自考线性代数历年真题

2009年7月高等教育自学考试全国统•命题考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：在本卷中，/T表示矩阵/的转置矩阵；/表示/的伴随矩阵；RU）表示矩阵

N的秩；⑷表示N的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1.设4B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不感辛的是（）

A.(.A+B)T=AT+BTB.\AB\=\A\\B\

C.A(B+C)=BA+CAD.(AB)T=BTAT

2.已知=()

A.B.

C.-6D.12

3.若矩阵力可逆，则下列等式成立的是（)

A=-^—A*

A.B.⑷=0

Ml

C.U2)d=(T)2D.(3Z)/=34]

41

31-202-1

4.若力=，B=-23，则下列矩阵运算的结果为3X2的矩

1523

21-12

阵的是（)

A.ABCB.ACTBT

C.CBAD.CTBTAT

5.设有向量组/：其中。1，a2,G3线性无关，则（)

A.ai,a3线性无关B.a1,a2，a3,a4线性无关

C.Qi，a2,a3,a4线性相关D.a2，Q3，Q4线性无关

6.若四阶方阵的秩为3,则（)

A.A为可逆阵B.齐次方程组有非零解

C.齐次方程组Zx=0只有零解D.非齐次方程组ZA力必有解

O)O

-22

0-0

7.已知方阵Z与对角阵5=OO)相似，则/=（)

-2

A.-64£B.-E

C.4ED.64£

8.下列矩阵是正交矩阵的是（）

-

lo

oOrion

oB

A..-七110

<01U

。

fV2]_

3一

26百

V6

cos。-sin。D.03

-sin0cos06

石

V2Vw

3

2—

9.二次型户为实对称阵）正定的充要条件是（）

A.A可逆B.⑷>0

C.A的特征值之和大于0D.4的特征值全部大于0

k00

10.设矩阵N=0k-2正定，则（）

0-24

A.*>0B.g0

C.k>lD.后1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设4=（I,3,-1）,B=（2,1）,则/%=.

210

12.若131=0,则A=.

k21

13.若ad¥bc,A=二’,贝lJ/=.

14.已知1-248E=0,则（N+E）”=.

15.向量组心=（1,1,0,2）,（1，0,1,0）,%=<0,1,-1,2）的秩为

16.两个向量。=（a,1,-1）和£=（4-2,2）线性相关的充要条件是.

17.方程组俨+々=,的基础解系为________.

[x2+x3=0

18.向量。=（3,2,1,1）正交，则片__________.

19.若矩阵4=[）与矩阵3相似，则尸.

20.二次型於1/2'3）=国2+2年-+再巧-3司巧对应的对称矩阵是.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

11

24

21.计算三阶行列式4

16

233O712O

22.已知A=1O2c=l12O-O1，矩阵X满足方程

AX+BX=D-C,求X.

23.设向量组为。尸(2,0,-1,3)

a2=(3,-2,1f-1)

a3=(-5,6,-5,9)

。4=(4,-4,3,-5)

求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组.

24.求人取何值时，齐次方程组

(2+4)再+3X2=0

<4X1+x3=0

—5%|+一巧=0

有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解.

-1-6一3一

25.设矩阵4=0-5-3,求矩阵力的全部特征值和特征向量.

064

26.用正交变换化二次型加1用内尸4#+3x1+34-2X2X3为标准形，并求所用的正交矩阵P.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若〃阶方阵Z的各列元素之和均为2,证明〃维向量…⑴，为/的特征向量，并且相应的特征

值为2.

绝密★启用的/编号218

2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线触数试题答案及评分箜考X"

（课程代码02198）

一、单项选肾公（本大题共小题，每小时分,其分）

螃丁f10l潸220；

D

D

二、埴空题（本大题共io,每小题2分，共20分）

]

11.

"ad-be

19.220.j20

三、计其题（本大题共6小题，每小题「分，共5f分）

,解:行1列式I是1三阶范笠德蒙行列”式

124=（2-1）（4-1）（4-2）.................

1416

69分

22.褥：EA*+bX=D-C,得

(A+8)X=D-C•…

U5IA+BI-

<A+B)=

"C-1]5分

23.解：设矩阵

0000

房鸿

a00

J小

故向色组的秩为2,最大无关组为q•/(或写&力.a,iq•

....................................................

.解：齐次方程组的系数行列式为,

A+430A+4

401=401=-[A(A+4)+3]=-Q+1)(A+3)...........2分

线性代数试题答案及评分参考第2页（共•:页）

区”«*»

得特征值A1=A:=1,Aj=-24分

线性代数试题答案及评分参考第3页（共4页）

（1）当尢=2时，特征方程为

久国爵，，

般城屉无关的特征向量0=J］，单位化,傅n.

.........6年

（2）当小=简=4时，特征方程为工?十4=0

得正交的淅小特征向£&=

c°

C/.息位化，得小

0.

ro0-

令ag，2，»jJ=70-T8分

/2修

2幼o鼠型为标准形.

P即为所求正交矩阵，令x

/=2yi+4yi+4yJ…9分

四、证明密（本大题共1小题，6分）

27：,证；因，的各列元皇之和为2

•⑵.................2分

£沁岁3

EPATx=2x.........................4分

故x为的特征》次，相应的特征值为2.6分

线性代数试题答案及评分参考第4页（共4页）

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明:在本卷中,A'表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,IAI表示

方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则卜2A+()

A.-8B.-2C.2D.8

(1、

2.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=()

A.O

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是()

A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA

2

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=，则A/=()

'4-3-22242

ABC.D

-4-21-4.3234,-431

5.下列矩阵中不悬初等矩阵的是()

’1or“001、’100、’100、

010B.010C.030010

、000,10、°0、20

6.设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有()

A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.设向量组ai=(l,2),a2=(0,2),p=(4,2)4lJ()

A.aba2,P线性无关B.p不能由aba?线性表示

C.B可由aba2线性表示，但表示法不惟一D邛可由％,a2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解

向量的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2X]-x2+x3=0

9.设齐次线性方程组，X|-X2-X3=0有非零解，则大为()

A.X,+x2+x3=0

A.-1B.0D.2

10.设二次型RX)=XTAX正定，则下列结论中正确的是()

A.对任意n维歹!J向量X,XTAX都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式01的值为

12

12.已知A=(；则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为.

13.设矩阵A=(；lb］；)，则AP'=.

14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,则|A」B|=.

15.已知向量组a1,=(1,2,3),(12=(3,・1,2),(13=(2,3,k)线性相关，则数k=.

16.已知Ax=t^4元线性方程组,r(A尸3,ai,ct2,a.：为该方程组的3个解，且a1=,a,+a3=1

、JI

则该线性方程组的通解是.

口、

17.已知P是3阶正交矩，向量a=3,B=30,则内积(Pa,PP)=_________

18.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为.

19.与矩阵A=相似的对角矩阵为

20.设矩阵A=，若二次型IMJAX1E定,则实数k的取值范围是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分,共54分)

020

1012

21.求行列式D=的值.

2101

0210

仅°〕r-1-20,

22.设矩阵A=100=2-10,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

10

017\000

r1(2)2、

=

23.若向量组a1--1=6,=0的秩为2,求k的值.

3)、-号「2k,

'223)(2]

24.设矩阵人=1-10,b=1

2JM

、一1

⑴求A-1;

(2)求解线性方程组Ax=b，并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A?+2A-E,求

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.

X|=2y1+2y2+y3

26.求二次型f(xl,x2,x3)=-4x的+2X1X3+2X2X3经可逆线性变换，x2=2y1-2y2+y3所得的标准

x3=2y3

形.

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=E，证明A的特征值只能是±1.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，4,表示矩阵4的转置矩阵；/表示4的伴随矩阵；儿4)表示矩阵4的秩;

141表示N的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共1()小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵4=(%,a2>«3)>其中a：(i=l,2,3)为X的列向量，若|8|=|(如+2a2，a2,a3)|=6,

则⑷=()

A.-12B.-6C.6D.12

30-20

21050

2.计算仃列式八八-八=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120C.120D.180

3.若Z为3阶方阵且|才|=2,则1241=(

A.-B.2C.4D.8

2

4.设a”a2,a3,@都是3维向量，则必有()

A.«1,«2»«3»“4线性无关B.aP“2,%，。4线性相关

Ca1可由”2,«3，线性表示D.G］不可由“2，。4线性表示

5.若N为6阶方阵，齐次线性方程组4r=0的基础解系中解向量的个数为2,则｛7)=()

A.2B.3C.4D.5

6.设B为同阶方阵，且“力尸尸(⑶，则()

A.4与B相似B.|川=网C.A与B等价D.A与8合同

7.设X为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|X+2E|=()

A.OB.2C.3D.24

8.若4、8相似，则下列说法曾送的是()

A.4与5等价BX与5合同C.|A\=\B\D.Z与5有相同特征

值

9.若向量《=(1,-2,1)与夕=(2,3,。正交，则尸()

A.-2B.OC.2D.4

10.设3阶实对称矩阵”的特征值分别为2,1,0,贝女)

A.A正定BX半正定C.A负定D.4半负定

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

(3-2\

r21-1

11.设4=01,B=,则Z5=

o-io----------

(2L

12.设N为3阶方阵，且|川=3,贝”3才|=.

13.三元方程X|+X2+X3=l的通解是.

14.设a=(-l,2,2),则与a反方向的单位向量是.

15.设X为5阶方阵，旦中)=3,则线性空间》｛x|4r=0｝的维数是.

16.设4为3阶方阵，特征值分别为-2,1,则|54”=.

17.若N、8为5阶方阵，且4r=0只有零解，目.儿5尸3,则445)=.

"2-10、

18.实对称矩阵-101所对应的二次型/(X1,X2,X3)=.

、0>1>

'7、

19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解a产a2=2且4/)=2,则Ax=b的通解是

、3,

20.设a=,则/=a”的非零特征值是.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

20001

02000

21.计算5阶行列式。=

00200

10002

'200、a00、P-43、

22.设矩阵X满足方程0-10X001=20-1求X.

10

;002)10,-2

xt+x2-3X3-x4=1

23.求非齐次线性方程组■3网-々-3七+4X4=4的通解.

X]+5X2-9X3—8x4=0

24.求向量组a尸(1,2,-1,4),々2=(9/00,10,4),a3=22,4,2,-8)的秩和一个极大无关组.

，2-12、

25.已知Z=5a3的一个特征向量<=(1,1,-1)「，求a,，及小所对应的特征值，并写

、Tb-2,

出对应于这个特征值的全部特征向量.

'-211-2、

26.设4=1-21a,试确定a使,0)=2.

、1'-22>

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.若a1，a2,々3是的线性无关解，证明a2-ct|,g-q是对应齐次线性方程组4x=0的

线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，清将其代码填写在题后的括号

内。错选、多选或未选均无分。

1.已知2阶行列式"i"2=,"，'=〃，则许"=()

许b2C|c2at+qa2+c2

X.m-nB.w-wC.tn+nD.-(〃?+〃)

2.设4,6,。均为〃阶方阵，AB=BA,AC=CA,贝U()

A.ACBB.C4BC.CBAD.BCA

3.设4为3阶方阵，8为4阶方阵，且行列式⑷=1,园=・2,则行列式彷⑷之值为()

A.-8B.-2C.2D.8

12al3'40o)100、

4.已知4=a21422a23,B=。213。22。23,P=030，Q=310，则B=()

、a31432a33)gQ%2")001001

A.PAB.Z尸C.QAD.AQ

5.已知4是一个3x4矩阵，下列命题中正确的是（）

A.若矩阵4中所有3阶子式都为0,则秩（N）=2B.若4中存在2阶子式不为0,则秩（4）

=2

C.若秩（A）=2,则/中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2,则4中所有2阶子式

都不为0

6.下列命题中僧误的是（）

A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由•个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组内,0（2,013线性无关，«）,«2,«3>/线性相关，贝I］（）

A.四必能由ct2,otj»6线性表出B.a?必能由（z1,013,4线性表出C.a?必能由a1,a2,£线性表出

D/必能由ai,a2,«3线性表出

8.设A为铲"矩阵，，"加，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是/的秩（）

A.小于B.等于5C.小于〃D.等于〃

9.设/为可逆矩阵，则与X必有相同特征值的矩阵为（）

A.JTB.A2C.A-'D.A'

10.二次型/（xgXj）=靖+X2+X3+2xtx2的正惯性指数为（）

A.OB.1C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

20072008

11.行列式的值为.

20092010

1-131（20）1

12.设矩阵4=,B=，则/%=______________________________.

1201J10\）

13.设4维向量a=（3,-1,0,2）V=（3,1,-1,4）T.若向量y满足2a+产3£,则产.

14.设A为n阶可逆矩阵，且⑷=-•!•，则.

n

15.设4为〃阶矩阵，8为〃阶非零矩阵，若8的每一个列向量都是齐次线性方程组/x=0的解,

则\A|=.

16.齐次线性方程组rr,+与=0的基础解系所含解向量的个数为________________.

\2x}-x2+3巧=0

17.设〃阶可逆矩阵/的一个特征值是-3,则矩阵必有一个特征值为.

/X

1-2-2

18.设矩阵4=-2x0的特征值为4,1,-2,则数x=.

-200

(1)

Q30

V2

4=h0

19.已知4=是正交矩阵，则“+b=

V2

001

1J

20.二次型/(X|,X2,x^)=-4工1工2+21|》3+6^213的矩阵是,

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

ahc

21.计算行列式。=a2b2c2的值。

Q+/b+h3c+c3

22.已知矩阵8=(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BJC；(2)A2.

23.设向量组a1=(2,l,3,l)\a2=(l,2,0,l)T,a3=(-1,1,-3,0)\。4=(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一

个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

/X/、

123-14

24.已知矩阵A=012，B=25.（1）求不；（2）解矩阵方程正以

1-3

001

\7\/

Xj+2X2+3X3=4

25.fn]4为何值时，线性方程组（2工2+方3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其

2x}+2X2+3工3=6

解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

200

26.设矩阵/=03a的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数。的值及可逆矩阵P,使

0。3

100

PAAP=020

005

四、证明题（本题6分）

27.设4B,4+3均为〃阶正交矩阵，证明（4+8）――L

全国2010年1月高等教育自学考试

《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

说明：本卷中，表示矩阵力的转置，/表示向量〃的转置，£表示单位矩阵，L4I

表示方阵4的行列式，4I表示方阵/的逆矩阵，r（4）表示矩阵4的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

xyz2x2z

4

1.设行列式403=1,则行列式()

3

111111

A-1B.1

D』

C.2

3

2.设力，B,。为同阶可逆方阵，则(ABC)-1=()

K.A'B'C'B.C'B'A'

c.C'A'B'D.A'C'B'

3.设外,a2,3,。4是4维列向量，矩阵4=(a”a2,a3,。4）.如果⑷=2,贝味2川=

()

A.-32B.-4

C.4D.32

4设a1，&2,a3,,是三维实向量，则()

A.a\,a2,。3,。4一定线性无关B.a1一定可由巴，a3,心线性表出

C.a,,a2,。3,%一定线性相关D.ai，a2,。3一定线性无关

5.向量组a|=(1,0,0）,。2=（1，1，0）,a3=（1，1，1）的秩为（)

A.1B.2

C.3D.4

6.设4是4X6矩阵,r（Z）=2,则齐次线性方程组4r=0的基础解系中所含向量的个数是

)

A.1B.2

C.3D.4

7.设/是洲X〃矩阵,已知4尸0只有零解，则以下结论正确的是（)

A.加、〃^.Ax=b（其中5是〃?维实向量）必有唯一解

C.r(A)=mD.Ax=0存在基础解系

4-52

8.设矩阵4=5-73,则以下向量中是力的特征向量的是()