武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题数学试题及答案

武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制2024.5.21

本试题卷共4页，19题,全卷满分150分。考试用时120分钟。

祝考试顺利

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位

号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号

及科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题

时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合人=[0,a],_8=（2,3），若=则（）

A.0<a<2B.0<a<2C.0<a<3D.0<a<3

2.已知向量日=（1,血），1=（—通,1）,则日在1上的投影向量的模为（）

A.V3B.1C.0D.?

3.设抛物线=；过焦点尸的直线与抛物线。相交于两点，则的最小值为（）

A.1B.4C.-4-D.-1-

24o

4.已知一组数据1,2,3,4,，的上四分位数是，，则名的取值范围为（）

A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}

5.若（1+2，）i°=a（）+5（1+/）+&2（1+2）2H--Faio（l+cc）i°,则a?=（）

A.180B.-180C.-90D.906.

6.已知菱形ABCD,ZDAB*，将△D4C沿对角线AC折起，使以A,B,四点为顶点的三

棱雉体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

7.抛掷一枚质地均匀的硬币几次，记事件人=”九次中既有正面朝上又有反面朝上"，B="几次中

至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是()

A.当n=2时，P(AB)=[■B.当n=2时，事件A与事件B不独立

C.当n=3时，P(A+B)=《D.当n=3时，事件A与事件B不独立

O

8.在三角形ABC中，角A,。的对边分别为a,b,。且满足。2—Q2=QLC=2，则△ABC面积取

最大值时，cosC=()

A.勺TDV3+1c2—n2+

B

-^r-25-4-

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项

中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选

对的得部分分。

,3>0,0<0〈专)的部分图像如图所示，贝I]()

B./(T)的最小正周期为兀

5兀

内有3个极值点D.f@)在区间[岩,2兀]上的最大值为同

12

10.在平面直角坐标系多。夕中，椭圆C：彳+才=1,圆04+才=5,P为圆。上任意一点，Q为椭

圆。上任意一点.过P作椭圆。的两条切线打。，当Z1，。与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分

别为自，％2,则()

A.椭圆。的离心率为乎B.\PQ\的最小值为1

C.|PQ|的最大值为，^+2D.而+稻>3

11.对于函数/(乃=忘，下列说法正确的是()

A.函数/(①)的单调递减区间为(0,1)U(l,e)

B./(7t)</(2)

C.若方程|，(㈤)|=k有6个不等实数根，则k>e

D.对任意正实数如比2，且比1W比2,若/(%1)=/(%2)，则比1比2>e?

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足|z—i|=^，则同的最小值为.

13•已知罟翳=声，则sin%+cos%=一.

14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1,则该正四棱台的体积为

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

15.(13分)

已知/(2)=一/，(1)/+/+21na;.

(1)求r(i)并写出了(0的表达式；

(2)证明：/(c)Wc—1.

16.(15分)

如图，已知四棱雉P—4BCD中，P4_L平面4BCD，四边形中，/ABC=90°,

AB//CD,AB=1,BC=1,CD=2，点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G.

(1)证明:平面PABL平面PBC；

(2)求直线DG与平面所成角的正弦值.

17.(15分)

已知双曲线氏/一才=1,直线PQ与双曲线E交于P,Q两点,直线上W与双曲线E交于M,N

两点.

(1)若直线经过坐标原点,且直线PM,PN的斜率kPM,kPN均存在，求kPMkPN；

(2)设直线PQ与直线MN的交点为T(l,2)，且乔•亍©=说•而，证明：直线PQ与直线

的斜率之和为0.

18.(17分)

某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品.技术改造前，该企业生产的该种

零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16)；技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从

正态分布N(50,0.04).

附:若X〜N(〃,/)，取P(|X—“<。)=0.6827,P(|X—“<2。)=0.9545.

(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；

(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是p(0Vp<l)，各个元件能否正常

工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概

率称为系统的可靠性.

(1)若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是

否提高？

（2）假设该系统配置有n（n>3,neN）个元件；若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠

性？请给出你的结论并证明.

19.（17分）

混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一

维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一:假设在一个混沌系统中，

用0”来表示系统在第nMEN*）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态人+1满足4+1=

,0<<1，其中/（2）=—&/+ac.

⑴当a=3时，若满足对VneN*，有为=/（4+1），求｛绘｝的通项公式；

（2）证明：当a=1时，｛Xn｝中不存在连续的三项构成等比数列；

⑶若21=1，a=1,记S“=礁源+i，证明：Si+S2H---FS„<"

2o

武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题

数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题

12345678

ACCCACDA

二、选择题

91011

ABDACBCD

三、填空题

12.x/2-l13.114.学

四、解答题

15.解：

(1)因为/'(立)=一力+1+令7=1解得/'(1)=1,所以/(立)=—X2+x+2lnx.

.......5分

(2)构造?(2)=/(乃一/+1=—*+2加劣+1,F(x)=—2]+,=2(1—2(1+少).当

0<c<l时，Fr(x)>0,于是歹(①)在[0,1]单调递增；当2之1时，F'(x)<0,于是F<)在

[l,+oo]单调递减，所以％如⑶=F⑴=0,于是FQ)WF⑴=0,所以/(c)Wc—1.

........13分

16.

⑴证：

,：PA，平面4BCO,BCU平面ABCD,±BC,又=90",：.AB±BC,

：上4与AB相交于A点，：.BCL^-^PAB,又「右。_L平面RB。，平面P4B_L平面PBC.

7分

⑵解：

取CD中点E,CE//AB,；.四边形4BCD是平行四边形AAE//BC：.AE±

AB,AE1AP.\'PAL^^ABCD,ABU平面ABC。，：.PA±AB.

如图所示，以4为原点，4B,力及AP所在直线为力轴，沙轴，z轴建立空间直角坐标系.此

时，A(0,0,0),5(1,0,0),(7(1,1,0),P(-l,1,0),E(fi,1,0).

连PE,：G为△%。的重心，；.G在线段理内且理=3GE.设GE=

a,PE；=3a,R?=2a,平面ABC。，.,.FA_L4E,：.PA=y/9a2-1.

由题意知,AG_L平面R7O,又：理U平面R7O,；.4G±PE,J.PA2=PG-

PE,即9a2—l=6a2,解得a=寻，...PA=0，.•.0((),0,6).由于G是

△PCD的重心，所以用=4两，于是G(0,I，挈)，，而=(I,—*挈),

OO«JOO

=(1,0,-\/2),皮=(0,1,0).设成=(c,",z)是平面PBC的法向量，则

[n-PB=工一\/2z=0

\n-BC=y=0'

令z=1,力=y/2jn=(v/2,0,1).

设直线OG与平面ESC所成角为仇则

.a।/一/、|n-DG272

srnt)=\cos<n,DG>\=--------「=-----.

11\n\\DG\3

所以直线OG与平面PBC所成角的正弦值为竽.........15分

17.解:

（1）当直线MN经过坐标原点时，M,N两点关于原点对称.设

“（X，%）,N（-%,—%）,0（&,%）,于是

K

PM~oVQR]'KPN~«A/Q,•

因为M,N,P三点都在双曲线42—“2=1,所以

[说一%=1

、若一比=1'

两式作差，说一冶=谜一比，所以

卜k一%一%%+%笳一犹一1

KK

PMPN-tAJ0_<Xz]'<Xz0I,]-<7X/2Q—e吟V]-L

................6分

（2）已知T（l,2）,可设直线MN:g—2=&（/-1）,直线RQ:g—2=劣一1），

My。N@2,y?），P@3,V3），QyJ•™=（勺-i,%—2）,西=（g-1,%一2）.联

立直线MN方程与双曲线E的方程：

ry-2=k1(x-l)

\x2—y2=l

整理得，（1—般）1+2月（耳-2）c—（一一2尸—1=0,当1—好#0时，A>0.

—2A：i&-2）—一（『2）2—1

】十%一（1—般），七3—碎）-

于是，

TM-TN=(X1-1)(g—1)+(阴一2)(%—2)

=(1+般)[立1立2—(立1+/2)+1]

―一肉—2尸一12kl(k1—2)-

=(1+的

.r^fc?一解_

同理可得,

界.同=（1+必）.-V2.

182

因为西•西=乔・福，所以

1+航1+阿

1—好1—

整理得，好=用，而卜1#k2，所以《+k2=。・........15分

18.解：

（1）技术改造前，易知%=50,%=0.4,则其优品率为改（49.6VX<50.4）=

P(〃i—%<X<%+吗)=P(|X—〃/<%)=0.6827；技术改造后，〃2=50曾2=

0.4,则其优品率为P(49.6<X<50.4)=P(〃2—2b2<X<〃2+2b2)=P|X—〃2l<

2b2)=0.9545；所以优品率之差为0.9545—0.6827=0.2718.

..........4分

(2)①记x为原系统中正常工作元件个数，y为增加一个元件后正常工作元件个数.由

条件知,X~B(4,p),y~B(5,p).

3(1—M+3(1_4(1_p)+

P(X>3)=。沙C箝4,P(y>3)=。勖py+。如3P5.

因为P(X>3)-P(Y>3)=6P3(1—p)2>0,所以可靠性提高.

..........10分

②方法一：

根据上一问的假设，易知X~B(n,p),Y~B(n+l,p).

当"为奇数时，设九=2k—CN*),原系统的可靠性为P(X2k),新系统的

可靠性为p(y>k+l),由题意可知，

>k+l)=P(X2々+l)+p.P(X=A:).

所以，P(Y>k+1]-P(X>k)=[P(X>k+l)+p-P(X=k)]-

=fc)]=(p—kk

[P[X>k+l)+P(X1)P(X=k)=C^k_1P(l-p)-"p-1)<0,这说明

可靠性降低.

当"为偶数时，设九=2-&22,kcN*),原系统的可靠性为P(XN%+1),新系统的

可靠性为p(y2卜+1)，由题意可知，

P(Y2k+1)=P(X>k+Y)+p-P(X=k).

k+1k

所以，P(Y>k+1)-P(X>k+1)=p-P(X=k)=C^kP(l-p)>0,这说明

可靠性提高.

综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件

个数为偶数，增加一个元件后可靠性会提高.

..........17分

方法二：

当"为奇数时，设n=2k—1住22/CN*),原系统的可靠性为P(X2卜)，新系统的

可靠性为P(V2卜+1),由题意可知，

2k-l2k-2

p(x却=£。短_出(1—P产-j=£c.k_ipi(1_p)2k-i-i+p2k-i

i=ki=k

212k-2

/+i(i_p)2i-i=+2k

p(m)=£。婷P产一口+P

i=ki=k

于是，P[Y>k+l)-P(X>k)

2k-2Ik-1

=£(°短-1+-MO""】一£CklPP—PPIT+p2k-p2k-1

i=ki=k

2k-2

=E+。聚J-P'(l—P)2IT—(1—P)p2LT

i=k

2k-2

=£l^2k-lPi+1^—C虹/(I—P)2fc-i]—(1—p)p2-l

i=k

k

=-C^k_1P(l^Py<0,

这说明可靠性降低.

当"为偶数时，设7z=2k(%22,kcN*),原系统的可靠性为P(XN%+1),新系统的

可靠性为？(丫之人+1),由题意可知，

2k

P(X>k+1)=£C£p，Q_p)22i

i=k+l

2k+l2k

p(y2A：+1)=£。短+]/(i—p产+j=£(玛/+。辅/(i—p产+i+铲九+1

i=k+li=k+l

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2fc2k

=£(玛/+QJp'(i—p产+」'一£。短/(i—p)2J+p2Al

£=k+li=fc+l

2k

=E—p产+1+©加(1—P产+j——I—P)2I)]+*+l

i=fc+l

2k

=.[您—p产+i+(-P)QQ'(I—P产+p2"i

i=k+l

2k

=£Cl—P产+1—。短/+1(1—p)2kH+02-1

i=k+l

=C短0“+l(l—0尸〉0.

这说明可靠性提高.

综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件

个数为偶数，增加一个元件后可靠性会提高.

........17分

19.解:

(1)当a=3时，/(为)=—3/2+3力，由题意可得，

%=-3右+3%①

x2=—3若+3%②

两式作差,(力2—力1)[4—3(①1+[2)]=0，所以①1=/2或力1+12=*

当①1=/2时，代入①式解得，/1=0或力1=,，因为。<%<1,所以力1=/

当为1+/2=,时,将劣2=今一代入①式解得，X1=|«

经过上述讨论可知，叫=亲下面考虑一般情况：由题意可知，

xn=-3烯+i+3力九+i③

Xn+1=~^Xn+3力九④

两式作差，0+1—%)[4一3伉+%+/=0,所以吃=%+1或立n+吗+1=方

如果%+1=%,这说明｛%｝是常数列，所以乙=%=,.

如果%+%+1=/将-+1=，-室代入③式,解得以=|,这说明UJ依然是常数

列%=3.

综上，E｝的通项公式为〜=条........5分

⑵下面假设乙,Xn+1,2n+2构成等比数列，那么

__①2<Y>

*4十1一戏+74力n+24九十1丁4九+1

X

——xn+1n+1+1,

Xn+1Xn+1

于是%+1=Xn,又因为%+1=-球+%，所以一吟+/=解得①"=0,与假设

矛盾，所以｛%｝中不存在连续的三项构成等比数列•