2024年高考全国甲卷数学(理)试题及答案

2024年高考全国甲卷数学（理）试题及答案

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设z=5+i,则«+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共辗复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=Z=5—i,z+三=10，则i传+z）=10i.

故选：A

2.集合&={1,2,3,4,5,9},8=1%］底64}，则。（&八8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合8的定义求出8，结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},8=4，所以B={1,4,9/6,25,81},

则4口6={1,4,9},64（AnB）={2,3,5）

故选：D

4x-3y-3>Q

3.若实数满足约束条件<x—2y—2<0，贝U2=x—5y的最小值为（）

2x+6y-9<0

A.5B.；C.—2D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数乂y满足〃x-2y-2<0，作出可行域如图：

2x+6y-9<0

什4x-3y-3=0

*

1AX-2J-2=0

由z=x-5y可彳导y=二1_12,

即z的几何意义为y=：龙—：Z的截距的-1,

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y尤—gz过点A,

Ux-3y-3=0x=-/3八

联立。Acc，解得2,即山彳,1,

[2x+6y-9=0卜=][2)

37

贝llZn11n=--5x1=--.

故选：D.

4.等差数列｛4｝的前〃项和为s“，若S5=%,%=1,贝！J4=()

7

A.—2B.一C.1D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=$o结合等差中项的性质可得%=0,即可计算出公差，即可得力的值.

【详解】由S10-邑=4+%+。8+%+卬0=5。8=C)，则。8=。，

则等差数列｛4｝的公差d=M马=一g,故％=%-Md4义㈢=:

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4），点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率.

【详解】设耳（。，一4）、&（0,4）、P（—6,4）,

则I耳闻=2。=8,附卜利+（4+4）2=io,|*=,62+（4—4）2=6,

DeQ

则2a=归胤一「用=10—6=4,则e=|j=：=2.

故选：C.

6.设函数〃x）=e'+2s：nx，则曲线y=/⑺在（0』）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1+X

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

(e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx).2x

【详解】ra）=

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

则/'(o)==3

即该切线方程为y-i=3x，即y=3x+1,

令x=0，则y=l，令，=o，则x=-；,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S==xl义=7.

故选：A.

7.函数/(%)=—/+(］—/收1«在区间［—2.8,2.8］的大致图像为()

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得/(1)>0,可排除D.

［详解］/(-^)=-^2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(er-e-x)sin%=/(x),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

又/⑴=T+

故可排除D.

故选：B.

8.已知c°sa=6,则tan[+N=()

cos6z-sma<4)

A.2百+1B.273-1C.B

D.1-73

2

【答案】B

【解析】

COSCL

【分析】先将-------:一弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sma

【详解】因为———=6,

cosa-sma

所以;~~---=V3,=>tanoc=1--,

1-tana3

所以tanja+小=；na+l=26一］,

I4J1-tana

故选：B.

9.已知向量a=(x+l,x),B=(x,2)，贝［］(

A."x=-3"是的必要条件B."尤=-3"是"allb"的必要条件

是的充分条件

C."x=0"是的充分条件D."X=-1+43"5//B"

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当时，则=B=o,

所以为«+1)+2%=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，«=(1,0),^=(0,2),故-3=0,

所以Z_LB,即充分性成立，故c正确；

对B,当W//B时，则2(x+l)=r,解得％=1±6，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=—l+百时，不满足2(x+1)=/，所以％/4不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设。、，是两个平面，加、〃是两条直线，且aPl々=7九下列四个命题：

①若根〃〃,则"//。或"//分②若m，则

③若〃//a,且n〃/3,则向/〃④若〃与&和夕所成的角相等，则加，“

其中所有真命题的编号是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当"<=a,因为机〃",mu/3，则〃//尸,

当nu/3,因为加〃”,mua，则“//0,

当“既不在a也不在夕内，因为加〃〃,muajnu0,则〃//a且〃///?,故①正确；

对②，若相，“，则"与a,尸不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与名尸分别相交于直线$和直线L

因为“//戊，过直线”的平面与平面a的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知”//s,

同理可得"/〃,则s/〃，因为s<Z平面/，fu平面",贝[]s//平面/，

因为su平面a,«n/?=zn，贝,又因为〃//s，则相〃”,故③正确；

对④，若&c尸=%%与a和夕所成的角相等,如果〃//a,"///?,则加〃"，故④错误;

综上只有①③正确，

故选：A.

兀9

11.在AABC中内角A5c所对边分别为a,4C,若B=z,b2=-ac,贝［|sinA+sinC=()

34

3

A.B.V2C.叵

22

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=7,再利用余弦定理有49+c9?=：说,再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.

【详解】因为8=，则由正弦定理得sinAsinCnxsin-Bu；；.

3493

9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=—ac,

4

131313

22

即:〃2+=一ac根据正弦定理得sinA+sinC=一sinAsinC=一，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0，贝！JsinA+sinC=也.

2

故选：C.

12.已知。是a，。的等差中项，直线依+纱+。=。与圆炉+'2+4,—i=o交于A］两点，贝的最

小值为()

A.2B.3C.4D.245

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为心仇。成等差数列，所以%=a+c,c=2b-a，代入直线方程依+乃+c=0得

/、/\\x-\-0\x=l

ax+by+2b-a=G艮"T+心+2)=0,令［5=0得］=-2

故直线恒过。，-2),设P0,-2),圆化为标准方程得：C:£+(y+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PCLAB时，|A@最小，

|PC|=1,|AC|=|F|=A/5,此时卜21Api=2y1AC2-PC2=275^1=4.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.匕+x）的展开式中，各项系数的最大值是___

【答案】5

【解析】

【分析】先设展开式中第一+1项系数最大，则根据通项公式有<,进而求出「即

可求解.

【详解】由题展开式通项公式为j,0<r<10fireZ,

,

设展开式中第厂+1项系数最大，则<

29

r>——

42933

，即力「已，又*，故T,

33

r<—

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C：。5.

故答案为：5.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为4和马，母线长分别为2（&Ti）和3（2-彳），则两个圆台

的体积之比含=

乙

【答案】国

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

【详解】由题可得两个圆台的高分别为愠=J[2（…）]2_（上02=若您—弓），

坛=也色-切了一6一式=20«一4），

也=#2+5+7^）为=冬=回-弓）=旦

彩；化+5+庖；）/务2母（…）4'

故答案为：叵

4

115

15.已知。＞1,--J=一不，则。=

log8alog”42

【答案】64

【解析】

【分析】将1暇a」og〃4利用换底公式转化成log?a来表示即可求解.

113K5,、2

【详解】由题^------；—-=--------loga=--，整理得（log2。）-51og«-6=0,

2v272

log8alogfl4log2a22

nlog2a=-1或log2a=6，又a>l,

所以log2a=6=log2，故a=26=64

故答案为：64.

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记加

为前两次取出的球上数字的平均值，"为取出的三个球上数字的平均值，则加与〃差的绝对值不超过:的

概率是.

7

【答案】百

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b^,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为。力,第三个球的号码为。，则“+；+,

故12c-(a+Z?)|3,故—3<2c-(a+Z?)<3,

故a+b—3<2c<a+b+3,

若c=l,则a+人V5，则(。力)为:(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2，则lKa+6K7,则为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,贝!］3<a+b<9,贝U(a,。)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种，

当c=4,贝［|5=。+二11,同理有16种，

当c=5，则7<a+bK13,同理有10种，

当c=6,贝［|9Ka+Z?<15,同理有2种，

共加与〃的差的绝对值不超过g时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为需=(.

7

故答案为：-

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个

考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件

进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率。=。5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

p>p+1.65.P(1~P),则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为

Vn

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了?(而5。12.247)

附：——幽血一

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见详解

(2)答案见详解

【解析】

【分析】(1)根据题中数据完善列联表，计算K2,并与临界值对比分析；

(2)用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算p+].65J—P),结合题意分析判断.

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得片J50(26X30-24X70)2=至=4.6875,

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为F=0・64,

用频率估计概率可得方=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率。=0.5,

则p+1.65、同05=O.5+L65p5(l-"5J-o5+1.65x。行-0.568,

\nV15012.247

可知》＞p+L65卜”0,

Vn

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.记Sn为数歹U｛。〃｝的前n项和，且4S.=3an+4.

(1)求｛。〃｝的通项公式；

(2)设〃=(-1)"”,求数列也｝的前n项和为T”.

【答案】(1)4=4-(-3尸

(2)〈=(2〃-1).3"+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛4｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求7；.

【小问1详解】

当〃=1时，4s]=4q=3q+4，解得q=4.

a3a

当"之2时，4S-1=3。“一1+4,所以4S,,—4S,T=4a“=3an-34T即„=~n-i.

而4=4w0，故囚产0,故'=-3,

an-\

二数列｛4｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以4=4.(—3)“T.

【小问2详解】

bn=(—I)”—.〃.4.(―3)”T=4n.3'i,

所以/=4+4+么+,••+)"=4-3°+8-31+12-32+.•<4n-3n-1

故37；=4-31+8-32+12-33+---+4n-3n

所以_2〈=4+4-3'+4-32+---+4-3,!-'-4«-3"

=4+23(3,-1)-4h3”

=(2—4〃>3"—2,

.'.7；,=(2n-l)-3"+1.

19.如图，在以Z,8,C,。，巳尸为顶点的五面体中，四边形Z8C。与四边形ZOE厂均为等腰梯形,

BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=®,FB=2下,M为AD的中点.

(1)证明：碗//平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

(2)拉

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形为平行四边形，可证员欣〃CD,进而得证；

(2)作3(9,AD交AD于。,连接OF,易证03,8,0/三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BC//AD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形BCDM平行四边形，所以BM//CD,又因为BM。平面CDE,

CDu平面CDE,所以3M〃平面CDE;

【小问2详解】

如图所示，作30,AD交AD于。，连接。尸,

因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以C£>=2,

结合（1）BCDM为平行四边形，可得BM=8=2,又AM=2,

所以为等边三角形，0为AM中点，所以05二百，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF//MD,

四边形跳加。为平行四边形,FM=ED=AF,

所以LAFM为等腰三角形，AABM与底边上中点。重合，OF_LAM,。尸=^AF2-AO2=3，

因为OB2+OF?=BF2,所以OBLOF,所以OB,OD,OF互相垂直,

以OB方向为X轴，。。方向为y轴，OF方向为二轴，建立。一孙Z空间直角坐标系，

F（0,0,3）,B（A0,0）,M（0,l,0）,E（0,2,3）,施=（一省,1,0）,丽=卜6,0,3）,

BE=（-73,2,3），设平面加乱的法向量为仇=&,如4）,

平面EMB的法向量为n=（x2,y2,z2）,

m-BM=0£玉+》10，令％=Q,彳导％=3,4=],即玩=（也,3,1）

则一,即

m-BF=0_13X[+3zj-0

n-BM=0—yj3xo+y9—0i—

则一,即「，令x?=A/3，得%=3,Z2=—1z

n-BE=0—，3%2+2y2+3z2—0

一一m-n11_H/3

,cosm,n=同।一一同一标后一百,贝人也泣点=4记A

故二面角F-BM-E的正弦值为上叵.

13

22/o

20.设椭圆。：++方=1(。>/,>0)的右焦点为/，点在C上，且“F_Lx轴.

(1)求。的方程；

(2)过点P(4,0)的直线与。交于A3两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线破于点。，证明：

轴.

22

【答案】(1吟+上1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设*c,0),根据M的坐标及MF，x轴可求基本量，故可求椭圆方程.

(2)设出ya乂4,A(x2J,3(9，%)，联立直线方程和椭圆方程，用A3的坐标表示M一%，

结合韦达定理化简前者可得％-%=。，故可证AQ±y轴.

【小问1详解】

设E(c,0),由题设有。=1且工=3,故土二=3,故”=2,故，

a2a2

22

故椭圆方程为上+匕=1.

43

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在，设AB：y=A(x—4),A(X],yJ,B(x2,y2),

由+4v-I?可彳导（3+4左2）%2一32k2%+64左2-12=。，

故A=1024左，―4（3+4左2）（64左2—12）>0，故—；（上<g,

d32k264^-12

乂%+%=------二-------------丁

123+4左2123+4左2

XX

所以…="以y1（22-5）+3为

2X2-5

左（花一4）X（2%2—5）+3左（冗2-4）

—

2%25

64左2_1232k2

2

lxxx2-5（%1+x2）+8J3+4左之53+4^

k--------------------二K---------------------------------------------

2%2—52%2一5

128左2-24-160左2+24+32k2

3+442

=k=0'

2%,—5

故%=%,即轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（%1，%），（%，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，注意A的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为为+%、%逮2（或M+%、%%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.已知函数/(%)=。-女)皿1+无)一%.

(1)当"-2时，求/(%)的极值；

(2)当xNO时,〃x)2O恒成立,求。的取值范围.

【答案】(1)极小值0,无极大值.

(2)«<--

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就-；<a<0、a»0分类讨论后可得参数的取值范围.

小问1详解】

当。=一2时，/(x)=(l+2x)ln(l+x)—x,

1+2r1

故(⑴=21n(l+x)+-------1=21n(l+x)-------+1,

1+x1+x

因为y=2ln(l+x),y=—J—+1在(-1,+力)上为增函数，

故/‘(X)在(T+⑹上为增函数，而((0)=0,

故当—1<尤<。时，r(x)<o，当尤>o时，r(x)>o,

故/(X)在X=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

【小问2详解】

(x)=-aln(l+x)+；飙一1=-aIn(1+x)一(；+"芯,%>0,

设s(x)=-aIn(1+x)—(°+1)%,x>0,

1+X

,zx_-a(a+1)_a(x+l)+«+l_ax+2a+l

则‘"J-x+1(l+x/―(1+x)2—(1+x)2(

当a<—3时，/(x)>0,故s(x)在(0,+力)上增函数，

故s(x)>s(O)=O,即r(%)>0,

所以/(X)在［o,+句上为增函数，故“X)”⑼=0.

-1rs.-i

当一一<a<0时，当0<x<一一--时，s'(x)<0,

2a

故s(x)在10,-号止)上为减函数，故在［。，-受")上s(“)<s(°)，

即在10,-受生)上/''(x)<0即/'(x)为减函数，

故在受生)上了(％)</(。)=。,不合题意，舍.

当心0,此时s'(x)<0在(0,+动上恒成立,

同理可得在(0,+动±/(%)</(o)=。恒成立，不合题意，舍;

综上,a<――.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系xOv中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐

标方程为。=pc