2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-幂函数（学生版）

专题20幕函数

【知识点梳理】

知识点一：塞函数概念

形如>=丁(。6尺)的函数，叫做暴函数，其中a为常数.

知识点诠释：

募函数必须是形如y=%a(acR)的函数，募函数底数为单一的自变量了,系数为1,指数为常数.例

如：y=3x4,y=/+i,y=(x—2)2等都不是事函数.

知识点二：幕函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

-13

(l)y=x；(2)y=%2；(3)y=%2；(4)y=x；(5)y=x.

知识点诠释：

基函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的嘉函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)a>0时，塞函数的图象通过原点，并且在区间［0,+◎上是增函数.特别地，当1>1时，塞函数的

图象下凸；当0<。<1时，幕函数的图象上凸；

(3)a<0时，幕函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象

在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+«)时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

2、作塞函数图象的步骤如下：

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幕函数的定义域为(0,+8)或［0,+8),作图已完成；

若在(-8,0)或(-8,0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3、嘉函数解析式的确定

(1)借助募函数的定义，设幕函数或确定函数中相应量的值.

(2)结合幕函数的性质，分析基函数中指数的特征.

(3)如函数/(x)=hx“是塞函数，求/(x)的表达式，就应由定义知必有左=1,即/(x)=x".

4、塞函数值大小的比较

⑴比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与。和1进行比较.常

称为“搭桥”法.

(2)比较嘉函数值的大小，一般先构造塞函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小.

(3)常用的步骤是：①构造累函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小.

【题型归纳目录】

题型一：塞函数的概念

题型二：塞函数的图象的应用

题型三：塞函数的单调性

题型四：塞函数的奇偶性

题型五：基值大小的比较

题型六：定点问题

题型七：定义域问题

题型八：值域问题

题型九：解不等式问题

题型十：塞函数综合问题

【典例例题】

题型一：塞函数的概念

例1.(2023・高一课时练习)下列函数为塞函数的是()

2

A.y=2x2B.y=2x2-1C.y=—D.y=x2

x

例2.(2023•江西吉安・高一永新中学校考期中)下列函数是幕函数的是()

A.y=x2-1B.产斓C.y=2xD.y=0.3x

例3.(2023•江西赣州•高一校考期中)在函数y=丁=2/，j=y=l中，塞函数的个数为()

x

A.0B.1C.2D.3

变式1.(2023•江苏扬州•高一统考期中)已知事函数/(乃二K的图像经过点(4,2),则。的值为()

£

A.BC.-2D.2

2-I

变式2.（2023•高一课时练习）已知嘉函数，（力=伍-1）/的图象过点（"g）,则a+b等于（）

A.-B.0C.gD.1

22

变式3.（2023.浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期末）已知事函数“力=（/+2〃-2）./-2"在他,+⑹

上是减函数，则"的值为（）

A.-3B.1C.3D.1或一3

变式4.（2023•黑龙江大庆•高一大庆中学校考期中）函数/⑴=（„r-m-l）x4m+3是基函数，且在（0,+到上单

调递增，则f（2）=（）

A.1B.211

C.g或2"D.2或2T

题型二：塞函数的图象的应用

例4.（2023・全国•高一专题练习）如图，下列3个累函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

ll

A.@y=x-,®y=xi,③产产B.@y=x-,®y=xi,®y=xi

C.①y=l②y=£，③片/D.①y=£,®y=X-',③y=£

例5.（2023.黑龙江哈尔滨.高一统考期末）若点P（4,2）在基函数〃x）的图象上，则的图象大致是（）

p

例6.（2023•高一课时练习）已知幕函数、且。应互质）的图象关于y轴对称，如图所示，贝女）

y

B.q为偶数，。为奇数，且“＜。

q

C.q为奇数，p为偶数,且/＞。

D.q为奇数，p为偶数，且“＜。

q

变式5.（2023.全国•高一专题练习）已知幕函数〃x）的图象经过点（8,4）,则的大致图象是（）

变式6.（2023・湖北十堰•高一统考期末）已知哥函数的图象经过点则该暴函数的大致图象是（）

题型三：然函数的单调性

例7.（2023・高一课时练习）下列函数中,在区间（―,。]上为增函数的是（）

1

A.B.y=-x2C.y=y[xD.y=-x3

"一x

例8.（2023・重庆•高一校联考期中）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）

2

A.y=—B.y=x2C.y=2-xD.y=

x

例9.（2023•辽宁丹东•高一统考期末）已知幕函数的图象经过点卜,£|,则/"）在定义域内（）

A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值

变式7.（2023•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习）下列函数中，在区间（-1,田）上是增函数的是

（）

A.y=|x+l|+2B.y=3|x.C.y=~-D.y^-x+1

变式8.（2023•河南郑州•高一郑州市第七中学校考期末）函数/（X）=（6T-XN的单调递减区间为（）

A.[一（,2]B.[-3,一口C.昌,+8）D.（-8,一3

2222

1

变式9.（2023•福建・高一厦门一中校考期中）已知函数/⑶=卜2_4%+3日的增区间为（）

A.（3,+QO）B.（2,+00）C.（f2）D.S,l）

变式10.（2023・高一单元测试）暴函数丫=尤八2〃-3是奇函数，且在（0,+8）是减函数，则整数a的值是（）

A.0B.0或2C.2D.0或1或2

变式IL（2023・山西大同•高一统考期中）已知幕函数〃x）的图像过点仁,4）则对“X）的表述正确的有

（）

A.是奇函数，在（0,+”）上是减函数B,是奇函数，在（-8,0）上是增函数

C.是偶函数，在（0,+8）上是减函数D.是偶函数，在（-8,0）上是减函数

题型四：基函数的奇偶性

例10.（2023・山西吕梁・高一统考期中隔函数y=的图象过点（2,五），则关于该事函数的下列说法正

确的是（）

A.经过第一象限和第三象限B.经过第一象限

C.是奇函数D.是偶函数

例11.（2023・广东清远•高一校联考期中）已知累函数/⑺的图像过点（2,8）,则〃x）（）

A.是奇函数，在+8）上是减函数

B.是偶函数，在上是减函数

C.是奇函数，在（-8,0）上是增函数

D.是偶函数，在（-8,0）上是减函数

例12.（2023•贵州毕节•高一统考期末）若塞函数"%）=（〃工2+〃19卜'"的图象关于，轴对称，则根=（）

A.一5或4B.-5C.4D.2

2c25/、

变式12.（2023・广西贵港•高一统考期末）若累函数〃司=瓦的图象关于y轴对称，解析式的幕

的指数为整数，/（X）在（-双。）上单调递减，则加=（）

1„1.49r1T7

AA-9B-§或§C--3D-一§或］

变式13.（2023・广东珠海・高一珠海市第一中学校考期中）已知〃引=/1+2（常数必WO）在（0,+8）上有

最大值"=3,若的最小值为N,则M+N=（）

A.0B.3C.4D.5

题型五：幕值大小的比较

例13.（2023・广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知累函数〃制=（“-加-1卜为一对任意的

外«。,笆）且无产x2,满足“：）2）>o,若“，beR,a+l+b<0,则/（l+a）+/（6）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

例14.（2023•吉林・高一吉林毓文中学校考阶段练习）已知。>方，则下列不等关系中一定成立的是（）

A.ab<b2B.a2>b2C.-<TD.a3>b3

ab

42\

例15.（2023•山东聊城•高一山东聊城一中校考期中）已知则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a>b>cD.b<c<a

变式14.（2023•辽宁葫芦岛•高一校联考期中）设％=1产，%=8",%=130叱则（）

A.B.C.%>%>%D.

变式15.（2023•福建南平•高一统考期中）下列比较大小中正确的是（）

A[I"

B.

3_3

c-(-2.1)7<(-2.2/D.

题型六：定点问题

例16.（2023・上海徐汇・高一统考期末）当aeR时，函数y=严-2的图象恒过定点A,则点A的坐标为

例17.（2023・上海徐汇•高一位育中学校考阶段练习）已知/（x）=（2x-l）"+l,则函数>=/（x）的图象恒过的

定点P的坐标为

例18.（2023•高一课时练习）信函数y=xa（aeR）的图像恒过定点.

变式16.（2023•高一课时练习）有关暴函数的下列叙述中，错误的序号是.

①幕函数的图像关于原点对称或者关于y轴对称；

②两个幕函数的图像至多有两个交点；

③图像不经过点（-1,1）的基函数，一定不关于y轴对称；

④如果两个幕函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同.

变式17.（2023•陕西渭南•高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知函数/（x）=2+£（a为不等于0的常数）的

图象恒过定点P,则尸点的坐标为.

变式18.（2023•河南濮阳•高一濮阳一高校考期中）不论实数。取何值，函数y=（x-l）°+2恒过的定点坐标

是.

题型七：定义域问题

例19.（2023•浙江•高一校联考期末）已知幕函数y=-3ax。，则此函数的定义域为.

3

例20.（2023•高一课时练习）幕函数y=#的定义域是-

例21.（2023.全国•高一专题练习）已知幕函数〃司=|3-2租卜艰的定义域为［°，+8），则实数机=.

变式19.（2023・上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数y=的定义域是.

变式20.（2023•高一课时练习）若（3尤+1金有意义，则实数x的取值范围是

变式21.（2023•山东荷泽・高一阶段练习）已知/（幻=k］+（3X+1）°,则Ax）的定义域为.

题型八：值域问题

例22.（2023•黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考期中）函数y=x-在区间［—4,—2］上的最小值是.

x,0<x<1,

例23.（2023•高一课时练习）函数,的值域为.

—>1.

例24.（2023•河北石家庄•高一石家庄市第九中学校考期中）若幕函数/（x）的图象过点,则的值

域为•

变式22.（2023・全国•高一专题练习）已知max{a,=设函数〃》）=11^{凡一},其定义域为

{xIx＜0或x＞0},则函数/（x）的最小值为.

变式23.（2023•高一课时练习）已知事函数了=6/」，该函数的值域为.

变式24.（2023•高一课时练习）已知幕函数的图象过（2,4）,那么/⑴在［0,e］上的最大值为

题型九：解不等式问题

例25.（2023・重庆•高一校联考期末）已知函数〃x）==^,若/（a+l）＜〃3-2a）,则实数。的取值范围

是（）

A/*］B・居住

（）

C.（4,+00）D.f-=o,-|ju4,+co

例26.（2023・甘肃张掖・高一统考期末）已知幕函数“X）的图象过点（2,32）,若〃。+1）+"-1）＞0,贝M的

取值范围为（）

A.（2,+oo）B.（l,+oo）C.（。,+8）D.（-1,+cc）

例27.（2023.河南洛阳•高一统考期中）已知基函数y=/（x）过点（2,码，则〃x+l）＜2的解集为（）

变式25.（2023.江苏苏州.高一星海实验中学校考期中）不等式（X+I），（3-2XH的解为（）

11

变式26.（2023•浙江温州•高一温州中学校考期中）若（2m+l）W＞（〃，_机_3＞,则实数机的取值范围是（）

A(1-a1

A.-----------

I22

C.(-1,4)

11

变式27.(2023•福建三明•高一校联考期中)若.+1)5“3-2a)3,则实数。的取值范围是()

2?2323

A.[-,+oo)B.(—co,-]C.(-,—]D.[-,—]

变式28.(2023•高一课时练习)已知基函数〃司二丁上若2。)，则〃的取值范围为()

A.(-3,5)B.(-5,3)C.(-5,-3)D.(3,5)

变式29.(2023•山东泰安・高一山东省泰安第二中学校考阶段练习)已知幕函数〃x)=(6-2a-2)x"SeR)

在(0,+8)上单调递增，不等式/■(》+5)<〃/-3》)的解集为()

A.(^»,-5)..(1,+°°)B.(^»,-l)U(5,+oo)C.(-1,5)D.(-5,1)

题型十：幕函数综合问题

例28.(2023・四川广安•高一校考阶段练习)已知幕函数〃口=(苏+加-5)x“+("R)在(0,+巧上单调递

增.

⑴求m的值及函数的解析式；

⑵若函数g(x)=一加(切2+2«x+1-a在［0,2］上的最大值为3,求实数a的值.

例29.(2023•高一单元测试)已知事函数〃x)=(疗-5根+7卜-»(〃-)为奇函数.

⑴求政的值；

⑵若〃2a+l)>〃a),求实数。的取值范围.

例30.(2023•辽宁辽阳•高一校联考期末)已知幕函数/(x)=(6+a-5)/为奇函数.

⑴求的解析式；

91

(2)若正数相,几满足3%+12几+5。=0,若不等式一+—2Z?恒成立.求b的最大值.

mn

变式30.(2023•辽宁葫芦岛•高一统考期末)已知幕函数/(x)=(苏-3加+3)”-后是偶函数.

⑴求函数“X)的解析式；

(2)若/(2x—l)</(2-x),求x的取值范围.

变式31.(2023・福建龙岩・高一统考期末)已知幕函数/(幻=(2田-9利+10卜"I为偶函数，

g(x)=/(x)+-(^eR).

⑴若g(2)=5,求&；

(2)已知上V2,若关于x的不等式g(x)-；^>0在工+s)上恒成立，求上的取值范围.

变式32.(2023・辽宁.高一校联考期末)已知募函数〃x)=(疗-3).尤”在(0,+巧上单调递减.

⑴求“力的解析式;

⑵若Vxe[l,2],二求a的取值范围.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023・高一课时练习）下列命题中正确的是（）

A.当a=0时函数y=x"的图象是一条直线

B.塞函数的图象都经过（0,0）和（U）点

C.若哥函数、=丁是奇函数，则了=才是定义域上的增函数

D.幕函数的图象不可能出现在第四象限

2.（2023・浙江•高一校联考期中）记a=0.2°」,b=0.1叱c=（0）q5,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

3.（2023•辽宁本溪•高一校考阶段练习）若幕函数/（x）=（川一2加-2b/—+i在区间（0,+向上单调递增，则

m=（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或一3

4.（2023•云南怒江•高一校考期末）若幕函数y=/（x）的图象经过］,2）,则/（-3）=（）

A.—B.3C.—D.—3

33

5.（2023•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）下列不等式一定成立的是（）

A.若a>b,则!B.若a>b,则〃2〉/

C.若a>b,则Q3〉63D.若贝！JMvaOv/

6.（2023•山东枣庄•高一枣庄八中校考阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A.f（x）=x+lB./（%）=——C./（x）=—D.f{x}=xlxl

x

7.（2023・辽宁鞍山•高一统考期末）函数/（力=（川-机-1）/+加一3是幕函数，对任意％,马£（0,+0））,且

工产工2，满足"/）>0,若Q/ER,且〃+匕>0,ab<0,则的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

8.（2023・湖北武汉•高一校联考期末）已知塞函数的图象经过点则该塞函数的大致图象是（）

二、多选题

9.（2023・全国•高一专题练习）下列函数中，既是偶函数，又在区间（。,+e）内单调递增的有（）

A.y=-桐B.y=V?c.y=x2-lD.y=%3

10.（2023.安徽芜湖.高一统考期末）下图为幕函数y=/（x）的大致图象，则的解析式可能为（）

12

CD./（%）二声

11.（2023咛夏银川•高一银川二中校考期末）嘉函数"％）=（加+加-1）尤皿，,"cN*’则下列结论正确的是

（）

A.m=lB.函数/（X）是偶函数

C./（-2）</（3）D.函数八”的值域为（0,+“）

12.（2023・全国•高一专题练习）若函数/（尤）="，则（）

A.7。）的图象经过点（0,0）和（1,1）

B.