2024新高考数学二轮总复习专题突破练24热点小专题三圆锥曲线的离心率含解析

PAGE专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2024山东威海一模,8)已知点A,B分别在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右两支上,且关于原点O对称,C的左焦点为F1,直线AF1与C的左支相交于另一点M,若|MF1|=|BF1|,且|BF1|·A.10 B.52 C.5 D.2.(2024山东新高考质量测评联盟高三5月联考,8)已知直线y=3x与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)相交于不同的两点A和B,F为双曲线C的左焦点,且满意AF⊥A.3 B.2 C.3+1 D.33.(2024山东聊城二模,5)已知双曲线C:x2m-y2n=1,则n>m>0是双曲线CA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(2024重庆巴蜀中学高三适应性月考(七))已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若OP∥QF2A.2 B.5 C.3 D.105.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.2-1 B.22 C.2 D.2+6.(2024山西长治学院附属太行中学高二下学期其次次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满意|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则e2+e1A.2 B.3 C.4 D.67.(2024安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得kPAkPB∈-13,0A.0,63 B.63,1 C.0,23 D.23,18.(2024重庆第八中学高二下学期其次次月考)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2A.1+32 BC.1+3 D.1+29.(2024湖南长沙湖南师范高校附属中学高三模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若∠ACB=π3,且|OB|=3|OA|A.2133 B.C.2135 D二、填空题10.(2024全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB11.(2024全国Ⅲ,文14)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=212.(2024江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满意AF⊥BF,当∠13.(2024浙江湖州三校模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率1.D解析连接MF2,BF2,AF2,设|MF1|=m,|AF1|=n,可得|BF1|=m,AF1⊥BF1,可得四边形BF2AF1为矩形,由双曲线的定义可得|BF2|=m-2a,|MF2|=m+2a,即n=m-2a,可得m2+(m-2a)2=4c2,(m+m-2a)2+m2=(m+2a)2,解得m=3a,则有9a2+a2=4c2=4(a2+b2),化简可得ba∴e=c故选D.2.C解析由题意设A(x0,y0),B(-x0,-y0),F(-c,0),则x02a因为AF⊥BF,所以FA·FB(x0+c)(-x0+c)+y0(-y0)=0,整理,得c2-x02因为AB在直线y=3x上,所以y0x由①②③可得e4-8e2+4=0,解得e2=4+23,所以e=3+1.故选C.3.A解析因为双曲线C:x2m-y2n=1,若n>m>0,则a2=m,b2=n,c2=a2+b2=m+n,若m<n<0,则a2=-n,b2=-m,c2=a2+b2=-(m+n),所以e=ca=-(m+n)-n>2nn=24.D解析过F1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c,双曲线的渐近线方程为y=±bax,由OP∥QF2,可得Q在第一象限,由y=x+c和y=bax,解得Qacb-a,bcb-a,QF2的斜率为bcac-bc+ac=b25.ABD解析因为△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a=ABCA+CB=22(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,依据双曲线的特征可得,只有C=π4此时,离心率e=2c2a=AB|6.A解析因为F1,F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,且两曲线在第一象限的公共点P满意|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,所以椭圆C1的离心率为e1=|F1F2||PF1|+|PF2|=34+27.B解析设P(x0,y0),直线y=x过原点,由椭圆的对称性设A(x1,y1),B(-x1,-y1),kPAkPB=y0-y1x0-x1×y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12.又8.A解析由题设知双曲线C:x2a2-y2b2=右焦点F(c,0),|PF2|=|bc-0|a2+b2=|∴|PA|=(a2c+a)

2平方化简得(a2+ac)2+a2b2=4b2c2,又c2=a2+b2,∴a2(a+c)=(c-a)(4c2-a2),∴a+cc-a=4c又0<e<1,解得e=1±3又e>1,故得e=1+32.9.D解析双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax,圆C:x2+(y-b)∵∠ACB=π3,∴△ABC是边长为2的等边三角形.∴AB=2,圆心到直线y=bax的距离为3.又|AB|=|OB|-|OA|=2|OA|,∴|OA|=1,|OB|=3.在△OBC,△OAC中,由余弦定理得cos∠BOC=cos∠AOC=32+b2-46b=b2∴e=ca=710.2解析由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc∵AB的斜率为3,∴Bc∵kAB=b2ac-∴e=2.11.3解析由题意得ba=2,即∵c2=a2+b2=3a2,即c=3a,∴e=c12.63解析设F1为椭圆的左焦点,连接AF1,BF1由椭圆对称性及AF⊥BF可知,四边形AFBF1为矩形,∴AB=FF1=2c.又∠ABF=π12,∴AF=ABsinπ12=2csinπ12,AF1=BF=ABcosπ12=2ccosπ12,由椭圆定义可知:AF+AF1=2c