2024年中考数学 改斜归正我杀直角类压轴题(解析版)

改斜归正我杀直角类压轴题

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模型精用

改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非

横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作立，"轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等

时，可以得到一线三等角之全等模型,当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线

式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。）

具体作法如下：

改斜归正之全等模型

如图：1一1,在平面直角坐标系中，AB=AB,ABAC=90°o

咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要：

（1）如图1—2或1—3,作万能垂线,实现改斜正。

（2）由一线三直角全等模型，易证△ABD笃△ACE,可得，BD=AE,AD=CE,

⑶然后表示出：AB,。,。,E,坐标，利用==即可轻松得出方程，妙杀大题。

改斜归正之相似模型

如图：2—1,在平面直角坐标系中，AB¥人。（中考数学经典）,ABAC=90°o咱们一样可以把它看作斜直角。

解决这类题目：

（1）同样只需要如图2—2或2—3,作万能垂线,实现改斜正。

（2）由一线三直角全等模型，易证〜△CAE,可得：-缁=黑=卷，

（3）与全等方法类似，只需要表示出：坐标,利用修=黑=船，即可轻松得出方程，从

而妙杀大题。

2-12-3

典例分析

如图，已知二次函数y=4的图象与①轴交于A,B两点，与"轴交于点C,。C的半径为5

P为。。上一动点.

(1)点8,。的坐标分别为B,C

(2)连接,若E为PB的中点，连接CE,则CE的最大值=

(3)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】⑴(3,0(;(0,—4(;⑵二^三；⑶件「或(―1,—2(或(与1—芋—4(或

(—竽竽—4(

【详解】解：(1切=3/-4,令沙=0,则7=土3,

y

当2=0时，y=—4,

故点B、C的坐标分别为：(3,0(,(0,—4(.

故答案为：(3,0(;(0,—4(.

⑵如图1,连接4P,

2

•.•点。是43的中点，石是BP的中点，则OE是4BAP的中位线，

当4P最大时，OE取得最大值，

当A、P、O三点共线时，AP最大=宿在+Q=5+8，

OE的最大值为^.AP=5力2.

故答案为：5%、声.

（3）①当48。。=90°时，即丑0是圆的切线，

当点P在g轴右侧时，如图2,过点P分别作多轴、y轴的垂线交于点E、F,

连接BC,则CB=5,CP=6,则==K=24，则加=^

ZCPF+NCPE=90°,ZCFE+4EPB=90°,

NEPB=NCPF,

：.4PEB〜4PFC,

.PF=CP=BE=1

••T^E~~BP―77R―T

3—cr

设PF=c,则PE=2c,BE=3—2，CF=2x-4,即2j._4=2,

解得：z=耳，

故点P件「半(，

当点P在沙轴左侧时，

同理可得:点P(T,—2(;

②当/BCP=90°时，当点P在9轴右侧时,

如图3,过点P作y轴的垂线交于点F,

同理可得：4CPF=4OBC,

设FP=b,CF=a,a+b2=CP2=5,

OC—4,OB=3,tanZCPF=tanZ.OBC=.£,

o

故春=。,而a2+〃=5,解得：。=竽，仁苧，

故点P的坐标为：G匕§,一—4（,

当点P在g轴左侧时，

同理可得:点pQ竽，竽—4（.

综上，点P的坐标为：鸟一尚■（或（一「2（或（¥■「¥■—4（或（-#■，竽一4（.

实战制任

一、解答题

[BigI1如图，已知抛物线与立轴交于4—3,0（、B（l,0（两点，与V轴交于点。（0,3（,对称轴Z与①轴交于点

。，/E在沙轴卜.，且OE=QB.P是该抛物线上的动点，连结P4、PE,PD与AE交于点F.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）设点P的横坐标为4（-3<1<0（

①求的面积的最大值；

②在对称轴Z上找一点朋•，使四边形PAME是平行四边形，求点”的坐标;

③抛物线上存在点P,使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的

形状.

1O1

【答案】⑴？/=—/—2/+3;⑵①以;②点M(―L—2(;③当点P(—1,4(时，是等腰直角三角

形，当点P(-2,3(时，AFAB是等腰三角形.

【详解】(1)：抛物线与2轴交于4(—3,0(、B(l,0(两点，

/.设所求抛物线的函数表达式为。=研力+3((力—1(,

把点C(0,3(代入，得3=a(x+3((力—1(,解得a=-1,

该抛物线的函数表达式为y——(X+3((/—1(,即y=—x2—2x+3;

⑵①［解法一］如图4.1,过点P作轴于点交4E于点/.

,・・OE=OB,

・・・E(0,l(,

直线AE的表达式为y=-LJ;+1.

o

由题意，点P的坐标为"，一力2—23+3(,则点/的坐标为«,；力+1(,

=

PI—yP~Vi(一/一2力+3(—+1(=—薮+2,

S3^PI-AO=^x(-e-^.t+2(x3=-1(i+［C+等.

*.*Q——彳V0,且一3V1V0,

7121

当力=一方时，AF4E的面积最大值为

(2)①［解法二］如图4.1,连结PO,

由题意，点P的坐标为(力一/—2力+3(,

SAPAE=S"AO^~S讨E6~SAAOE

=.%+^.EO-\Xp\-^.AO-EO

=3+3(+*-4=-尹q+3=-共+1(+提.

。：a——下V0,且一3V力V0,

7191

当时，APAE的面积最大值为_2r.

②；点M在抛物线y——x~^x+3的对称轴x=-1上，

.•.设点河的坐标为(-l,m(.

由题意，点P的坐标为(t,—12—2t+3(,

四边形P4ME是平行四边形,AE、PM'为对角线，

%+2M=以+。8,即力一1=-3+0,t=-2,

.♦.点P的坐标为(-2,3).

VP+VM^VA+VE，得3+m=0+l,

m=—2.

.•.点M■的坐标为(-1,-2(.

③AFEF是以EF为直角边的直角三角形分两种情况：

(I)若/0£田=90°,如图4.2,过点P作轴于点G,

则A5PG〜AAEO,

2

.PG=EG前-t=（-t-2i+3（-l

"~，口丁一3，

整理得i?-t—2=0,解得力=-1,t2—2（舍去）,

.♦.点P的坐标为（-1,4（.

此时△PAE是等腰直角三角形.

图•》1图4.2

（II）若乙RF[E=90°,如图4.3,过点P作尸H_Lc轴于点

则APHD〜AAOE,

.PH_DH0-t2—2t+3——1—t

‘,皿―瓦》■，即

3―—I-

2

整理得t—i—6=0,解得^——2,t2—3（舍去）,

.,.点P的坐标为（-2,3（.

此时4PAE是等腰三角形.

（注：用其它方法求解参照以上标准给分.）

如图，二次函数夕=/—6c+8的图像与①轴分别交于点43（点A在点B的左侧），直线Z是对称轴.

点P在函数图像上，其横坐标大于4,连接PAPB,过点P作,垂足为“，以点M为圆心,作半径为

r的圆，PT与。/•相切，切点为T.

（2）若以。A/的切线长PT为边长的正方形的面积与的面积相等，且。朋■不经过点（3,2（,求长

的取值范围.

【答案】（1）4（2,0（,B（4,0（

（2）1</■或/<PA/<2或2

【详解】⑴解:令y=0,则有:1-6劣+8=0,解得：2；=2或3；=4,

.­.A（2,0（,B（4,0（.

⑵解：•・•抛物线过4(2,0(,B(4,0(

/.抛物线的对称轴为N=3,

设PGn,m2—6/71+8(,

：.M(3,m2—6m+8(,

如图：连接MT,则MT_LPT,

...口2=PM2—MT2=(m-3(2-r2,

・・・切线PT为边长的正方形的面积为(山一3(2—『2,

过点P作/轴，垂足为H,则：SEAB=^AB-PH=m2-6m+8,

(m—3(2—/=m2—6m+8

Vr>0,

・•・『=1,

图1

m2—6m+8=3,解得：nz=5或7n=1,

m>4

m=5;

②如图2:当点M在点N的上方，即M(3,l(

7

m>4

・，.nz=3+JZ;

综上,PM—m—3=2或y/2.

：.当。河不经过点（3,2（时，1VPMV一氮平VPMV2氮PM>2.

oo

题—3如图,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=—目/_2,+；交，轴于人、B两点，点。在

OO

抛物线上，且点C的横坐标为—1,连接BC交u轴于点D.

（1）如图1,求点。的坐标；

（2）如图2,点P在第二象限内抛物线上，过点P作PGLc轴于G,点E在线段PG上，连接AE,过点E作

交线段DB于F,若=设点P的横坐标为力，线段PE的长为d,求d与力的函数关系式；

⑶如图3,在⑵的条件下,点H在线段OB上,连接CE、EH,若NCEF=AAEH,EH—CE=乌AH,求

点P的坐标.

【答案】（1）（0,2）

（2）d=-1t2-1t+1

⑶T祟

OOOQ

【详解】（1）解:令抛物线g=—//一2®+_中的g=o,即0=—十22—2力+,

OOOO

解得:x=—4或6=1,

当x=-1时，g=4,即C(—1,4),

8

即4—4,0),B(l,0),

设直线BC的解析式为沙=for+6,

,(k+b=O

则晨+6=4，

%依=—2

解得:仁2,

即直线BC解析式为夕=-2x+2,

当;r=0时，沙=2,

则点。的坐标为(0,2).

(2)解：过E作多轴平行线Z,过/、F作Z的垂线段，垂足分别为N、M,如图所示,

Z

由AAEN+NFEM=90°,AAEN+ZEAN=90°知ZFEM=ZEAN,

,：AE=EF,

・•・/\ANE^/\EMF,

・・.AN=EM,NE=MF,

・・・P点横坐标为力，PE=d,

:.P(t,yp),NE=t+4=MF,EG=yp-d=AN=EM,其中yP=-l.^-2t+鼻

oo

.•.F点横坐标为：t+EM=t+yP—d,

F点纵坐标为：EG-MF=yP-d-(t+4),

将F点坐标代入g=—2/+2得：

yP—d—(力+4)——2(t+yp—d)+2,

化简得：3d=3gp+1-6,

2

即d=—^rt-^rt+

ooo

(3)解:过。作CQ,PG于Q,如图所示，

/CEF=/AEH,ZAEF=90°,

・・・/EFH=90°,

则/CEQ+/ECQ=4CEQ+4HEG=90°,

：./ECQ=/HEG,

：.4CEQ〜gHG,

.QE=CE=CQ

一行一班―访，

由(2)知，EG=yp—d=-?+2,

/.QE—4—EG—(+2,CQ——1—t,

o

.4+2=CE=-1-t

"HG~~EH~_i'

3十+2/

.36CE=3(t+l(

-9(力+1(，班—.一6，

.CE=-1-t3(t+l(t2-3610t2+45t

=AH=AG+GH=t+4+

"EH-OE~友—累―(T-汇-9(%+1(9(t+1('

—9/—Q

S*CE=EH—OE)

13a+1(

•.・EH—CE=$；AH,

o

.—2右一90歹=卓*10/+45力

一号9(力+1(，

即：

y

•••。(-1,4),塾，2-3(,

o

.•.由勾股定理得：(t+l)2+(2-^.t-4(^=

解得：t=—多(舍)或土=-：,

YU

矩形AOBC中，OB=4,OA=3.分别以OB、OA所在直线为立轴、。轴，建立如图1所示的平面

直角坐标系.F是边上一个动点(不与B、C重合).过点F的反比例函数？/的图象与边

交于点E.

(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为；

⑵连接EF,求ZFEC的正切值；

(3)如图2,将△CEF沿即折叠,点。恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度.

【答案】(1)(2,3)

10

⑶4

⑴解：•.•05=4,04=3,

.♦.点48、。的坐标分别为：（0,3）、（4,0）,（4,3）,

点F运动到边BC的中点时，点F（4,其，

k

将点F的坐标代入g=下并解得：k=6,

6

故反比例函数的表达式为："=»■,

当g=3时，6=3=2,故E（2,3）,

故答案为：（2,3）;

⑵解：丁F点的横坐标为4,点F在反比例函数上,

:.CF=BC-BF=3-2=12T

的纵坐标为3,

二呜，3（,

CE=AC-AB=4-号=一

33

CE4

在Rt/\CEF中,WEFC=互=y;

（3）解:如图，由（2）知，。？=与&,无=与士

CE=4

B—T，

EH=OA=3,AEHG=Z.GBF=90°,

NEGH+ZHEG=90°,

由折叠知，EG=CE,FG=CF,/EGF=/C=90°,

NEGH+NBGF=90°,

：.NHEG=4BGF,

•：NEHG=NGBF=90°,

:.AEHG〜4GBF,

.EH=EG=CE

"~BC~TTJ~TTr,

.3=4

,,西一3,

.••欣T.q

［题目|5如下列图形所示,在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点。重合，在其绕原点。旋转

的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=：/相交于点入、3点A在点B的左侧).

(1)如图1,若点4B的横坐标分别为一3、3,求线段中点P的坐标；

(2)如图2,若点B的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标；

(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(x,y)，求y关于x的函数解析式；

(4)若线段中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.

【答案】⑴(一年,黑(;(2)(4),(;(3加=1+2;(4)4«0

104

【详解】解：(1)•.•点A、B在抛物线y=^2■〃上，点人、B的横坐标分别为—3、苜,

当立=-3时,g=；x(_3y=：x9=S，

I，4“1<4116_8

当劣一3时，沙—?v弓(_?v丁一9，

即点4的坐标为(一3,式点口的坐标为虱

作ACVx轴于点。，作BD±x轴于点。，作PE±x轴于点E,如图1所示，

则AC//BD//PE,

12

・・,点P为线段AB的中点，

：.PA=PB,

由平行线分线段成比例，可得EC=ED,

设点P的坐标为（力,"），

4

则X—（—3）~~2~x,

,4+（-3）5

・27=_=—

-2e，

9।8

同理可得，。=N丫'T=邓97，

.•.点P的坐标为（.,黑（;

（2）1•点B在抛物线?/=上，点B的横坐标为4,

.•.点B的纵坐标为：y=；x42=8,

.♦.点B的坐标为（4,8）,

OD=4,DB=8,

作/。_L/轴于点C,作BO_L力轴于点。，如图2所示,

・・・AAOB=90°,AACO=90°,AODB=90°,

・・.ZAOC+Z.BOD=90°,ABOD+AOBD=90°,AACO=AODB,

・・・/AOC=/OBD,

・・・AAOC八OBD,

.AC=CO

设点A的坐标为Q,3a2（,

CO——a,AC—3a2，

.犷=-a

"丁一丁‘

解得a尸0（舍去），&2=—1,

点人的坐标为(-1,^.(,

g_|_1

中点P的横坐标为：—I［，="，纵坐标为=毛

线段AB中点P的坐标为©,三(；

(3)作AC_L2轴于点。，作3。_Lc轴于点D,如图3所示,

由(2)知，^AOC-XOBD,

.AC=CO

"R-W

设点A的坐标为Q,ga2(,点B的坐标为

.犷=b

解得，ab=—4,

丁点P(6,y)是线段AB的中点，

2222

._a+b^.a+^_fe_a+b_(a+b)2—2ab

•,$一^~，y=-s——?—，

a-\-b—2x,

・.”竺

即g关于名的函数解析式是g=1+2;

(4)当g=6时，6=rr2+2,

力2=4,

•••OP==T4+67=2yro,ZL4O5是直角三角形，点P时斜边AB的中点，

・・・4B=2OP=4JTO,

即线段AB的长是4g.

【题目|6：如图,在平面直角坐标系中，以直线2=1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c与直线y=kx+m(k>

0)交宇A(4,1),B两点，与v轴交于C(O,—1),直线y=kx+m(k>0)与抛物线对称轴I交于点D.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若AO：BD=3：5,求直线AB的关系式；

(3)在(2)的条件下,在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；

(4)在(2)的条件下，在对称轴上求点Q,使得△ABQ是直角三角形.

【答案】（1%=:22一1；（2为=—3/+3;（3）舄（20,2—Q（,g（—20,2+6（；⑷。。，15）,Q2（l,

—5）,。3（1，3+E，Q。，3—E）

【详解】解：⑴由题意列方程组

》=1

I7a

16a+4b+c=1

c=-1

解得：a=b=—J,c=—1

.•.抛物线的函数关系式为士/一1

TT

（2）作4E_L/于点E,BF±I于点F

由题意，AE=4-1=3

・・・AD:BD=3:5

:.AE:BF=3:5

BF=5

・••点B的横坐标为1-5=—4

把x=-4代入y=</一；/一1,得。二5

・・・B（-4,5）

，、,、{1=4fc+m

4寸人（4,1）,B（-4,5）代入g=far+?n得5=_以+小

解得k=一：,m=3

直线AB的关系式为y——.^.x+3…

••

PW=—j+4

/\ABP的面积二^.PM(x—Xp)+-^,PM(XA—X)=^.PM[XA—X^)

—'(-：/+4(x8=-/+16=4

解得，xi=20,n2=-2四

将X1=2J3,力2=—2，3分别代入。=2一匕_/一1,

解得伊=2-F，的=2+W

国2W,2—百),鸟(―2火,2+1v/S)…

⑷设Q(l")

第一种情况：当/QA4=90°,过点B作0轴的平行线，过点Q、点4作力轴平行线，分别相交于点G、点N

如下图：

16

,QG_BG_5_t-5

-w一酒，即L-s-

解得：力二15

・・・Qi(l,15)

第二种情况：当/A4Q=90°,过点幺作g轴的平行线，过点反点Q作力轴平行线，分别相交于点G、点N,

如下图：

.BG_AG8_4

••丽—5T，即厂？一T

解得:t=-5

。2(1，-5)

第三种情况：当/8Q4=90°时，过点Q作⑦轴平行线，过点及点4作g轴平行线，分别相交于点G、点N,

如下图：

.BG_GQ5-t_5

”中一而，即aF--LT

化简得:t2-6t-10=0

解得：ti-3+y/T^,t2—3—

,

Qs(i53+V/ID),Q4(I,3—

综上，满足题意的Q点坐标有4个，分别是：Q(l,15),Q2(l,—5),QKl,3+/in),Q/l，?—JI7).

〔题目|7抛物线g=-6与力轴交于A(力0(，-6(8,0(两点，与g轴交于点C,直线g=for-6经过点

石.点P在抛物线上，设点P的横坐标为馆.

⑴求抛物线的表达式和t,k的值;

⑵如图1,连接若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标;

(3)如图2,若点P在直线石。上方的抛物线上，过点P作PQLBC,垂足为Q,求CQ+的最大值.

111Q

【答案】⑴，夕=-丁/+工工一6,1=3,%

(2)点P(10,一］(

⑶署

【详解】⑴解：,.・_8(8,0(在抛物线沙=“力2+号"力—6上,

/.64a+^_x8—6=0,

・・・Q=一4，

18

/.抛物线解析式为y—6,

当g=0时，学力—6=0,

力=3,t2=8(舍)，

t=3.

vB(8,0(在直线y=kx—6

/.8fc—6=0,

•・"=4，

/.一次函数解析式为y—Arc—6.

4

⑵解:如图，作PM_Lc轴于点河，

对于g=—^.x2+l^.x—6,令力=0,则g=-6,

・,・点。(0,—6),即OC=6,

VA(3,0),

:.OA—3,

,・,点P的横坐标为m.

：.F(m,—4.m2+JJ_m_6(

PM—；馆2—二馆+6,AM=m—3,

vZCAF=90°,

・•・ZOAC-hZPAM=90°,

・・•ZAPM+APAM=90°,

・•.ZOAC=4APM,

・・・乙40。=/4Mp=90°,

・・・△cm〜△AMP,

,OA=OC

**7W-*7[^T,

OA•MA=OC,PM,即3(m—3)=6,+6(,

g=3(舍),m2=10,

m=10,

.•.点p(io,一£

(3)解:如图，作PN±a;轴交BC于点N,过点N作NE_L夕轴于点E,

P(m,—J_m2+_6(,

、丁Hv，

・••点N(m,^,m-6(,

PN=—^m2-}-l^..m—6—(^_m—6(^=—Jj-m2+2m,

・・・PN_L1轴，

:・PN〃y轴,

・・・4PNQ=〃DCB,

・・・/PQN=NBOC=90°,

.-.△FQ7V-ABOC,

.PN=NQ=PQ

•：OB=8f00=6,

/.BC=10,

・・・NQ=3PN,PQ=tPN,

o5

•・・EN_Lg轴，

:・EN"x轴,

・・・△C7VE〜△CBO,

.CNENCNm

,•加―=W即R-=X

/.CN=3n,

・•.CQ+1.PQ=CN+NQ+1.FQ=CN+&PN+2.x2PN=CN+PN,

•'•CQ+^.PQ=-^m2+2m=-^,m2+^.m=-^(m-最(+,

.•・当馆=4时，CQ+：PQ的最大值是黑.

Qfi目78已知二次函数v=—；/+皈+C图像的对称轴与2轴交于点4(1,°),图像与沙轴交于点B(o,3),

C、D为该二次函数图像上的两个动点(点。在点D的左侧)，且/CAO=90°.

(1)求该二次函数的表达式；

⑵若点。与点B重合，求tan/CDA的值；

(3)点。是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点。的坐标;

若不存在,请说明理由.

【答案】(1加=一；炉+：。+3

②I

(3)(-2,1(,(3-5/17,717-2(,(-1-^17-2-/T7(

【详解】(1)解：：二次函数^=一32+62；+。与9轴交于点_8(0,3(,

c=3,即9=-1式+匕t+3,

；A(LO(,即二次函数对称轴为2=1,

x=—2=-=1,

为2x(一上(

20

・b=1

・・。丁

二次函数的表达式为g——3力?+］力+3.

TT

(2)解:如图，过点。作/轴的垂线，垂足为E,连接

・・・/CAD=90°,

・•・ABAO-iADAE=90°,

・・•/ADE+/D4s=90°,

・・・4ADE=4BAO,

・・・ZBCL4=NOE4=90°,

・・・△ADE〜△BAO,

••/旬—DE'即BO,DE—OA9AE,

vB(0,3(,A(l,0(,

:.BO—3,OA=1,

设：OQ,—<#+：1+3(,点0在第一象限，

OE-t,DE——+3,AE—OE—OA—t—1,

.\3x(—9+)+3(=lx(―1(,

解得：土尸一々(舍)，-4(舍)，

当友=4时，y=_；x42+：x4+3=l,

：.AE=4：-1=3,DE=1,

：.AD=JDE-TAE2=TFTT=网，

AB=^iO^+OB-=7P+37=g

在Rt/\BAD中，

AB

...tanZG.DA=__=J0*_°_=1i

(3)解:存在，

如图，(2)图中放ABAD关于对称轴对称时，tan/CDA=l,

•.•点。的坐标为(4,1(,

此时，点。的坐标为(-2,1(,

如图，当点C、。关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即tan/CD4=1,

当点。在力轴上方时，

21

过点。作CE垂直于2轴，垂足为E,

/CAD=90°,点。、D关于对称轴对称，

/CAE=45°,

△CAE为等腰直角三角形，

:.CE=AE,

设点。的坐标为QI,—；小2+；加+3（,

CE+3,AE—1—m,

+3=1—m

TT

解得：mi=3-JT7,电=3+JI7（舍）,

此时，点。的坐标为（3-<17,717-2（,

当点C在/轴下方时，

过点。作垂直于力轴，垂足为F,1（

vACAD=90°,点C、D关于对称轴对称，|

・・."”二45。，1

・•.△CAF为等腰直角三角形，

：.CF=AF,

设点C的坐标为（m,—+3

/.CF=2sm—3,AE=1—m,

Am2—J_m—3=1—m

4T

—

解得：mi—1+。7（舍）,m2=—l—JT7,

此时，点。的坐标为（一1一«7,—2—47（,

综上：点。的坐标为（-2,1（,（3—J17,J17—2（,（—1—J17,—2—“17（.

〔意目|9正方形ABCD中，点E在边BC,CD上运动（不与正方形顶点重合）.作射线AE,将射线绕点

A逆前针旋转45°,交射线CD于点F.

22

（1）如图，点E在边BC上，=则图中与线段AE相等的线段是

（2）过点E作EGLAF,垂足为G,连接。G,求/GDC的度数；

（3）在（2）的条件下,当点F在边CD延长线上且OF=OG时，求穿的值.

71CT

【答案】⑴AF

（2）/GDC的度数为45°或135°

（3）V2-1

【详解】（1）AF.

•.•正方形ABCD,

AAB=AD,NB=ND=90°,

•：BE—DF,

：.AABEWAADF,

：.AE=AF.

⑵解:①当点E在边BC上时（如图）,

过点G作GW_LAD,垂足为延长MG交B。于点N.

AAMG=ADMG=NGNE=90°,

四边形CDMN是矩形.

：./2+/3=90°.

EG±AF,/EAF=45°,

/2+/1=90°,

△AEG为等腰直角三角形，AG=EG.

Z1=Z3.

△AMGWLGNE.

：.AM=GN.

■：AM+MD=GN+MG,

：.MD=MG.

：.ZWDG为等腰直角三角形，Z4=45°.

/GDC=45°.

23

②当点E在边CD上时（如图）,

过点G作GN_LDF,垂足为N,延长NG交BA延长线于点则四边形ADW是矩形,

同理，△AWGzaGNE.

GN=AM=DN.

：.AAfDG为等腰直角三角形，Zl=45°.

A/GDC=180°—45°=135°.

综上，/G。。的度数为45°或135°.

⑶解：当点F在边CD延长线上时，点E在边CD上(如图),

设GN=DN=a,则DG=^2a.

：.DF=DG=yfZa.

FN=DF-DN=(0—1(a.

•/GN//AD,

.FGFN

••汨一=而一=G

题目10在平面直角坐标系中，已知点人在"轴正半轴上.

⑴如果四个点（0,0（、（0,2（、（1,1（、（-1,1（中恰有三个点在二次函数y=a/（a为常数，且aWO）的图象

上.

①a=______;

②如图T7函菱形ABCD的顶点B、C、O在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；

③如图2,己知正方形ABCD的顶点B、。在该二次函数的图象上，点B、。在沙轴的同侧，且点B在点。

的左侧，设点B、。的横坐标分别为rn、n,试探究n-m是否为定值.如果是，求出这个值;如果不是，请说

明理由.

（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax\a为常数,且a>0）的图象上，点B在点D的左侧,

设点B、D的横坐标分别为小、九，直接写出小、九满足的等量关系式.

24

【答案】⑴①1；②¥；③是，值为i

(2)a(n—m(=1或??1+n=0

【详解】⑴①解：当a：=O,y=O,

(0,2(不在二次函数图象上，

将(1,1(代入g=aa?,解得a—1,

故答案为：1;

②解：由①知，二次函数解析式为y=

设菱形的边长为p,则AD=p,O(p,p2(，

由菱形的性质得，BC=p,BC7/4D,\I

.♦.BC'g轴，]I

•♦•依,式In

•：CD2^AD2,\xiP

・•.GYC+QJN=p2，

解得p=0(舍去)，p=—孥(舍去)，P=竽，

菱形的边长为学；

③解:如图2,连接AC、BD交点为E,过B作AflV_Lg轴于河，过。作C/V_L7W于N,

由正方形的性质可知，石为A。、皿的中点，48=石。，/ABC=90°,

・•.AABM+ZCBN=90°=/CBN+ABCN,

：.ZABM=ABCN,

・・・/ABM=ABCN,AAMB=ABNC=90°,AB=BC,

・・・△4MB空△BM7(44S(,

:・AM=BN,BM=CN,

22

由题意知，B(m,m(,。(九，九2(,7n>o,九>o,则E(2ZL^2L,(,M(0,m(,

设4(0,q(，则C(m+n,m2+n2-Q(,7V(m+n,m2(,

AM—q—m2,BN=n,BM=m,CN=n~Q，

q—m2=n,m=n1—q,

n2—m—m2=n,

•・,点瓦。在g轴的同侧，且点B在点D的左侧，

m+n0,

n—m=1,

.，.九一771是定值，值为1;

(2)解：由题意知，分①当B、。在g轴右侧时,②当B、。在g轴左侧时,③当B在g轴左侧，。在g轴右侧

时，三种情况求解；

①当石、。在g轴右侧时，

y—ax2,

同理⑴③，AA1=BN,BAf=CW,

由题意知，B(m,am2(,-D(n,an2(,m>0,0,则E^71n.,一__M(0,am2(?

设A(O,q(，则C(m+n,a(m2W(-g(,7V(m+n,am2(,

AM—q—am?,BN—n,BM—m,CN—an~(l^

oo

q—am—nfm—an—q,

an2—m—am2=n,

化简得(an—am—l((m+n(=0,

Tm十九#0

a(n—m(=1;

②当在g轴左侧时，

同理可求Q(n—m(=1;

③当石在g轴左侧，。在沙轴右侧时，且BD不垂直于g轴时，

同理可求a(n—m(=1,

当石在g轴左侧，。在g轴右侧时，且石。垂直于g轴时，

由正方形、二次函数的性质可得，m+n=0;

综上所述，a(n—m(=1或7n+?2=0.

题目［n如图,在平面直角坐标系①3中，抛物线八27=1—22—3的顶点为P直线，过点河(0,皿

-3)，且平行于x轴，与抛物线〃交于A、B两点(B在A的右侧)，将抛物线Li沿直线L翻折得到抛物线

，，抛物线乙2交沙轴于点。，顶点为。.

lL2

I

T/

（备用图）

⑴当？71=1时，求点。的坐标；

(2)连接BC、CD、DB,若/BCD=90°,求此时乙2所对应的函数表达式；

⑶在⑵的条件下，若△3CD的面积为3,E、F两点分别在边3。、8上运动,且必1=8,以用为一边

作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理由.

【答案】⑴。(1,6(

(2)y=-x2+2x+3

⑶-

【详解】(1)y=—3=(rc-1(2—4,

.­.F(l,-4(,

.♦.点P和点D关于直线y=1对称，

.-.n(i,6(；

⑵：P(l,-4(,点P和点。关于直线9=m对称，

D(l,2m+4(,

2

L2的解析式为：y=—(z—l(+2m+4

当力=0时，g=2m+3,

.-.C(0,2m+3(,

过点。作DV_Lg轴于点N,则：N(0,2nz