专题16.1 二次根式的化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）-八年级数学下册

专题16.1二次根式的化简求值思想方法思想方法整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。知识点总结知识点总结一、二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：a≥三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：a2=a（a性质2：a2=a=a五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．典例分析典例分析【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=2(3−1)②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab，yab，则a2（1）计算：13+1+15+（2）m是正整数，am+1−mm+1+m，bm+1（3）已知15+x2【思路点拨】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a（3）先得到15+x2⋅26−【解题过程】解：（1）原式===2019（2）∵am+1−mm+1+m，∴a+b=(∵2a∴2(a∴a2∴4(2m+1)∴2m=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+x2∴15+∵(15又∵15+∴15+学霸必刷学霸必刷1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知x=2−3,y=2A．32 B．34 C．3−1【思路点拨】根据已知，得到x+y=2【解题过程】解：∵x=2∴x+y=2∴x======3故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知x+1x=7(0<x<1)，则xA．−7 B．−5 C．7 【思路点拨】由0<x<1，得0＜x＜1x，故x＜【解题过程】解：∵0<x<1，∴0＜x＜1∴x＜∵(x−1∴(x∴x−1x=-5或x∵x＜∴x−∴x−1x=-5，x故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若x2+y2=1A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】先根据x2+y2=1得出−1≤x≤1，−1≤y≤1，根据x2−4x+4+xy−3x+y−3要有意义，得出x+1【解题过程】解：∵x2∴−1≤x≤1，−1≤y≤1，∵x2∴xy−3x+y−3≥0，整理得：x+1y−3∵y−3<0，∴x+1≤0，∴x=∴x===3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵x=1∴x=x=x=x=x=x=−x+2x−2020=x−2020=2019故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33A．6+2−1 B．6−2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+===∴a的小数部分为2-6+3===∴b的小数部分为6-2∴2b故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设a1=1+112+122，a2=1+A．202020192020 B．202020202021 C．【思路点拨】根据题意，先求出an【解题过程】解：∵n为正整数，∴a＝n＝[n(n+1)]＝(＝n＝1+1∴a＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4＝2021+1﹣1＝2021+1﹣1＝20212021故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果a=5−2，则1【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1a，从而可得1【解题过程】解：∵a=5∴1∴1∴===5故答案为：5+68．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知x=5−1717−3，y=【思路点拨】先把x和y的值分母有理化得到x=17−14，y=17+14，则【解题过程】解：∵x=5−1717∴x=5−1717∴x−y=−12，∴原式=4(x−y)=4×=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知x+1x=2，那么【思路点拨】通过完全平方公式求出x+1x=2【解题过程】解：∵x+∴x+∴x+∴x+1∴x===5故答案为：5510．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，xy+yx−【思路点拨】将等式进行因式分解，得到x+y+【解题过程】解：∵xy∴xy∴xy∴x∴x∵x∴xy∴xy=7，又x，y为正整数，则x,y=1,7或从而x+y=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设x=3−2，则x【思路点拨】利用x+22=x2+4x+4【解题过程】解：∵x=3∴x+22又∵x+22即x2整理得x2x==−=−=3=3=−3=−3=14x+4，将x=3−2代入原式可得故答案为：14312．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知x=3+52，则代数式2【思路点拨】将已知条件x=3+52变形得，x【解题过程】解：已知x=3+∴2x=3+5，即2x−3=等式两边同时平方得，2x−32=52，整理得，∴x2∵2=2x(把x2=2x×=3=3=3(把x2=3×=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：x−yx−y【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式===2当x=3,y=1原式=2=2=814．（2023·北京·九年级专题练习）已知x=3−23+【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵x=3−2∴原式====245−100=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知a+b=−8，ab=12，求bb【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵a+b=−8，ab=12，∴a和b均为负数，ab=b=b========16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知a−2ab−15b=0，求【思路点拨】讨论：当a>0，b>0，利用因式分解的方法得到a−5ba+3b=0，解得a=25b，当a<0，b<0，则−−a+5【解题过程】解：∵a−2ab−15b=0要有意义，即∴a>0且b>0或a<0且b<0当a>0且b>0时，∵a−2ab∴a−5b解得：a=25b，把a=25b代入a+ab+2ba−2当a<0且b<0∵a−2ab∴−a+5解得：a=9b，把a=9b代入a+ab+2ba−217．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知x=110−3（1）求x2（2）求x2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵x=1y=1∴x+y=210，x−y=6∴x（2）∵x=10+3，∴x−2>0，y+1>0，∴=====−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知x=2−3（1）求x+y和xy的值；（2）求x2（3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入x=2−3，y=2+3即可求出（2）将原式变形为x+y2（3）先估算出1<3<2，从而得出a=2−3【解题过程】（1）解：∵x=2−3∴x+y=2−3+2+3（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴（3）解：∵1<3<4，∴1<3∴−2<−3∴0<2−3∵x的小数部分是a，∴a=2−3∵3<2+3<4，y的整数部分是∴b=3，∴ax−by=2−19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且mn=b，a±2（1）例如，∵5+26∴5+26（2）仿照上面的例子，请化简4−23（3）利用上面的方法，设A=6+42，B=3−5，求【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：a2（2）根据（1）中“5+26（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．【解题过程】（1）∵5+26∴5+2故答案为：3（2）∵4−2∴4−23（3）∵A=6+4∴A=∵B=3−∴B=∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+20．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将a+b、a−b称为一对“对偶式”，