立体几何测试题(10套)

证法1：(反证法)假定a、b异面，任取B∈b，则a与B确定平面γ，且γ∩α＝ιEQ\S\don4(1)，γ∩β＝ιEQ\S\don4(2)，由已知a∥α，a∥β知a∥ιEQ\S\don4(1)，且a∥ιEQ\S\don4(2)，由公理4知ιEQ\S\don4(1)∥ιEQ\S\don4(2)，与ιEQ\S\don4(1)∩ιEQ\S\don4(2)=B矛盾，故假设不成立，∴a∥b。

证法2：(同一法)任取B∈b，则a与B确定平面γ，且γ∩α＝ιEQ\S\don4(1)，γ∩β＝ιEQ\S\don4(2)，且B∈ιEQ\S\don4(1)，B∈ιEQ\S\don4(2)。∵a∥α，a∥β，∴a∥ιEQ\S\don4(1)，a∥ιEQ\S\don4(2)，由平行公理知ιEQ\S\don4(1)与ιEQ\S\don4(2)重合，即为α与β的交线b，∴a∥b。

证法3：(直接证法)过a作平面γEQ\S\don4(1)，γEQ\S\don4(2)，γEQ\S\don4(1)∩α＝c，γEQ\S\don4(2)∩β=d，∵a∥α，a∥β，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，∴c∥β(dβ)∴c∥b，∴a∥b。αaAcδγdBbβ18．证明：在平面的直线上取一点A因为和异面，所以A过A，确定平面交于,因为∥，，所以∥同理，在上取一点B，过B和确定平面，可得∥由平行平面的判定定理可得平面∥αaAcδγdBbβ19．证明：如图，取BD中点E，连结AE，CE因为AB=AD，CB=CD所以△ABD和△BCD都是等腰三角形又等腰三角形的中线与高重合所以AE⊥BD，CE⊥BD由三垂线定理的逆定理可知CE即AC在面BCD上的射影因为CE⊥BD，所以AC⊥BD20．证明：取BC中点M，连接PM，QM，令AC=1，则BQ=，∵AB=2AC=2，∴QA=2-=∴QC==。∴QC=QB，∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC，∴BC⊥平面PMQ，∴BC⊥PQ．21.证明若四点A，B，C，D不在同一平面内，设A点在平面BCD内的射影（垂足）为O，则AO⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥面AOB，∴BC⊥OB；同理DC⊥OD．但∴，矛盾．故四点A，B，C，D在同一平面内，即四边形ABCD是矩形．22.证明：（1）连BC交于E，连DE,则DE∥，PCAHDB而DE面CDB，面CDB，PCAHDB（2）由（1）知∠DEB为异面直线所成的角，在（2分）。（2分）

立几面测试007一、选择题(12×4=48)1、若aα，bβ，α∩β=c，a∩b=M，，则（）A、M∈c B、M c C、Mc D、Mβ2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（）（A）A∈l，lα（B）A∈l，lα（C）Al，lα（D）Al，l∈α3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为（）A、0B、1C、0或1D、0，1或24、以下四个结论：=1\*GB3①若aα,bβ，则a,b为异面直线；=2\*GB3②若aα,bα，则a,b为异面直线；=3\*GB3③没有公共点的两条直线是平行直线；=4\*GB3④两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个A1CBAB1C1A1CBAB1C1D1DA、平行B、垂直C、相交但不垂直D、异面6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的角为（）A、B、C、D、7、直线a与平面α所成的角为30o，直线b在平面α内，若直线a与b所成的角为，则()A、0º<≤30ºB、0º<≤90ºC、30º≤≤90ºD、30º≤≤180º8、是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面()A1CBAB1C1DA1CBAB1C1D1DE9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A、直线ACB、直线B1D1C、直线A1D1D、直线A1AACB10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ACBA、内心B、外心C、垂心D、重心11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()AA1DCBC1D1MNAA1DCBC1D1MNB112、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、AB上的点，若∠NMC1=90°，则∠NMB1()A、小于90°B、等于90°C、大于90°D、不能确定二、填空题(4×4=16分)AA1DCBB1C1D1FEAA1DCBB1C1D1FE14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，则A1到EF的距离为15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC=AB=AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB=________16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为三、解答题(56分)17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，用反证法证明：b、c是异面直线。18、(10分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求EF与PC所成的角；（2）求线段EF的长19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，且MA=a，试求：（1）点M到BD的距离；（2）AD到平面MBC的距离MMDCBA20、(12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PD与底面成30°角，BE⊥PD于E求直线BE与平面PAD所成的角；21、(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。（12分） （1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求线段PQ的长；（3）求PQ与平面AA1D1D所成的角立几面测试007参考答案一、ABCABDCBBBBB二、13、514、a15、90°16、17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b∵c∥a∴a∥b，与a，b是异面直线相矛盾故b、c是异面直线18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角∵PC⊥AB∴∠EGF＝90°又EG＝GF＝1∴∠GFE＝45°EF＝19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD∵MA⊥平面ABCD∴MO⊥BD即MO为点M到BD的距离∵PA＝aAO＝a∴MO＝a2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离在Rt△MAB中，求得AH＝a20、解：1）∵PA⊥平面ABCD∴∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB∵∠BAD＝90°∴AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角∵BE⊥PD∴AE⊥PD在Rt△PAD中，∠PDA＝30°AD＝2a∴AE＝a∠BEA＝45°21、1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点∴PQ∥DC1且PQ＝DC1∴PQ∥平面DD1C1C2）解：PQ＝DC1＝3）解：∵PQ∥DC1∴PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等∵DC1与平面AA1D1D所成的角为45°∴PQ与平面AA1D1D所成的角为45°

立几面测试008一、选择题(12×4=48)1、若aα，bβ，α∩β=c，a∩b=M，，则（）A、M∈c B、M c C、Mc D、Mβ2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（）（A）A∈l，lα（B）A∈l，lα（C）Al，lα（D）Al，l∈α3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为（）A、0B、1C、0或1D、0，1或24、以下四个结论：=1\*GB3①若aα,bβ，则a,b为异面直线；=2\*GB3②若aα,bα，则a,b为异面直线；=3\*GB3③没有公共点的两条直线是平行直线；=4\*GB3④两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个A1CBAB1C1A1CBAB1C1D1DA、平行B、垂直C、相交但不垂直D、异面6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的角为（）A、B、C、D、A1CBAB1C1D1DE7、直线a与平面α所成的角为30A1CBAB1C1D1DEA、0º<≤30ºB、0º<≤90ºC、30º≤≤90ºD、30º≤≤180º8、是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面()A、有且仅有一个

B、至少有一个C、至多有一个

D、有无数个9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A、直线ACB、直线B1D1C、直线A1D1D、直线A1AACB10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ACBA、内心B、外心C、垂心D、重心11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()AA1DCBC1D1MNAA1DCBC1D1MNB112、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、AB上的点，若∠NMC1=90°，则∠NMB1()A、小于90°B、等于90°C、大于90°D、不能确定二、填空题(4×4=16分)AA1DCBB1C1D1FEAA1DCBB1C1D1FE14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，则A1到EF的距离为15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC=AB=AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB=________16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为三、解答题(56分)17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，用反证法证明：b、c是异面直线。18、(10分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求EF与PC所成的角；（2）求线段EF的长MDCBA19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，且MA=a，试求：（1）点MDCBA20、(12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PD与底面成30°角，BE⊥PD于E（1）求直线BE与平面PAD所成的角；21、(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。（12分） （1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求线段PQ的长；（3）求PQ与平面AA1D1D所成的角

立几面测试008参考答案一、ABCABDCBBBBB二、13、514、a15、90°16、17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b∵c∥a∴a∥b，与a，b是异面直线相矛盾故b、c是异面直线18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角∵PC⊥AB∴∠EGF＝90°又EG＝GF＝1∴∠GFE＝45°EF＝19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD∵MA⊥平面ABCD∴MO⊥BD即MO为点M到BD的距离∵PA＝aAO＝a∴MO＝a2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离在Rt△MAB中，求得AH＝a20、解：1）∵PA⊥平面ABCD∴∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB∵∠BAD＝90°∴AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角∵BE⊥PD∴AE⊥PD在Rt△PAD中，∠PDA＝30°AD＝2a∴AE＝a∠BEA＝45°21、1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点∴PQ∥DC1且PQ＝DC1∴PQ∥平面DD1C1C2）解：PQ＝DC1＝3）解：∵PQ∥DC1∴PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等∵DC1与平面AA1D1D所成的角为45°∴PQ与平面AA1D1D所成的角为45°

立几面测试009掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握作二面角的平面角的三种基本方法：（1）棱上一点——双垂线法，即定义法；（2）面上一点——三垂线法，关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一个面的线段，再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明；（3）空间一点——垂面法，即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题，常常转化为求解二面角的平面角的大小问题，将空间问题转化为平面问题来求解，这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射影定理求二面角的方法.一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.二面角是指（）A.两个平面所组成的角B.经过同一直线的两个平面所成的图形C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角2.从二面角的棱上一点，在两个半平面上各作一条射线所成的角中（）A.二面角的平面角最大B.二面角的平面角最小C.二面角的平面角是最大还是最小，由二面角是否大于90°决定D.二面角的平面角既非最大，也非最小3.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B—AC—D等于（）A.120° B.90°C.60° D.45°4.四面体ABCD的四个面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（）A.arccos B.arccosC. D.5.在直角坐标系中，设A（3，2），B（－2，－3），沿y轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，AB长为（）A.2 B.2C. D.4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角D1—AC—D的正切值是________.2.已知α—l—β二面角的度数是60°,面α内一点A到棱l的距离为2，则A到面β的距离为________.3.正方形ABCD，P是正方形所在平面外一点，PA⊥平面AC，且PA=AB，则二面角A—PD—C的度数为________，二面角B—PA—D的度数为________，二面角B—PA—C的度数为________，二面角B—PC—D的度数为________.4.在60°的二面角α—l—β的面α内一点A到面β的距离为,A在β上的射影为A′,则A′到面α的距离为________；异面直线AA′、l间的距离为________.5.菱形ABCD的对角线AC=，沿BD把面ABD折起与面BCD成120°的二面角后，点A到面BCD的距离为________.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1.在二面角α—l—β中，A、B∈α,D∈l,ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，（1）求二面角α—l—β的大小；（2）求证：MN⊥AB；（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长AB=，AA1=1，截面AB1C1D为正方形.（1）求点B1到平面ABC1的距离；（2）求二面角B—AC1—B1的正弦值.3.四面体M—ABC中，MC⊥平面ABC，∠BAC=90°,MC=4,AC=3,AB=4,求二面角A—MB—C的余弦值.4.如图，边长为20的正△ABC顶点A在平面α内，B、C在平面α同侧，且B、C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.5.如图，二面角M—CD—N的度数为α，A为M上一点，B为N上一点，CD在棱上，且AB⊥CD，又AB与平面N成30°角，若△ACD的面积为S，求α为何值时，△BCD的面积最大，其最大面积是多少？

立几面测试009参考答案一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.C2.B3.B4.C5.B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.2.33.90°90°45°120°4.15.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1.（1）解：连结PD∵PA⊥α,AD⊥l，∴PD⊥l∴∠PDA是二面角α—l—β的平面角.由PA=AD，有∠PDA=45°.故二面角α—l—β的大小为45°.(2)证明：取CD的中点为E，连结ME、NE，则EM∥AD，EN∥PD，∴CD⊥ME，CD⊥NE，∴CD⊥平面MNE，又AB∥CD∴AB⊥平面MNE，故AB⊥MN.（3）解：取PD中点为Q，连结QA、QN，则QNCD,而AMCD.∴QNMA是平行四边形.∴AQ∥MN∴∠PAQ是异面直线PA与MN所成的角.∵△PAD为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线，∴∠PAQ=45°即PA与MN所成的角的大小为45°.2.解：（1）如图，∵棱长AB=，AA1=1，AB1C1D是正方形，∴B1C1=AB1=2∵AB⊥平面BB1C1C.∴平面ABC1⊥平面BB1C1C.作B1H⊥BC1于H，则B1H⊥平面ABC1，∴B1H为点B1到平面ABC1的距离.在Rt△BB1C1中∵BB1·B1C1=BC1·B1H.∴B1H=.（2）作HO⊥AC1,垂足为O，则B1O⊥AC1∴∠HOB1是二面角B—AC1—B1的平面角，又O是正方形AB1C1D的对角线交点，∴sinB1OH=3.解：如图，作AE⊥MB，CF⊥MB，则异面直线AE、CF所成的角等于二面角A—MB—C的平面角.∵AC=3，MC=4，AM=5，AB=4.∴BC=5，MB=∵∠MAB=90°，AE=，CF=BE=，MF=.∴EF=MB－MF－BE=－×2=由公式AC=得cosθ=.4.解：设BD、CE是点B、C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，∴B、D、E、C共面.∵BD≠CE,∴BC、DE必相交，设交点为F，∵DFα,∴F∈α,∵BC平面ABC∴F∈平面ABC，∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.∵A是平面ABC和平面α的公共点，∴平面ABC∩平面α=AF，在△BDF中，∵BD∥CE，BD=2CE，∴CF=BC.又∵△ABC为正三角形∴CF=AC，∠ACF=120°∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°.由三垂线定理的逆定理，得DA⊥AF.∴∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.在Rt△ABD中，AB=20，BD=10，∴∠BAD=30°，∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°.5.解：过A作AO⊥平面N于O，连BO，BO或BO的延长线交CD于E，连AE.∵CD⊥AB∴CD⊥BE∴CD⊥AE.∴∠AEB=α是二面角的平面角.且∠ABO=30°∵△ACD面积为S，设AE=h,CD=.在△ABE中,∠AEB=α,∠ABO=30°,则∠BAE=150°－α.由正弦定理,BE=S△BCD=CD·BE=··=2Ssin(150°－α).当α=60°时，S△BCD=2S为最大.

立几面测试010选择题（本题每小题5分，共60分）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（） A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3２如果和是异面直线,直线∥,那么直线与的位置关系是 A．相交B．异面C．平行 D．相交或异面３．下列命题中正确的是 （） A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线 B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交 C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行 D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直４．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（） A． B． C． D．５．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是 （）A．90° B．45° C．60° D．30°SEFCSEFCAB 那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．60°B．90°C．45°D．30７．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（） A． B． C． D．８．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是 （） A． B． C． D．９．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（）APDBCO A．PD⊥BD APDBCOC．PB⊥BCD．PA⊥BD10．若a,b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是 （） A．若a⊥,a⊥b，则b// B．若a//,a⊥b，则b⊥α C．若a⊥,b，则a⊥b D．若a//,b//，则a//b10．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 （） A．45°B．60° C．90°D．120°12．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为，则 （） A． B． C． D．二、填空题（本题每小题４分，共１６分）13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为．14．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的；（2）若点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC的．15．如果平面外的一条直线a与内的两条直线垂直,那么a与位置关系是16．A,B两点到平面的距离分别是３cm，５cm，M点是AB的中点，则M点到平面的距离是三、解答题：(本大题满分74). A1A1ED1C1B1DCBA如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。19．（12分）AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.（12分）A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（1）求证：AB⊥CD；（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.21（14分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB,PC的中点(1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；CBDAPEF（3）若PDA＝45CBDAPEF22、．（本小题满分12分）正方体ABCD-棱长为1．CBADA′B′C′D′CBADA′B′C′D′（2）求点到面BD的距离．

立几面测试010答卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDADACADACBB二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.14．外心、内心15．平行或相交16．4cm或1cm三、解答题（本大题共6题，共76分）1