a),+a))时，

l(x)>0.因此/(X)在(l,h(-2a))单调递减，在(ln(-2a),E)单调递增.又当

时，/(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上，。的取值范围为电长)).

27.

试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分,

解析如下：

由已知得：/&）=/（9）=0,不难发现%W1,。翅,

（玉_2”=6_2）*

故可整理得:-a=

（$-1）2（弓T）'

设g（力冒〉则汆）一⑸

那么,（加钾*当I时,g什。，g⑴单调递减;当Z时,

g1x）＞0,g（x）单调递增.

设山＞0,构造代数式:

尸学仪斗训

设“伽）=宗:"+1，m>Q

tnIi

2加2

则"故皿）单调递增，有七）＞㈣=。.

因此，对于任意的m＞。，g（l+m）＞g（l-m）.

由g&）-以j）可知菁、%不可能在g（x）的同一个单调区间上，不妨设不＜三,

则必有占＜1y

令m=lf＞0,贝lj有g[l+（l-、）]＞g[l-（"凝）]08（2-%）＞8（%）=8缶）

而2-玉＞1,g（x）在。,m）上单调递增，因此：8（2-2）＞8（4）。2-%＞马

整理得：苍+0＜2.

28.

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关

圆的知识，即可解决本题，解析如下：

设E是/出的中点，连结期,

因为04=08,4(08=120。，所以。笈,加，ZAOE=GO°.

在用A/1曲中，。£=；*，即。到直